Libro de las inferencias estadísticas
5. Error estándar: idea intuitiva
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el error estándar como una medida de la variabilidad de las medias muestrales.
- Distinguir entre error muestral y error estándar.
- Reconocer que, si el tamaño muestral aumenta, la media muestral tiende a ser más estable.
De la variabilidad entre muestras al error estándar
Cuando se toman muchas muestras de una misma población, cada muestra puede entregar una media distinta.
La distribución muestral de la media permite observar esa variación entre medias muestrales.
El error estándar resume cuánta variabilidad suelen tener esas medias muestrales.
Idea del error estándar de la media
El error estándar de la media mide cuánto suelen variar las medias muestrales \(\bar{x}\) alrededor de la media poblacional \(\mu\).
En una versión escolar, cuando se usa la desviación estándar muestral \(s\) como aproximación, se puede calcular así:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}} \]
donde \(s\) representa la desviación estándar de los datos de la muestra y \(n\) es el tamaño muestral.
No confundir
El error muestral y el error estándar no son lo mismo.
El error muestral compara una estimación puntual con el parámetro real, por ejemplo:
\[ \bar{x}-\mu \]
El error estándar, en cambio, describe cuánta variación suelen tener las medias muestrales entre sí.
Además, el error estándar no es todavía el margen de error. El margen de error se estudiará más adelante.
Ejemplo 1: medias muestrales que varían
Se toman varias muestras aleatorias de estudiantes y se calcula la media de horas de estudio semanal en cada una.
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| Muestra 1 | \(5{,}7\) |
| Muestra 2 | \(6{,}1\) |
| Muestra 3 | \(5{,}9\) |
| Muestra 4 | \(6{,}3\) |
| Muestra 5 | \(6{,}0\) |
| Muestra 6 | \(5{,}8\) |
El siguiente gráfico muestra las medias muestrales obtenidas:
Las medias muestrales no son iguales, pero se mantienen relativamente cercanas entre sí.
El error estándar busca resumir esa variabilidad entre medias muestrales.
Ejemplo 2: calcular un error estándar
Una muestra de \(36\) estudiantes tiene una desviación estándar de \(12\) minutos en sus tiempos de traslado al colegio.
Para estimar la variabilidad de la media muestral, calculamos:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}} \]
Reemplazamos \(s=12\) y \(n=36\):
\[ EE=\frac{12}{\sqrt{36}} \]
Como \(\sqrt{36}=6\), entonces:
\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]
El error estándar es de \(2\) minutos.
Esto significa que las medias muestrales de muestras de tamaño \(36\) suelen variar alrededor de la media poblacional con una escala aproximada de \(2\) minutos.
Ejemplo 3: efecto del tamaño muestral
Supongamos que en dos estudios la desviación estándar es \(s=20\).
| Estudio | Tamaño muestral | Error estándar |
|---|---|---|
| A | \(n=25\) | \(EE=\frac{20}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4\) |
| B | \(n=100\) | \(EE=\frac{20}{\sqrt{100}}=\frac{20}{10}=2\) |
El estudio con mayor tamaño muestral tiene menor error estándar.
Esto significa que, manteniendo la misma variabilidad de los datos, una muestra más grande suele producir una media muestral más estable.
Idea clave
El error estándar mide la variabilidad esperada de una estimación muestral.
Mientras menor sea el error estándar, más estables suelen ser las medias muestrales.
Esta idea será fundamental para construir intervalos de confianza y analizar márgenes de error.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar el error estándar
Explica con tus palabras qué mide el error estándar de la media.
El error estándar de la media mide cuánta variabilidad suelen tener las medias muestrales al repetir el muestreo.
No mide la variabilidad de los datos individuales directamente, sino la variabilidad de las medias calculadas desde distintas muestras.
El error estándar resume cuánto suelen variar las medias muestrales.
Ejercicio 2: calcular un error estándar
Una muestra tiene desviación estándar \(s=10\) y tamaño muestral \(n=25\).
Calcula el error estándar usando:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}} \]
Reemplazamos los datos:
\[ EE=\frac{10}{\sqrt{25}} \]
Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:
\[ EE=\frac{10}{5}=2 \]
El error estándar es \(EE=2\).
