Distribución normal y puntaje Z
9. Tabla normal estándar
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué información entrega una tabla normal estándar.
- Leer probabilidades acumuladas de la forma \(P(Z
- Usar la tabla normal estándar después de estandarizar valores de una distribución normal.
¿Qué es la tabla normal estándar?
La tabla normal estándar entrega probabilidades asociadas a la variable:
\[ Z\sim N(0,1) \]
Es decir, se usa cuando la distribución tiene media \(0\) y desviación estándar \(1\).
La mayoría de las tablas usadas en este nivel entregan probabilidades acumuladas hacia la izquierda:
\[ P(Z
Probabilidad acumulada
Cuando una tabla entrega \(P(Z
Por ejemplo:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Esto significa que aproximadamente el \(84{,}13\%\) de los valores de una normal estándar está bajo \(z=1\).
Ejemplo 1: leer \(P(Z<1)\)
Supongamos que una tabla normal estándar entrega el siguiente valor:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Esto representa el área bajo la curva normal estándar desde la izquierda hasta \(z=1\).
La interpretación es:
\[ P(Z<1)=0{,}8413=84{,}13\% \]
Por lo tanto, un valor con puntaje \(z=1\) deja aproximadamente el \(84{,}13\%\) de la distribución a su izquierda.
Ejemplo 2: cómo se organiza una tabla
Una tabla normal estándar suele organizar el puntaje \(z\) usando la fila para la parte entera y decimal, y la columna para la centésima.
Por ejemplo, para buscar \(z=1{,}23\):
- se busca la fila \(1{,}2\),
- se busca la columna \(0{,}03\),
- la intersección entrega \(P(Z<1{,}23)\).
| \(z\) | \(0{,}00\) | \(0{,}01\) | \(0{,}02\) | \(0{,}03\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1{,}2\) | \(0{,}8849\) | \(0{,}8869\) | \(0{,}8888\) | \(0{,}8907\) |
Entonces:
\[ P(Z<1{,}23)=0{,}8907 \]
Ejemplo 3: valores negativos
También se pueden buscar valores negativos. Por ejemplo:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Este valor corresponde al área a la izquierda de \(z=-1\).
Como la distribución normal estándar es simétrica, el área a la izquierda de \(-1\) es igual al área a la derecha de \(1\).
Por eso:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
y también:
\[ P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-0{,}8413=0{,}1587 \]
Antes de usar la tabla
Si el problema está expresado con una variable \(X\sim N(\mu,\sigma)\), primero se debe estandarizar:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar para leer probabilidades asociadas a \(Z\sim N(0,1)\).
Error frecuente
No todas las tablas normales entregan el mismo tipo de área.
En esta página trabajaremos con tablas que entregan área acumulada a la izquierda, es decir, \(P(Z
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una probabilidad directa
Usando una tabla normal estándar acumulada, se tiene:
\[ P(Z<0{,}50)=0{,}6915 \]
Interpreta este valor como porcentaje.
El valor \(0{,}6915\) representa el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de \(z=0{,}50\).
Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por \(100\):
\[ 0{,}6915\cdot 100=69{,}15 \]
Por lo tanto:
\[ P(Z<0{,}50)=69{,}15\% \]
Aproximadamente el \(69{,}15\%\) de los valores está bajo \(z=0{,}50\).
Ejercicio 2: ubicar fila y columna
Para buscar \(P(Z<1{,}23)\) en una tabla normal estándar, ¿qué fila y qué columna se usan?
El valor \(z=1{,}23\) se separa en dos partes:
- la fila corresponde a \(1{,}2\),
- la columna corresponde a \(0{,}03\).
Al cruzar esa fila con esa columna, se obtiene el valor de \(P(Z<1{,}23)\).
En una tabla acumulada usual:
\[ P(Z<1{,}23)=0{,}8907 \]
Se usa la fila \(1{,}2\) y la columna \(0{,}03\).
Ejercicio 3: valor negativo
Una tabla normal estándar entrega:
\[ P(Z<-1{,}00)=0{,}1587 \]
Interpreta este resultado en palabras.
El valor \(0{,}1587\) representa el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de \(z=-1{,}00\).
Como porcentaje:
\[ 0{,}1587\cdot 100=15{,}87 \]
Esto significa que aproximadamente el \(15{,}87\%\) de los valores de una normal estándar está por debajo de \(z=-1{,}00\).
Aproximadamente el \(15{,}87\%\) queda a la izquierda de \(z=-1\).
Ejercicio 4: calcular una cola derecha
La tabla entrega:
\[ P(Z<1{,}28)=0{,}8997 \]
Calcula:
\[ P(Z>1{,}28) \]
La tabla entrega el área a la izquierda de \(1{,}28\):
\[ P(Z<1{,}28)=0{,}8997 \]
Como el área total bajo la curva es \(1\), la cola derecha se calcula restando:
\[ P(Z>1{,}28)=1-P(Z<1{,}28) \]
\[ P(Z>1{,}28)=1-0{,}8997=0{,}1003 \]
\(P(Z>1{,}28)=0{,}1003\), es decir, aproximadamente \(10{,}03\%\).
Ejercicio 5: probabilidad entre dos valores
Una tabla normal estándar entrega:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Calcula:
\[ P(-1
Para calcular la probabilidad entre dos valores, restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1
Reemplazamos:
\[ P(-1
\[ P(-1
Este valor es cercano al \(68\%\), como indica la regla 68–95–99,7.
\(P(-1
Ejercicio 6: usar tabla después de estandarizar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula \(P(X<85)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos el valor \(x=85\):
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Usando el dato de la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=0{,}9332 \]
La probabilidad es \(0{,}9332\), es decir, aproximadamente \(93{,}32\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa es menor que \(530\) g.
Calcula \(P(X<530)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos el valor \(530\):
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{530-500}{20} \]
\[ z=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<530)=P(Z<1{,}5) \]
Usando la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Esto significa que aproximadamente el \(93{,}32\%\) de los productos tiene masa menor que \(530\) g.
\(P(X<530)=0{,}9332\), aproximadamente \(93{,}32\%\).