Libro de las inferencias estadísticas
4. Distribución muestral de la media: idea intuitiva
Objetivo de aprendizaje
- Comprender intuitivamente que distintas muestras de una misma población pueden producir distintas medias muestrales.
- Interpretar la distribución muestral de la media como el conjunto de medias obtenidas al repetir muchas veces un mismo proceso de muestreo.
- Reconocer que las medias muestrales suelen concentrarse alrededor de la media poblacional.
Muchas muestras, muchas medias
Cuando se toma una sola muestra, se obtiene una sola media muestral \(\bar{x}\).
Pero si se tomaran muchas muestras del mismo tamaño desde la misma población, cada muestra podría entregar una media distinta.
El conjunto de todas esas medias muestrales permite estudiar cómo varía \(\bar{x}\) de una muestra a otra.
Distribución muestral de la media
La distribución muestral de la media es la distribución formada por las medias muestrales que se obtendrían al repetir muchas veces el muestreo bajo las mismas condiciones.
La idea puede resumirse así:
\[ \text{muestra 1} \longrightarrow \bar{x}_1 \]
\[ \text{muestra 2} \longrightarrow \bar{x}_2 \]
\[ \text{muestra 3} \longrightarrow \bar{x}_3 \]
\[ \text{muchas muestras} \longrightarrow \text{muchas medias muestrales} \]
Atención
La distribución muestral de la media no está formada por los datos individuales de una muestra.
Está formada por medias muestrales.
Es decir, cada valor de esta distribución es una media \(\bar{x}\), no un dato individual.
Ejemplo 1: varias muestras de una misma población
Supongamos que se quiere estimar la media de horas de estudio semanal de una población de estudiantes.
Se toman \(6\) muestras aleatorias del mismo tamaño y se calcula la media de cada una:
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| Muestra 1 | \(\bar{x}_1=5{,}8\) |
| Muestra 2 | \(\bar{x}_2=6{,}1\) |
| Muestra 3 | \(\bar{x}_3=5{,}9\) |
| Muestra 4 | \(\bar{x}_4=6{,}3\) |
| Muestra 5 | \(\bar{x}_5=6{,}0\) |
| Muestra 6 | \(\bar{x}_6=5{,}7\) |
El siguiente gráfico muestra esas medias muestrales:
Las medias no son exactamente iguales, aunque todas provienen de muestras de la misma población.
La distribución formada por estas medias muestrales muestra cómo puede variar \(\bar{x}\) al repetir el muestreo.
Ejemplo 2: medias muestrales alrededor de la media poblacional
Supongamos que la media real de una población es:
\[ \mu=6{,}0 \]
Al tomar varias muestras, se obtienen las siguientes medias:
\[ 5{,}8,\ 6{,}1,\ 5{,}9,\ 6{,}3,\ 6{,}0,\ 5{,}7 \]
Algunas medias quedan bajo \(6{,}0\), otras quedan sobre \(6{,}0\), y una coincide con \(6{,}0\).
Esto es esperable: las medias muestrales varían, pero suelen ubicarse alrededor de la media poblacional.
Ejemplo 3: no confundir datos con medias
Una muestra de \(5\) estudiantes registra las siguientes horas de estudio:
\[ 4,\ 6,\ 5,\ 7,\ 8 \]
Estos son datos individuales.
La media de esa muestra es:
\[ \bar{x}=\frac{4+6+5+7+8}{5}=6 \]
Si se repite el proceso con muchas muestras, la distribución muestral no se forma con valores como \(4,\ 6,\ 5,\ 7,\ 8\), sino con medias como:
\[ \bar{x}_1,\ \bar{x}_2,\ \bar{x}_3,\ldots \]
Por eso, la distribución muestral de la media estudia el comportamiento de las medias muestrales.
Idea clave
Una media muestral puede cambiar de una muestra a otra.
La distribución muestral de la media permite estudiar esa variación.
Esta idea será necesaria para comprender el error estándar, el margen de error y los intervalos de confianza.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer qué forma la distribución muestral
Un estudiante afirma:
“La distribución muestral de la media está formada por todos los datos individuales de una muestra”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque la distribución muestral de la media no está formada por datos individuales.
Está formada por medias muestrales.
Cada valor de esa distribución corresponde a una media \(\bar{x}\) calculada desde una muestra.
La distribución muestral de la media está formada por medias muestrales, no por datos individuales.
Ejercicio 2: calcular medias de varias muestras
Se toman tres muestras de tamaño \(4\) desde una misma población:
| Muestra | Datos |
|---|---|
| Muestra A | \(6,\ 7,\ 5,\ 6\) |
| Muestra B | \(8,\ 6,\ 7,\ 7\) |
| Muestra C | \(5,\ 6,\ 6,\ 7\) |
- Calcula la media de cada muestra.
- Escribe el conjunto de medias muestrales obtenidas.