Ejercicio 3: comparar tamaños muestrales
Dos muestras tienen la misma desviación estándar, \(s=8\), pero distinto tamaño muestral.
| Muestra | Tamaño muestral |
|---|---|
| A | \(n=16\) |
| B | \(n=64\) |
- Calcula el error estándar de cada muestra.
- Indica cuál tiene menor error estándar.
- Interpreta el resultado.
Para la muestra A:
\[ EE_A=\frac{8}{\sqrt{16}}=\frac{8}{4}=2 \]
Para la muestra B:
\[ EE_B=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1 \]
La muestra B tiene menor error estándar.
Esto ocurre porque tiene mayor tamaño muestral. Al aumentar \(n\), la media muestral suele ser más estable.
\(EE_A=2\) y \(EE_B=1\). La muestra B tiene menor error estándar.
Ejercicio 4: distinguir error muestral y error estándar
La media real de una población es \(\mu=80\).
Una muestra entrega \(\bar{x}=77\), con desviación estándar \(s=12\) y tamaño muestral \(n=36\).
- Calcula el error muestral \(\bar{x}-\mu\).
- Calcula el error estándar.
- Explica por qué no representan lo mismo.
Calculamos el error muestral:
\[ \bar{x}-\mu=77-80=-3 \]
Esto significa que la media muestral quedó \(3\) unidades bajo la media poblacional.
Ahora calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}} \]
Como \(\sqrt{36}=6\), entonces:
\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]
El error muestral compara esta muestra con el parámetro real.
El error estándar mide la variabilidad esperada de las medias muestrales.
Error muestral: \(-3\). Error estándar: \(2\). Son conceptos distintos.
Ejercicio 5: interpretar una frase
En un estudio, el error estándar de la media es \(1{,}5\) puntos.
Un estudiante afirma:
“Eso significa que la media muestral está exactamente a \(1{,}5\) puntos de la media poblacional”.
Explica el error en la afirmación.
La afirmación es incorrecta porque el error estándar no indica el error exacto de una muestra específica.
El error estándar mide una variabilidad esperada o típica de las medias muestrales.
Una media muestral podría quedar a menos o a más de \(1{,}5\) puntos del parámetro real.
Por eso, no debe interpretarse como una distancia exacta.
El error estándar describe variabilidad típica, no el error exacto de una muestra.
Ejercicio 6: efecto de aumentar el tamaño muestral
En dos estudios se obtiene la misma desviación estándar, \(s=16\).
| Estudio | Tamaño muestral |
|---|---|
| A | \(n=16\) |
| B | \(n=64\) |
- Calcula el error estándar en cada estudio.
- Explica qué ocurre al aumentar el tamaño muestral.
Para el estudio A:
\[ EE_A=\frac{16}{\sqrt{16}}=\frac{16}{4}=4 \]
Para el estudio B:
\[ EE_B=\frac{16}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2 \]
Al aumentar el tamaño muestral de \(16\) a \(64\), el error estándar disminuye de \(4\) a \(2\).
Esto muestra que muestras más grandes suelen producir medias muestrales más estables.
\(EE_A=4\) y \(EE_B=2\). Al aumentar \(n\), disminuye el error estándar.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una municipalidad quiere estimar el tiempo promedio de traslado al trabajo de los habitantes de una comuna.
Se selecciona una muestra aleatoria de \(81\) personas. La media muestral es \(42\) minutos y la desviación estándar muestral es \(18\) minutos.
- Identifica la estimación puntual de la media poblacional.
- Calcula el error estándar.
- Interpreta el error estándar en contexto.
- Explica por qué todavía no se debe afirmar que la media real es exactamente \(42\) minutos.
La estimación puntual de la media poblacional es la media muestral:
\[ \bar{x}=42 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{18}{\sqrt{81}} \]
Como \(\sqrt{81}=9\), entonces:
\[ EE=\frac{18}{9}=2 \]
El error estándar es de \(2\) minutos.
Esto indica que las medias muestrales de muestras de tamaño \(81\) suelen variar con una escala aproximada de \(2\) minutos.
No se debe afirmar que la media real es exactamente \(42\) minutos porque ese valor proviene de una muestra. Otra muestra podría entregar una media distinta.
La estimación puntual es \(\bar{x}=42\) minutos y el error estándar es \(EE=2\) minutos.