Libro de las inferencias estadísticas
14. Prueba de hipótesis para una media: versión escolar
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar una prueba de hipótesis para una media poblacional en una versión escolar.
- Calcular el error estándar y la distancia entre una media muestral y un valor hipotético.
- Tomar una decisión estadística cuidadosa: rechazar o no rechazar \(H_0\), sin afirmar certezas absolutas.
¿Qué se evalúa en una prueba para una media?
Una prueba de hipótesis para una media permite evaluar si los datos de una muestra entregan evidencia suficiente para cuestionar una afirmación sobre una media poblacional \(\mu\).
Por ejemplo, una empresa puede afirmar que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g. Esa afirmación se puede representar como:
\[ H_0:\mu=500 \]
Luego se toma una muestra y se analiza si la media muestral observada está suficientemente lejos de \(500\), considerando la variabilidad muestral.
Distancia estandarizada
Para evaluar qué tan lejos está la media muestral del valor planteado en \(H_0\), usamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE} \]
donde:
- \(\bar{x}\) es la media muestral.
- \(\mu_0\) es el valor planteado en la hipótesis nula.
- \(EE\) es el error estándar.
El error estándar se calcula como:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}} \]
Criterio escolar aproximado
En esta versión escolar, usaremos el siguiente criterio aproximado:
| Hipótesis alternativa | Criterio aproximado para rechazar \(H_0\) |
|---|---|
| \(H_1:\mu\ne\mu_0\) | Rechazar \(H_0\) si \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\). |
| \(H_1:\mu>\mu_0\) | Rechazar \(H_0\) si \(Z_{\text{obs}}\ge 2\). |
| \(H_1:\mu<\mu_0\) | Rechazar \(H_0\) si \(Z_{\text{obs}}\le -2\). |
Este criterio permite decidir si la media muestral está suficientemente lejos del valor planteado en \(H_0\).
Atención
Rechazar \(H_0\) no significa demostrar con certeza absoluta que \(H_0\) sea falsa.
No rechazar \(H_0\) tampoco significa demostrar que \(H_0\) sea verdadera.
La conclusión siempre debe hablar de evidencia suficiente o insuficiente, según la muestra y el criterio utilizado.
Ejemplo 1: no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\)
Una fábrica declara que la masa promedio real de sus envases es \(500\) g.
Se quiere evaluar si la media real es distinta de \(500\) g.
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=500 \]
\[ H_1:\mu\ne 500 \]
Una muestra aleatoria de \(36\) envases entrega:
\[ \bar{x}=497,\qquad s=12 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2 \]
Calculamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{497-500}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Como la hipótesis alternativa es \(\mu\ne 500\), usamos \(|Z_{\text{obs}}|\):
\[ |Z_{\text{obs}}|=|-1{,}5|=1{,}5 \]
Como \(1{,}5<2\), no se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la masa promedio real sea \(500\) g”.
Ejemplo 2: evidencia suficiente para rechazar \(H_0\)
Un colegio afirma que la media real de puntaje en una prueba es \(50\) puntos.
Un equipo quiere evaluar si la media real es mayor que \(50\).
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=50 \]
\[ H_1:\mu>50 \]
Una muestra aleatoria de \(25\) estudiantes entrega:
\[ \bar{x}=55,\qquad s=10 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2 \]
Calculamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{55-50}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5 \]
Como la hipótesis alternativa es \(\mu>50\), rechazamos \(H_0\) si \(Z_{\text{obs}}\ge 2\).
Como \(2{,}5\ge 2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional es mayor que \(50\) puntos”.
Ejemplo 3: interpretar correctamente la decisión
Supongamos que en una prueba se decide no rechazar \(H_0:\mu=100\).
Una interpretación incorrecta sería:
“Se demostró que \(\mu=100\)”.
Una interpretación correcta sería:
“Con la muestra disponible y el criterio utilizado, no hay evidencia suficiente para rechazar que \(\mu=100\)”.
La diferencia es importante: una prueba de hipótesis no demuestra verdades absolutas, sino que permite tomar decisiones razonables con evidencia.
Pasos para una prueba de hipótesis para una media
- Formular \(H_0\) y \(H_1\).
- Identificar \(\bar{x}\), \(s\), \(n\) y \(\mu_0\).
- Calcular el error estándar \(EE=\frac{s}{\sqrt{n}}\).
- Calcular \(Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE}\).
- Comparar con el criterio correspondiente.
- Escribir una conclusión cuidadosa en contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar elementos de la prueba
Una empresa afirma que el tiempo promedio real de atención es \(12\) minutos.
Se quiere evaluar si el tiempo promedio real es distinto de \(12\) minutos.
Una muestra entrega:
\[ \bar{x}=13{,}1,\qquad s=4,\qquad n=64 \]
- Formula \(H_0\).
- Formula \(H_1\).
- Identifica \(\mu_0\), \(\bar{x}\), \(s\) y \(n\).
La hipótesis nula usa el valor declarado:
\[ H_0:\mu=12 \]
Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es distinto de \(12\), la hipótesis alternativa es:
\[ H_1:\mu\ne 12 \]
Los datos son:
\[ \mu_0=12,\qquad \bar{x}=13{,}1,\qquad s=4,\qquad n=64 \]
\(H_0:\mu=12\), \(H_1:\mu\ne 12\).
