Libro de las inferencias estadísticas
6. Intervalo de confianza
Objetivo de aprendizaje
- Comprender un intervalo de confianza como un rango de valores razonables para un parámetro poblacional.
- Distinguir entre una estimación puntual y una estimación por intervalo.
- Interpretar correctamente un intervalo de confianza sin tratarlo como certeza absoluta.
De un punto a un intervalo
Una estimación puntual entrega un solo valor para aproximar un parámetro poblacional.
Por ejemplo, una muestra puede entregar una media muestral de \(\bar{x}=7{,}2\) horas.
Sin embargo, como ese valor proviene de una muestra, no sabemos si coincide exactamente con la media real de la población.
Por eso, en inferencia estadística se usan intervalos de confianza: en lugar de entregar un solo número, se entrega un rango de valores razonables para el parámetro.
Idea general de un intervalo de confianza
Un intervalo de confianza se construye alrededor de una estimación puntual.
Su forma general es:
\[ \text{estimación puntual} \pm \text{margen de error} \]
Esto produce un intervalo:
\[ [\text{límite inferior},\ \text{límite superior}] \]
En esta página se trabajará la idea y la interpretación del intervalo. Más adelante se estudiará con mayor detalle el nivel de confianza y el margen de error.
Interpretación inicial
Un intervalo de confianza no afirma que todos los valores del intervalo sean igualmente correctos.
Tampoco afirma que el parámetro sea exactamente el punto medio del intervalo.
Lo que indica es que, usando la información de la muestra y un método estadístico, se obtiene un rango de valores razonables para el parámetro poblacional.
Ejemplo 1: estimación puntual versus intervalo
Una muestra aleatoria de estudiantes entrega una media muestral de horas de sueño:
\[ \bar{x}=7{,}2 \]
Esa es una estimación puntual de la media poblacional \(\mu\).
Un análisis inferencial podría entregar el siguiente intervalo de confianza:
\[ [6{,}9,\ 7{,}5] \]
Esto significa que, según la muestra y el método usado, valores entre \(6{,}9\) y \(7{,}5\) horas son razonables para la media poblacional.
La estimación puntual entrega un solo valor: \(7{,}2\).
El intervalo entrega un rango de valores posibles: desde \(6{,}9\) hasta \(7{,}5\).
Ejemplo 2: intervalo para una proporción
En una muestra aleatoria de hogares, el \(64\%\) declara separar residuos reciclables.
La proporción muestral es:
\[ \hat{p}=0{,}64 \]
Un intervalo de confianza para la proporción poblacional podría ser:
\[ [0{,}58,\ 0{,}70] \]
Como porcentaje:
\[ [58\%,\ 70\%] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, la proporción de hogares de la población que separan residuos reciclables podría estar razonablemente entre \(58\%\) y \(70\%\)”.
No sería correcto decir que exactamente el \(64\%\) de todos los hogares separa residuos.
Ejemplo 3: intervalo más estrecho e intervalo más amplio
Dos estudios buscan estimar el promedio de tiempo de traslado al colegio.
| Estudio | Estimación puntual | Intervalo de confianza |
|---|---|---|
| A | \(32\) minutos | \([30,\ 34]\) |
| B | \(32\) minutos | \([26,\ 38]\) |
Ambos estudios tienen la misma estimación puntual: \(32\) minutos.
Sin embargo, el Estudio A entrega un intervalo más estrecho, mientras que el Estudio B entrega un intervalo más amplio.
Un intervalo más amplio refleja mayor incertidumbre sobre el valor del parámetro.
Error frecuente
No se debe interpretar un intervalo de confianza como una certeza absoluta.
Por ejemplo, si se obtiene el intervalo \([6{,}9,\ 7{,}5]\), no se debe decir:
“La media poblacional está obligatoriamente dentro de ese intervalo”.
Una interpretación más cuidadosa es decir que el intervalo entrega valores razonables para el parámetro según la muestra y el método utilizado.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: distinguir estimación puntual e intervalo
Una muestra entrega una media muestral de \(\bar{x}=18{,}4\) minutos.
Luego se construye el intervalo de confianza:
\[ [16{,}8,\ 20{,}0] \]
- Identifica la estimación puntual.
- Identifica el intervalo de confianza.
- Explica qué información adicional entrega el intervalo.
La estimación puntual es:
\[ \bar{x}=18{,}4 \]
El intervalo de confianza es:
\[ [16{,}8,\ 20{,}0] \]
La estimación puntual entrega un solo valor para aproximar la media poblacional.
