Libro de las inferencias estadísticas
10. Interpretación correcta de un intervalo
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar correctamente intervalos de confianza para una media o una proporción poblacional.
- Distinguir entre el parámetro poblacional, la estimación puntual y los datos individuales.
- Reconocer interpretaciones incorrectas frecuentes de los intervalos de confianza.
¿Qué representa un intervalo de confianza?
Un intervalo de confianza entrega un rango de valores razonables para un parámetro poblacional.
Si se estudia una media, el intervalo se refiere a la media poblacional \(\mu\).
Si se estudia una proporción, el intervalo se refiere a la proporción poblacional \(p\).
El intervalo no describe directamente a cada individuo de la población, sino al parámetro que se quiere estimar.
Forma de una interpretación cuidadosa
Una interpretación adecuada debe mencionar el contexto, el parámetro y el alcance del método utilizado.
| Tipo de intervalo | Interpretación cuidadosa |
|---|---|
| Intervalo para una media \(\mu\) | Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(L\) y \(U\) son razonables para la media poblacional. |
| Intervalo para una proporción \(p\) | Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(L\) y \(U\) son razonables para la proporción poblacional. |
Errores frecuentes
No se debe interpretar un intervalo de confianza como si fuera una certeza absoluta.
Tampoco se debe decir que el intervalo contiene necesariamente al parámetro, ni que el centro del intervalo es exactamente el valor real de la población.
Otro error común es pensar que el intervalo describe a todos los datos individuales. Por ejemplo, un intervalo para la media de horas de sueño no significa que todos los estudiantes duerman dentro de ese rango.
Ejemplo 1: interpretar un intervalo para una media
Un estudio sobre horas de sueño entrega el siguiente intervalo de confianza aproximado para la media poblacional:
\[ [6{,}7,\ 7{,}5] \]
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}7\) y \(7{,}5\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.
Una interpretación incorrecta sería:
“Todos los estudiantes duermen entre \(6{,}7\) y \(7{,}5\) horas”.
El error está en confundir un intervalo para la media poblacional con un rango para los datos individuales.
Ejemplo 2: interpretar un intervalo para una proporción
Una encuesta entrega el siguiente intervalo de confianza para la proporción de hogares que separan residuos reciclables:
\[ [0{,}58,\ 0{,}70] \]
Como porcentaje:
\[ [58\%,\ 70\%] \]
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(58\%\) y \(70\%\) son razonables para la proporción poblacional de hogares que separan residuos reciclables”.
No significa que exactamente el \(64\%\), el centro del intervalo, sea necesariamente la proporción real de la población.
Ejemplo 3: comparar interpretaciones
Un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media de tiempo de traslado al colegio es:
\[ [24,\ 32] \]
| Interpretación | Evaluación |
|---|---|
| “La media poblacional podría estar razonablemente entre \(24\) y \(32\) minutos, según la muestra y el método usado”. | Correcta. |
| “Todos los estudiantes tardan entre \(24\) y \(32\) minutos”. | Incorrecta: confunde media con datos individuales. |
| “La media poblacional es exactamente \(28\) minutos”. | Incorrecta: el centro del intervalo no es necesariamente el valor exacto del parámetro. |
Idea clave
Un intervalo de confianza debe interpretarse como un rango razonable para un parámetro poblacional.
No describe obligatoriamente a cada individuo, no entrega certeza absoluta y no garantiza que el centro sea el valor exacto del parámetro.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un intervalo para una media
Un estudio entrega el siguiente intervalo de confianza para la media de horas de estudio semanal de una población de estudiantes:
\[ [5{,}4,\ 6{,}8] \]
Escribe una interpretación correcta del intervalo.
El intervalo va desde \(5{,}4\) hasta \(6{,}8\) horas.
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(5{,}4\) y \(6{,}8\) horas son razonables para la media poblacional de horas de estudio semanal”.
No se debe afirmar que todos los estudiantes estudian entre \(5{,}4\) y \(6{,}8\) horas.
El intervalo se refiere a la media poblacional \(\mu\), no a cada estudiante individual.
Ejercicio 2: interpretar un intervalo para una proporción
Una encuesta entrega el siguiente intervalo para la proporción de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio:
\[ [0{,}18,\ 0{,}30] \]
- Exprésalo como porcentaje.
- Interpreta el intervalo en contexto.
Convertimos cada extremo a porcentaje:
\[ 0{,}18=18\% \]
\[ 0{,}30=30\% \]
Entonces, el intervalo es:
\[ [18\%,\ 30\%] \]
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(18\%\) y \(30\%\) son razonables para la proporción poblacional de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio”.
