Libro de las inferencias estadísticas
11. Hipótesis estadística
Objetivo de aprendizaje
- Comprender una hipótesis estadística como una afirmación sobre un parámetro poblacional.
- Distinguir entre una afirmación sobre una muestra y una hipótesis sobre una población.
- Reconocer que una hipótesis estadística se evalúa con evidencia muestral, no se demuestra con certeza absoluta.
¿Qué es una hipótesis estadística?
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre una característica de una población.
Normalmente se refiere a un parámetro poblacional, como una media \(\mu\) o una proporción \(p\).
Por ejemplo, una empresa puede afirmar que la masa promedio de sus envases es \(500\) g. Esa afirmación habla de una media poblacional, porque se refiere a todos los envases producidos por el proceso.
Hipótesis y parámetro
Una hipótesis estadística debe referirse a una población, no solo a los datos observados en una muestra.
| Tipo de parámetro | Ejemplo de hipótesis estadística | Parámetro involucrado |
|---|---|---|
| Media poblacional | “El promedio real de masa de los envases es \(500\) g”. | \(\mu\) |
| Proporción poblacional | “La proporción real de estudiantes que usa transporte público es mayor que \(60\%\)”. | \(p\) |
De la afirmación a la evidencia
Una hipótesis estadística se plantea antes de analizar la evidencia muestral.
Luego se toma una muestra y se estudia si los datos observados apoyan o cuestionan esa afirmación.
La inferencia estadística no entrega certezas absolutas: permite decidir si la muestra entrega evidencia suficiente para considerar razonable o dudosa una afirmación sobre la población.
Ejemplo 1: hipótesis sobre una media
Una fábrica afirma que la masa promedio de sus envases es \(500\) g.
La hipótesis estadística se refiere a la media poblacional:
\[ \mu=\text{masa promedio real de todos los envases producidos} \]
La afirmación puede expresarse como:
“La media poblacional de masa de los envases es \(500\) g”.
Para evaluar esta hipótesis, se puede seleccionar una muestra de envases y calcular una media muestral \(\bar{x}\).
Si la muestra entrega \(\bar{x}=498\), ese resultado no demuestra por sí solo que la hipótesis sea falsa. Se debe analizar si la diferencia observada puede explicarse por variabilidad muestral o si es suficientemente importante para cuestionar la afirmación.
Ejemplo 2: hipótesis sobre una proporción
Una municipalidad afirma que más del \(50\%\) de los hogares de una comuna separa residuos reciclables.
La hipótesis se refiere a una proporción poblacional:
\[ p=\text{proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables} \]
La afirmación puede expresarse como:
“La proporción poblacional de hogares que separan residuos reciclables es mayor que \(50\%\)”.
Para evaluarla, se puede tomar una muestra aleatoria de hogares y calcular la proporción muestral \(\hat{p}\).
La muestra entrega evidencia, pero no una demostración absoluta.
Ejemplo 3: afirmación muestral versus hipótesis estadística
Observa estas dos afirmaciones:
| Afirmación | ¿Es hipótesis estadística? | Justificación |
|---|---|---|
| “En la muestra, \(42\) de \(60\) estudiantes usan internet para estudiar”. | No | Describe un resultado observado en la muestra. |
| “La proporción real de estudiantes del colegio que usan internet para estudiar es mayor que \(60\%\)”. | Sí | Es una afirmación sobre una proporción poblacional \(p\). |
Una hipótesis estadística habla de la población. La muestra se usa después para evaluarla.
Error frecuente
No se debe confundir una hipótesis estadística con el resultado de una muestra.
Una hipótesis plantea algo sobre la población. Un estadístico muestral entrega evidencia para analizar esa hipótesis.
Por ejemplo, \(\bar{x}=72\) es un resultado muestral; en cambio, “la media poblacional es \(70\)” es una hipótesis sobre \(\mu\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una hipótesis estadística
Indica cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a una hipótesis estadística:
- “En la muestra, la media de horas de sueño fue \(7{,}1\)”.
- “La media real de horas de sueño de los estudiantes del colegio es \(7\) horas”.
La primera afirmación describe un resultado obtenido en una muestra.
La segunda afirmación habla de la media real de toda la población de estudiantes del colegio.
Como se refiere a un parámetro poblacional, corresponde a una hipótesis estadística.
La afirmación 2 corresponde a una hipótesis estadística.
Ejercicio 2: identificar el parámetro involucrado
Una empresa afirma:
“La masa promedio real de sus paquetes es \(1000\) g”.
- ¿La afirmación se refiere a una media o a una proporción?
- ¿Qué parámetro está involucrado?
- ¿Qué estadístico muestral podría usarse para evaluarla?