El intervalo entrega un rango de valores razonables para esa media poblacional.
La estimación puntual es \(18{,}4\) y el intervalo es \([16{,}8,\ 20{,}0]\).
Ejercicio 2: interpretar un intervalo para una media
Un estudio sobre horas de sueño entrega el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional:
\[ [6{,}7,\ 7{,}3] \]
Escribe una interpretación cuidadosa del intervalo.
El intervalo va desde \(6{,}7\) hasta \(7{,}3\) horas.
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}7\) y \(7{,}3\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.
No se debe afirmar que la media real sea exactamente el punto medio ni que el intervalo entregue certeza absoluta.
El intervalo entrega un rango razonable para \(\mu\), no una certeza exacta.
Ejercicio 3: intervalo para una proporción
Una encuesta entrega el siguiente intervalo de confianza para la proporción de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio:
\[ [0{,}22,\ 0{,}34] \]
- Exprésalo como porcentaje.
- Interpreta el intervalo en contexto.
Convertimos cada extremo a porcentaje:
\[ 0{,}22=22\% \]
\[ 0{,}34=34\% \]
Entonces, el intervalo es:
\[ [22\%,\ 34\%] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, la proporción de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio podría estar razonablemente entre \(22\%\) y \(34\%\)”.
El intervalo corresponde a \([22\%,\ 34\%]\).
Ejercicio 4: detectar una mala interpretación
Un intervalo de confianza para la media de tiempo de traslado es:
\[ [28,\ 36] \]
Un estudiante afirma:
“La media poblacional es exactamente \(32\) minutos, porque \(32\) es el centro del intervalo”.
Explica el error en esta interpretación.
El centro del intervalo es:
\[ \frac{28+36}{2}=32 \]
Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(32\) minutos.
El intervalo indica un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.
Una interpretación más adecuada sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(28\) y \(36\) minutos son razonables para la media poblacional”.
El error es tratar el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto del parámetro.
Ejercicio 5: comparar amplitudes
Dos estudios entregan intervalos de confianza para la media de horas de estudio semanal:
| Estudio | Intervalo de confianza |
|---|---|
| A | \([5{,}8,\ 6{,}2]\) |
| B | \([5{,}1,\ 6{,}9]\) |
- ¿Cuál intervalo es más estrecho?
- ¿Cuál intervalo refleja mayor incertidumbre?
- Justifica tu respuesta.
Calculamos la amplitud de cada intervalo.
Para el Estudio A:
\[ 6{,}2-5{,}8=0{,}4 \]
Para el Estudio B:
\[ 6{,}9-5{,}1=1{,}8 \]
El intervalo A es más estrecho.
El intervalo B es más amplio, por lo tanto refleja mayor incertidumbre sobre el parámetro.
A es más estrecho; B refleja mayor incertidumbre.
Ejercicio 6: completar una conclusión cuidadosa
Un estudio entrega el intervalo \([42,\ 48]\) para la media poblacional de minutos diarios de actividad física.
Completa la conclusión de forma cuidadosa:
“Según la muestra y el método utilizado, la media poblacional de minutos diarios de actividad física...”
Una forma adecuada de completar la conclusión es:
“Según la muestra y el método utilizado, la media poblacional de minutos diarios de actividad física podría estar razonablemente entre \(42\) y \(48\) minutos”.
Esta redacción es cuidadosa porque no presenta el intervalo como certeza absoluta.
La conclusión debe indicar un rango razonable, no una certeza exacta.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una municipalidad estima el promedio de tiempo de traslado al trabajo en una comuna.
La estimación puntual es \(41\) minutos y el intervalo de confianza obtenido es:
\[ [37,\ 45] \]
- Identifica la estimación puntual.
- Identifica el intervalo de confianza.
- Interpreta el intervalo en contexto.
- Explica por qué no sería correcto afirmar que la media real es exactamente \(41\) minutos.
La estimación puntual es:
\[ \bar{x}=41 \]
El intervalo de confianza es:
\[ [37,\ 45] \]
Una interpretación cuidadosa sería:
“Según la muestra y el método utilizado, la media poblacional de tiempo de traslado al trabajo en la comuna podría estar razonablemente entre \(37\) y \(45\) minutos”.
No sería correcto afirmar que la media real es exactamente \(41\) minutos porque ese valor es una estimación puntual basada en una muestra.
El intervalo muestra que existe incertidumbre alrededor de esa estimación.
La estimación puntual es \(41\) y el intervalo es \([37,\ 45]\).