El intervalo corresponde a \([18\%,\ 30\%]\) y se refiere a la proporción poblacional \(p\).
Ejercicio 3: detectar una interpretación incorrecta
Un intervalo de confianza para la media de edad de una población es:
\[ [15{,}8,\ 16{,}6] \]
Un estudiante afirma:
“Esto significa que todas las personas de la población tienen entre \(15{,}8\) y \(16{,}6\) años”.
Explica el error de interpretación.
El error está en interpretar el intervalo como si describiera a todos los individuos de la población.
El intervalo \([15{,}8,\ 16{,}6]\) se refiere a la media poblacional de edad, no a la edad de cada persona.
Puede haber personas con edades menores o mayores que esos valores.
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(15{,}8\) y \(16{,}6\) años son razonables para la media poblacional de edad”.
El intervalo habla de la media \(\mu\), no de todos los datos individuales.
Ejercicio 4: centro del intervalo
Un intervalo de confianza para una media poblacional es:
\[ [38,\ 46] \]
Un estudiante afirma:
“La media real es exactamente \(42\), porque \(42\) está en el centro del intervalo”.
- Verifica que \(42\) es el centro del intervalo.
- Explica por qué la interpretación del estudiante es incorrecta.
Calculamos el centro del intervalo:
\[ \frac{38+46}{2}=\frac{84}{2}=42 \]
Entonces, sí, \(42\) es el centro del intervalo.
Sin embargo, eso no significa que la media real sea exactamente \(42\).
El intervalo entrega un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.
El centro es \(42\), pero no necesariamente es el valor exacto de \(\mu\).
Ejercicio 5: elegir la interpretación adecuada
Un intervalo de confianza para la proporción de hogares con internet fijo es:
\[ [0{,}72,\ 0{,}84] \]
Elige la interpretación más adecuada y justifica:
- “Entre el \(72\%\) y el \(84\%\) de los hogares de la muestra tiene internet fijo”.
- “Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(72\%\) y \(84\%\) son razonables para la proporción poblacional de hogares con internet fijo”.
- “El \(78\%\) de todos los hogares tiene internet fijo, porque \(78\%\) es el centro del intervalo”.
La interpretación más adecuada es la segunda.
La primera no interpreta el intervalo como estimación de un parámetro poblacional, sino como si describiera solo la muestra.
La tercera trata el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de la proporción poblacional.
La segunda reconoce que el intervalo entrega valores razonables para la proporción poblacional.
La opción 2 es la interpretación correcta.
Ejercicio 6: corregir una conclusión
Un estudio entrega el intervalo:
\[ [47,\ 53] \]
para la media de puntajes de una población.
Un informe concluye:
“La media poblacional es exactamente \(50\), y todos los puntajes están entre \(47\) y \(53\)”.
Reescribe la conclusión de forma correcta.
La conclusión original tiene dos problemas.
Primero, afirma que la media poblacional es exactamente \(50\), solo porque \(50\) es el centro del intervalo.
Segundo, afirma que todos los puntajes están entre \(47\) y \(53\), pero el intervalo se refiere a la media poblacional, no a los puntajes individuales.
Una conclusión correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(47\) y \(53\) son razonables para la media poblacional de puntajes”.
El intervalo debe interpretarse como un rango razonable para \(\mu\), no como descripción de todos los datos.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una municipalidad realiza una encuesta para estimar el promedio de minutos diarios de actividad física de sus habitantes.
El intervalo de confianza obtenido es:
\[ [36,\ 48] \]
- Identifica el parámetro al que se refiere el intervalo.
- Interpreta correctamente el intervalo en contexto.
- Explica por qué no se puede concluir que todos los habitantes realizan entre \(36\) y \(48\) minutos diarios de actividad física.
- Explica por qué no se debe afirmar que la media poblacional es exactamente \(42\) minutos.
El parámetro al que se refiere el intervalo es la media poblacional de minutos diarios de actividad física de los habitantes de la comuna:
\[ \mu \]
Una interpretación correcta sería:
“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(36\) y \(48\) minutos son razonables para la media poblacional de minutos diarios de actividad física”.
No se puede concluir que todos los habitantes realizan entre \(36\) y \(48\) minutos diarios, porque el intervalo se refiere a la media poblacional, no a cada dato individual.
El centro del intervalo es:
\[ \frac{36+48}{2}=42 \]
Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(42\) minutos. El intervalo entrega un rango razonable, no un valor exacto obligatorio.
El intervalo se refiere a \(\mu\), se interpreta como rango razonable y no como certeza absoluta.