Ejercicio 2: calcular error estándar y distancia estandarizada
Una muestra aleatoria entrega:
\[ \bar{x}=82,\qquad s=15,\qquad n=25 \]
Se quiere evaluar la hipótesis:
\[ H_0:\mu=80 \]
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}} \]
Como \(\sqrt{25}=5\):
\[ EE=\frac{15}{5}=3 \]
Ahora calculamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE}=\frac{82-80}{3} \]
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67 \]
\(EE=3\) y \(Z_{\text{obs}}\approx 0{,}67\).
Ejercicio 3: prueba con alternativa distinta
Una fábrica declara que la masa promedio real de sus productos es \(200\) g.
Se quiere evaluar si la media real es distinta de \(200\) g.
Una muestra de \(36\) productos entrega:
\[ \bar{x}=196,\qquad s=12 \]
- Formula \(H_0\) y \(H_1\).
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando el criterio aproximado \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\).
- Escribe una conclusión cuidadosa.
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=200 \]
\[ H_1:\mu\ne 200 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2 \]
Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{196-200}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \]
Como la alternativa es distinta, usamos el valor absoluto:
\[ |Z_{\text{obs}}|=|-2|=2 \]
Como \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar que la masa promedio real sea \(200\) g”.
Se rechaza \(H_0\), porque \(|Z_{\text{obs}}|=2\).
Ejercicio 4: prueba con alternativa mayor
Una aplicación afirma que el tiempo promedio real para completar una actividad es \(20\) minutos.
Un equipo sospecha que el tiempo promedio real es mayor que \(20\) minutos.
Una muestra de \(49\) usuarios entrega:
\[ \bar{x}=23,\qquad s=10{,}5 \]
- Formula \(H_0\) y \(H_1\).
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando el criterio \(Z_{\text{obs}}\ge 2\).
- Escribe una conclusión en contexto.
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=20 \]
\[ H_1:\mu>20 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{10{,}5}{\sqrt{49}}=\frac{10{,}5}{7}=1{,}5 \]
Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{23-20}{1{,}5}=\frac{3}{1{,}5}=2 \]
Como \(Z_{\text{obs}}\ge 2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real para completar la actividad es mayor que \(20\) minutos”.
Se rechaza \(H_0\), porque \(Z_{\text{obs}}=2\).
Ejercicio 5: prueba con alternativa menor
Un colegio afirma que sus estudiantes duermen en promedio \(7\) horas diarias.
Una orientadora sospecha que la media real es menor que \(7\) horas.
Una muestra de \(64\) estudiantes entrega:
\[ \bar{x}=6{,}6,\qquad s=1{,}6 \]
- Formula \(H_0\) y \(H_1\).
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando el criterio \(Z_{\text{obs}}\le -2\).
- Escribe una conclusión cuidadosa.
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=7 \]
\[ H_1:\mu<7 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{1{,}6}{\sqrt{64}}=\frac{1{,}6}{8}=0{,}2 \]
Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{6{,}6-7}{0{,}2}=\frac{-0{,}4}{0{,}2}=-2 \]
Como \(Z_{\text{obs}}\le -2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media real de horas de sueño es menor que \(7\) horas”.
Se rechaza \(H_0\), porque \(Z_{\text{obs}}=-2\).
Ejercicio 6: no rechazar no es demostrar
En una prueba de hipótesis se obtuvo \(Z_{\text{obs}}=1{,}2\) para evaluar:
\[ H_0:\mu=40 \]
\[ H_1:\mu\ne 40 \]
Un estudiante afirma:
“Como no se rechaza \(H_0\), queda demostrado que \(\mu=40\)”.
Explica el error.
Como \(H_1:\mu\ne 40\), se usaría el criterio \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\).
En este caso:
\[ |Z_{\text{obs}}|=|1{,}2|=1{,}2 \]
Como \(1{,}2<2\), no se rechaza \(H_0\).
Pero eso no significa demostrar que \(\mu=40\).
Solo significa que, con la muestra disponible y el criterio utilizado, no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\).
No rechazar \(H_0\) no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa declara que el tiempo promedio real de espera de sus clientes es \(10\) minutos.
Un grupo de usuarios sospecha que el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos.
Una muestra aleatoria de \(81\) clientes entrega:
\[ \bar{x}=11,\qquad s=4{,}5 \]
- Formula \(H_0\) y \(H_1\).
- Calcula el error estándar.
- Calcula \(Z_{\text{obs}}\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando el criterio correspondiente.
- Escribe una conclusión cuidadosa en contexto.
- Explica por qué la conclusión no es una certeza absoluta.
Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos, las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=10 \]
\[ H_1:\mu>10 \]
Calculamos el error estándar:
\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4{,}5}{\sqrt{81}} \]
Como \(\sqrt{81}=9\):
\[ EE=\frac{4{,}5}{9}=0{,}5 \]
Calculamos la distancia estandarizada:
\[ Z_{\text{obs}}=\frac{11-10}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}=2 \]
Como la alternativa es \(\mu>10\), se rechaza \(H_0\) si \(Z_{\text{obs}}\ge 2\).
Como \(Z_{\text{obs}}=2\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
Esta conclusión no es una certeza absoluta porque se basa en una muestra y en un criterio de decisión estadístico.
Se rechaza \(H_0\). La muestra apoya que \(\mu>10\), pero no lo demuestra con certeza absoluta.