Distribución normal y puntaje Z
10. Probabilidad acumulada
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar probabilidades acumuladas en una distribución normal.
- Calcular probabilidades de la forma \(P(X
- Usar el complemento para calcular probabilidades de cola derecha.
¿Qué es una probabilidad acumulada?
En una distribución normal, una probabilidad acumulada corresponde al área bajo la curva hasta cierto valor.
La expresión:
\[ P(X
representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor que \(a\).
Geométricamente, corresponde al área bajo la curva normal ubicada a la izquierda de \(a\).
Cómo calcular \(P(X
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), para calcular \(P(X
\[ z=\frac{a-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar:
\[ P(X
donde \(Z\sim N(0,1)\).
Cola derecha usando complemento
Si se quiere calcular una probabilidad de la forma \(P(X>a)\), se puede usar el complemento:
\[ P(X>a)=1-P(X
En una variable continua, no hay diferencia práctica entre usar \(<\) o \(\leq\), porque la probabilidad de un valor exacto es \(0\).
Ejemplo 1: probabilidad acumulada bajo un puntaje
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos calcular la probabilidad de obtener menos de \(85\) puntos:
\[ P(X<85) \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Usando la tabla normal estándar:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=0{,}9332 \]
La probabilidad de obtener menos de \(85\) puntos es aproximadamente \(93{,}32\%\).
Ejemplo 2: acumulada bajo la media
Una variable se distribuye normalmente como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Queremos calcular:
\[ P(X<90) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{90-100}{15}=\frac{-10}{15}\approx -0{,}67 \]
Entonces:
\[ P(X<90)=P(Z<-0{,}67) \]
Usando tabla normal estándar:
\[ P(Z<-0{,}67)\approx 0{,}2514 \]
Esto significa que aproximadamente el \(25{,}14\%\) de los valores está bajo \(90\).
Ejemplo 3: calcular una cola derecha
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Queremos calcular la probabilidad de que un producto tenga masa mayor que \(530\) g:
\[ P(X>530) \]
Primero estandarizamos \(530\):
\[ z=\frac{530-500}{20}=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X>530)=P(Z>1{,}5) \]
La tabla normalmente entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>1{,}5)=1-P(Z<1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
La probabilidad de que un producto tenga masa mayor que \(530\) g es aproximadamente \(6{,}68\%\).
Error frecuente
Si la tabla entrega \(P(Z
Para calcular una probabilidad a la derecha, como \(P(Z>z)\), se debe restar a \(1\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar una acumulada
Sea \(X\) una variable continua. Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(X<75) \]
La expresión \(P(X<75)\) representa la probabilidad de que la variable \(X\) tome un valor menor que \(75\).
En una curva normal, corresponde al área bajo la curva ubicada a la izquierda del valor \(75\).
Como es una probabilidad acumulada, incluye todos los valores menores que \(75\), no solo valores cercanos a \(75\).
Es la probabilidad acumulada a la izquierda de \(75\).
Ejercicio 2: calcular una acumulada directa
Sea:
\[ X\sim N(60,8) \]
Calcula \(P(X<68)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Estandarizamos el valor \(68\):
\[ z=\frac{68-60}{8} \]
\[ z=\frac{8}{8}=1 \]
Entonces:
\[ P(X<68)=P(Z<1) \]
Usando el dato de la tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\(P(X<68)=0{,}8413\), aproximadamente \(84{,}13\%\).
Ejercicio 3: acumulada bajo la media
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula \(P(X<85)\), sabiendo que:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z=\frac{85-100}{15} \]
\[ z=\frac{-15}{15}=-1 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<-1) \]
Usando la tabla:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Esto significa que aproximadamente el \(15{,}87\%\) de los valores está bajo \(85\).
\(P(X<85)=0{,}1587\).
Ejercicio 4: calcular cola derecha
Sea:
\[ X\sim N(500,20) \]
Calcula \(P(X>540)\), sabiendo que:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Estandarizamos el valor \(540\):
\[ z=\frac{540-500}{20} \]
\[ z=\frac{40}{20}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>540)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>2)=1-P(Z<2) \]
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
\(P(X>540)=0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 5: acumulada con puntaje negativo
Los tiempos de espera se modelan como:
\[ X\sim N(30,5) \]
Calcula \(P(X<22)\), sabiendo que:
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
Estandarizamos \(22\):
\[ z=\frac{22-30}{5} \]
\[ z=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
Entonces:
\[ P(X<22)=P(Z<-1{,}6) \]
Usando el dato de tabla:
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
En contexto, la probabilidad de esperar menos de \(22\) minutos es aproximadamente \(5{,}48\%\).
\(P(X<22)=0{,}0548\).
Ejercicio 6: corregir un error de complemento
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante quiere calcular \(P(X>85)\). Estandariza correctamente y obtiene \(z=1{,}5\). Luego usa la tabla y escribe:
\[ P(X>85)=P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Explica el error y calcula la probabilidad correcta.
La estandarización es correcta:
\[ z=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
El error está en usar directamente el área a la izquierda.
La tabla entrega:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Pero el evento pedido es \(X>85\), equivalente a \(Z>1{,}5\), que corresponde a la cola derecha.
Por lo tanto:
\[ P(Z>1{,}5)=1-P(Z<1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
La probabilidad correcta es \(P(X>85)=0{,}0668\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La duración de una batería, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una empresa promete que sus baterías duran más de \(9\) horas.
- Calcula la probabilidad de que una batería dure menos de \(9\) horas.
- Calcula la probabilidad de que dure más de \(9\) horas.
- Interpreta ambos resultados en contexto.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Primero estandarizamos \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(X<9)=0{,}0668 \]
Ahora calculamos el complemento:
\[ P(X>9)=1-P(X<9) \]
\[ P(X>9)=1-0{,}0668=0{,}9332 \]
En contexto, aproximadamente el \(6{,}68\%\) de las baterías duraría menos de \(9\) horas, mientras que aproximadamente el \(93{,}32\%\) duraría más de \(9\) horas.
\(P(X<9)=0{,}0668\) y \(P(X>9)=0{,}9332\).