Calculamos la media de la Muestra A:
\[ \bar{x}_A=\frac{6+7+5+6}{4}=\frac{24}{4}=6 \]
Calculamos la media de la Muestra B:
\[ \bar{x}_B=\frac{8+6+7+7}{4}=\frac{28}{4}=7 \]
Calculamos la media de la Muestra C:
\[ \bar{x}_C=\frac{5+6+6+7}{4}=\frac{24}{4}=6 \]
El conjunto de medias muestrales obtenidas es:
\[ 6,\ 7,\ 6 \]
Las medias muestrales son \(\bar{x}_A=6\), \(\bar{x}_B=7\) y \(\bar{x}_C=6\).
Ejercicio 3: interpretar variación entre medias
Cuatro muestras aleatorias de una misma población entregan las siguientes medias:
\[ \bar{x}_1=12{,}4,\quad \bar{x}_2=12{,}8,\quad \bar{x}_3=12{,}6,\quad \bar{x}_4=12{,}5 \]
¿Por qué no todas las medias son exactamente iguales?
No todas las medias son iguales porque las muestras pueden contener individuos distintos.
Aunque provengan de la misma población y tengan el mismo tamaño, cada muestra puede variar.
Por eso, las medias muestrales también pueden variar.
Esta variación es parte natural del muestreo.
Las medias cambian porque cada muestra puede estar formada por datos distintos.
Ejercicio 4: medias alrededor de un parámetro
La media poblacional de una variable es \(\mu=50\).
Se obtienen las siguientes medias muestrales:
\[ 48{,}9,\ 50{,}4,\ 49{,}7,\ 51{,}1,\ 49{,}8,\ 50{,}2 \]
- ¿Las medias muestrales coinciden exactamente con \(\mu\)?
- ¿Qué se puede decir sobre su ubicación respecto de \(\mu=50\)?
No todas las medias muestrales coinciden exactamente con \(\mu=50\).
Algunas están bajo \(50\), como \(48{,}9\) y \(49{,}7\).
Otras están sobre \(50\), como \(50{,}4\) y \(51{,}1\).
Sin embargo, todas están relativamente cerca de \(50\).
Esto muestra que las medias muestrales pueden variar, pero suelen ubicarse alrededor de la media poblacional.
No coinciden todas con \(\mu\), pero se concentran alrededor de \(50\).
Ejercicio 5: datos individuales o medias muestrales
Clasifica cada conjunto como “datos individuales” o “medias muestrales”.
- \(5,\ 7,\ 6,\ 8,\ 4\), obtenidos al medir a cinco estudiantes de una muestra.
- \(\bar{x}_1=6{,}2,\ \bar{x}_2=5{,}9,\ \bar{x}_3=6{,}4\), obtenidas al repetir tres veces el muestreo.
- \(120,\ 135,\ 128,\ 140\), pesos de cuatro productos seleccionados.
- \(\bar{x}_1=128{,}5,\ \bar{x}_2=131{,}2,\ \bar{x}_3=129{,}8\), medias de tres muestras de productos.
Analizamos cada conjunto:
- Son datos individuales, porque corresponden a cinco estudiantes medidos.
- Son medias muestrales, porque cada valor es una media \(\bar{x}\) obtenida desde una muestra.
- Son datos individuales, porque corresponden a pesos de productos específicos.
- Son medias muestrales, porque corresponden a medias calculadas desde distintas muestras.
Los conjuntos 1 y 3 son datos individuales; los conjuntos 2 y 4 son medias muestrales.
Ejercicio 6: comparar dos situaciones
Situación A: se mide a \(30\) estudiantes y se registran sus tiempos de traslado.
Situación B: se toman \(20\) muestras de \(30\) estudiantes cada una y se calcula la media de tiempo de traslado en cada muestra.
- ¿Cuál situación produce datos individuales?
- ¿Cuál situación puede formar una distribución muestral de la media?
- Justifica tu respuesta.
La Situación A produce datos individuales, porque se registran los tiempos de traslado de \(30\) estudiantes.
La Situación B puede formar una distribución muestral de la media, porque se calculan \(20\) medias muestrales.
Una distribución muestral de la media necesita varias medias \(\bar{x}\), obtenidas al repetir el muestreo.
A produce datos individuales; B produce medias muestrales.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa quiere estudiar la masa promedio de sus paquetes. Para comprender la variabilidad del muestreo, toma \(5\) muestras aleatorias del mismo tamaño y obtiene las siguientes medias:
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| A | \(498\) g |
| B | \(501\) g |
| C | \(499\) g |
| D | \(503\) g |
| E | \(500\) g |
- ¿Qué valores formarían la distribución muestral observada?
- Explica por qué estos valores no son datos individuales.
- Si la masa promedio esperada es \(500\) g, ¿qué puedes decir sobre estas medias muestrales?
Los valores que formarían la distribución muestral observada son las medias muestrales:
\[ 498,\ 501,\ 499,\ 503,\ 500 \]
Estos valores no son datos individuales porque cada uno resume una muestra completa.
Por ejemplo, \(498\) g no representa necesariamente un paquete individual, sino la media de una muestra de paquetes.
Respecto de \(500\) g, las medias muestrales están alrededor de ese valor: algunas quedan bajo \(500\), otras sobre \(500\), y una coincide con \(500\).
Esto muestra variabilidad entre muestras, pero también concentración alrededor del valor esperado.
La distribución muestral observada está formada por \(498,\ 501,\ 499,\ 503,\ 500\), que son medias muestrales.