La afirmación se refiere a una media, porque habla de la masa promedio real.
El parámetro involucrado es la media poblacional:
\[ \mu \]
Para evaluarla, se podría seleccionar una muestra de paquetes y calcular la media muestral:
\[ \bar{x} \]
La hipótesis se refiere a \(\mu\), y se puede evaluar usando \(\bar{x}\).
Ejercicio 3: hipótesis sobre una proporción
Un colegio afirma:
“Más del \(70\%\) de sus estudiantes usa una plataforma digital para estudiar”.
- ¿La afirmación se refiere a una media o a una proporción?
- Escribe el parámetro poblacional involucrado.
- Indica qué estadístico muestral podría usarse para evaluar la afirmación.
La afirmación se refiere a una proporción, porque habla del porcentaje de estudiantes que usa una plataforma digital.
El parámetro poblacional involucrado es:
\[ p=\text{proporción real de estudiantes del colegio que usa una plataforma digital para estudiar} \]
Para evaluar la afirmación, se puede tomar una muestra aleatoria y calcular la proporción muestral:
\[ \hat{p} \]
La hipótesis se refiere a \(p\), y puede evaluarse usando \(\hat{p}\).
Ejercicio 4: distinguir muestra y población
Una encuesta a \(120\) estudiantes entrega que \(78\) prefieren evaluaciones con proyectos.
Clasifica cada afirmación como resultado muestral o hipótesis estadística:
- “En la muestra, \(78\) de \(120\) estudiantes prefieren evaluaciones con proyectos”.
- “La proporción real de estudiantes del colegio que prefieren evaluaciones con proyectos es mayor que \(60\%\)”.
- “La proporción muestral observada es \(\hat{p}=\frac{78}{120}\)”.
La afirmación 1 es un resultado muestral, porque describe lo observado en la muestra.
La afirmación 2 es una hipótesis estadística, porque habla de una proporción real de la población.
La afirmación 3 también es un resultado muestral, porque calcula un estadístico desde la muestra.
Resultados muestrales: 1 y 3. Hipótesis estadística: 2.
Ejercicio 5: transformar una afirmación vaga
La siguiente afirmación es poco precisa:
“Los estudiantes duermen poco”.
Reescríbela como una hipótesis estadística sobre una media poblacional.
Para transformar la afirmación en una hipótesis estadística, se debe indicar una población, una variable y un parámetro.
Una posible redacción sería:
“La media real de horas de sueño de los estudiantes del colegio es menor que \(7\) horas diarias”.
Esta afirmación es más precisa porque se refiere a una media poblacional \(\mu\) y establece un valor de comparación.
Una hipótesis posible es: “\(\mu\) es menor que \(7\) horas diarias”.
Ejercicio 6: evaluar evidencia sin certeza absoluta
Una fábrica afirma que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g.
Una muestra aleatoria entrega una media muestral de \(\bar{x}=497\) g.
Un estudiante concluye:
“La hipótesis de la fábrica es falsa, porque \(497\neq 500\)”.
Explica por qué esa conclusión es apresurada.
La conclusión es apresurada porque una media muestral puede diferir del valor poblacional por variabilidad muestral.
El hecho de que \(\bar{x}=497\) no coincida exactamente con \(500\) no demuestra automáticamente que la media poblacional sea distinta de \(500\).
Para evaluar la hipótesis, se necesita analizar si la diferencia observada es pequeña o suficientemente importante considerando la variabilidad de los datos y el tamaño muestral.
No basta comparar \(497\) con \(500\); se debe considerar la incertidumbre muestral.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una municipalidad afirma que la proporción real de hogares que separan residuos reciclables es mayor que \(60\%\).
Se toma una muestra aleatoria de \(200\) hogares y \(132\) declaran separar residuos.
- Identifica la hipótesis estadística en palabras.
- Identifica el parámetro poblacional involucrado.
- Calcula la proporción muestral.
- Explica por qué la muestra entrega evidencia, pero no una certeza absoluta.
La hipótesis estadística es:
“La proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables es mayor que \(60\%\)”.
El parámetro involucrado es:
\[ p=\text{proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables} \]
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{132}{200}=0{,}66 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}66=66\% \]
La muestra entrega evidencia a favor de la afirmación, porque el \(66\%\) observado está por sobre el \(60\%\).
Sin embargo, no entrega certeza absoluta, porque otra muestra podría producir una proporción distinta. Para decidir formalmente se necesitarán criterios inferenciales que se estudiarán en las siguientes páginas.
La hipótesis se refiere a \(p\); la muestra entrega \(\hat{p}=0{,}66\), que es evidencia, no certeza absoluta.