Distribución normal y puntaje Z
13. Aproximación normal en contextos reales
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer cuándo una situación real puede modelarse aproximadamente con una distribución normal.
- Usar la distribución normal para calcular probabilidades en contextos reales.
- Interpretar resultados probabilísticos considerando el contexto del problema.
Modelar situaciones reales
En la realidad, los datos no siempre siguen exactamente una distribución normal.
Sin embargo, muchas variables continuas pueden aproximarse mediante una curva normal cuando los valores se concentran alrededor de un promedio y disminuyen hacia los extremos.
Por ejemplo, pueden modelarse aproximadamente con una normal algunas medidas como estaturas, masas de productos, puntajes estandarizados, tiempos de duración o errores de medición.
Procedimiento general
Para usar una aproximación normal en un contexto real, se puede seguir este procedimiento:
- Identificar la variable \(X\).
- Verificar si es razonable modelarla como normal.
- Escribir el modelo \(X\sim N(\mu,\sigma)\).
- Estandarizar los valores necesarios con: \[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
- Usar la tabla normal estándar.
- Interpretar la probabilidad en el contexto.
Cuándo puede ser razonable usar una normal
Una aproximación normal puede ser razonable cuando:
- la variable es numérica y continua;
- los datos se concentran alrededor de un promedio;
- la distribución tiene forma aproximadamente simétrica;
- no hay demasiados valores extremos o atípicos;
- el contexto permite interpretar valores sobre y bajo el promedio de manera gradual.
Ejemplo 1: masa de un producto
Una máquina llena envases con un producto. La masa, en gramos, se modela aproximadamente como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un envase se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos \(470\):
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos \(530\):
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que un envase sea aceptable es aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejemplo 2: estaturas sobre cierto valor
Las estaturas, en centímetros, de un grupo grande de estudiantes se modelan aproximadamente como:
\[ X\sim N(168,7) \]
Queremos estimar la probabilidad de que un estudiante mida más de \(180\) cm:
\[ P(X>180) \]
Estandarizamos \(180\):
\[ z=\frac{180-168}{7}=\frac{12}{7}\approx 1{,}71 \]
Entonces:
\[ P(X>180)=P(Z>1{,}71) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}71)=0{,}9564 \]
Como se pide la cola derecha:
\[ P(Z>1{,}71)=1-0{,}9564=0{,}0436 \]
La probabilidad de que un estudiante mida más de \(180\) cm es aproximadamente \(4{,}36\%\).
Ejemplo 3: tiempo dentro de un intervalo
El tiempo, en minutos, que demora una persona en completar una tarea se modela como:
\[ T\sim N(30,4) \]
Queremos calcular la probabilidad de que una persona demore entre \(25\) y \(35\) minutos:
\[ P(25
Estandarizamos \(25\):
\[ z_1=\frac{25-30}{4}=-1{,}25 \]
Estandarizamos \(35\):
\[ z_2=\frac{35-30}{4}=1{,}25 \]
Entonces:
\[ P(25
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}25)=0{,}8944,\qquad P(Z<-1{,}25)=0{,}1056 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}25
Aproximadamente el \(78{,}88\%\) de las personas demoraría entre \(25\) y \(35\) minutos.
Error frecuente
No toda variable numérica debe modelarse con una normal.
Por ejemplo, cantidades que se cuentan, datos muy asimétricos o variables con muchos valores extremos pueden no ajustarse bien a una curva normal.
Antes de calcular, siempre se debe revisar si el uso del modelo normal tiene sentido en el contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer un contexto normal
Indica cuál de las siguientes variables podría modelarse mejor mediante una distribución normal. Justifica.
- Color favorito de los estudiantes.
- Estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
- Número de hermanos de cada estudiante.
La variable que podría modelarse mejor mediante una distribución normal es la estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
La estatura es una variable continua y suele concentrarse alrededor de un promedio, con menos casos en los extremos.
El color favorito es una variable cualitativa, por lo que no corresponde usar una normal.
El número de hermanos es una variable discreta que se cuenta, y no suele tener forma de campana normal.
La mejor opción es la estatura de los estudiantes.
Ejercicio 2: escribir el modelo
La duración de una batería, en horas, se modela aproximadamente de forma normal con media \(12\) horas y desviación estándar \(2\) horas.
- Define la variable \(X\).
- Escribe el modelo normal correspondiente.
La variable puede definirse como:
\[ X=\text{duración de una batería, en horas} \]
La media es \(\mu=12\) y la desviación estándar es \(\sigma=2\).
Por lo tanto, el modelo es:
\[ X\sim N(12,2) \]
\(X\) es la duración en horas y \(X\sim N(12,2)\).
Ejercicio 3: probabilidad bajo un valor
La duración de una batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Calcula la probabilidad de que una batería dure menos de \(9\) horas.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Queremos calcular:
\[ P(X<9) \]
Estandarizamos \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
La probabilidad es \(0{,}0668\), aproximadamente \(6{,}68\%\).
Ejercicio 4: probabilidad entre dos valores
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula:
\[ P(60
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos \(60\):
\[ z_1=\frac{60-70}{10}=-1 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(60
Restamos las acumuladas:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad es \(0{,}7745\), aproximadamente \(77{,}45\%\).
Ejercicio 5: cola derecha en contexto
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
La empresa considera que un producto está sobrecargado si pesa más de \(540\) g.
Calcula la probabilidad de que un producto esté sobrecargado.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>540) \]
Estandarizamos \(540\):
\[ z=\frac{540-500}{20} \]
\[ z=\frac{40}{20}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>540)=P(Z>2) \]
La tabla entrega:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
En contexto, aproximadamente el \(2{,}28\%\) de los productos estaría sobrecargado.
La probabilidad de sobrecarga es \(0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 6: evaluar si el modelo es adecuado
Un estudiante propone usar distribución normal para modelar la cantidad de goles que anota un equipo en un partido.
Explica si esta propuesta es adecuada o no, considerando el tipo de variable.
La cantidad de goles es una variable discreta, porque se cuenta.
Sus valores posibles son \(0,1,2,3,\ldots\), y no tiene sentido obtener \(2{,}4\) goles en un partido.
Por esa razón, no es una variable continua, y la distribución normal no sería el modelo más adecuado en este caso.
Además, la cantidad de goles suele concentrarse en valores pequeños y puede presentar una forma asimétrica.
La propuesta no es adecuada; la cantidad de goles es una variable discreta y no necesariamente normal.
Ejercicio 7: caso desafiante
El tiempo de entrega de un servicio, en minutos, se modela aproximadamente como:
\[ X\sim N(45,8) \]
La empresa considera tardía una entrega que demora más de \(60\) minutos.
- Calcula la probabilidad de que una entrega sea tardía.
- Interpreta el resultado en porcentaje.
- Si se realizan \(1000\) entregas, estima cuántas podrían ser tardías.
Usa:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>60) \]
Estandarizamos \(60\):
\[ z=\frac{60-45}{8} \]
\[ z=\frac{15}{8}=1{,}875\approx 1{,}88 \]
Entonces:
\[ P(X>60)=P(Z>1{,}88) \]
Como la tabla entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>1{,}88)=1-0{,}9699=0{,}0301 \]
En porcentaje:
\[ 0{,}0301\cdot 100=3{,}01\% \]
Si se realizan \(1000\) entregas, estimamos:
\[ 1000\cdot 0{,}0301=30{,}1 \]
Por lo tanto, se esperarían aproximadamente \(30\) entregas tardías.
La probabilidad de entrega tardía es \(0{,}0301\), es decir, \(3{,}01\%\); en \(1000\) entregas serían cerca de \(30\).