Libro de las inferencias estadísticas
15. Valor p: interpretación conceptual
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el valor p como una medida de qué tan compatible es la evidencia muestral con la hipótesis nula.
- Comparar el valor p con el nivel de significancia \(\alpha\) para tomar una decisión estadística.
- Interpretar correctamente el valor p sin confundirlo con la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.
¿Qué es el valor p?
El valor p es una medida que ayuda a decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra la hipótesis nula \(H_0\).
De manera conceptual, el valor p indica qué tan raro sería obtener un resultado como el observado, o más extremo, si la hipótesis nula fuera cierta.
Un valor p pequeño indica que el resultado observado sería poco compatible con \(H_0\). Por eso, entrega evidencia contra la hipótesis nula.
Regla de decisión con valor p
Para tomar una decisión, se compara el valor p con el nivel de significancia \(\alpha\):
| Comparación | Decisión | Interpretación |
|---|---|---|
| \(p\text{-valor}\le \alpha\) | Rechazar \(H_0\) | La evidencia muestral es suficientemente fuerte contra \(H_0\). |
| \(p\text{-valor}>\alpha\) | No rechazar \(H_0\) | La evidencia muestral no es suficientemente fuerte para rechazar \(H_0\). |
Error frecuente
No se debe decir que el valor p es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.
El valor p se calcula suponiendo que \(H_0\) es cierta y mide qué tan extremo resulta el dato observado bajo esa suposición.
Por eso, un valor p pequeño no demuestra con certeza absoluta que \(H_0\) sea falsa; indica evidencia estadística contra ella.
Ejemplo 1: interpretar un valor p pequeño
Una empresa declara que el tiempo promedio real de espera es \(10\) minutos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=10 \]
\[ H_1:\mu>10 \]
Luego de analizar una muestra, se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}03 \]
Si se usa un nivel de significancia de:
\[ \alpha=0{,}05 \]
comparamos:
\[ 0{,}03\le 0{,}05 \]
Como el valor p es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
Ejemplo 2: interpretar un valor p grande
Un colegio afirma que la media real de puntaje en una prueba es \(60\) puntos.
Se plantea:
\[ H_0:\mu=60 \]
\[ H_1:\mu\ne 60 \]
Después de analizar una muestra, se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}18 \]
Si se usa:
\[ \alpha=0{,}05 \]
comparamos:
\[ 0{,}18>0{,}05 \]
Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).
Conclusión cuidadosa:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(60\) puntos”.
No se debe decir que quedó demostrado que \(\mu=60\).
Ejemplo 3: valor p y zona extrema
En una prueba con hipótesis alternativa:
\[ H_1:\mu>\mu_0 \]
un resultado muy alto de \(Z_{\text{obs}}\) puede considerarse extremo, porque apunta hacia valores mayores que el planteado en \(H_0\).
El siguiente gráfico representa una zona de cola derecha, asociada a resultados extremos en una prueba con alternativa “mayor que”.
Mientras más pequeña sea esta zona, menor será el valor p.
Un valor p pequeño indica que el resultado observado sería poco frecuente si \(H_0\) fuera cierta.
Idea clave
El valor p ayuda a decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte para rechazar \(H_0\).
Si \(p\text{-valor}\le \alpha\), se rechaza \(H_0\).
Si \(p\text{-valor}>\alpha\), no se rechaza \(H_0\).
La conclusión siempre debe hablar de evidencia, no de certeza absoluta.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: comparar valor p y significancia
En una prueba de hipótesis se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}04 \]
Se usa un nivel de significancia:
\[ \alpha=0{,}05 \]
¿Se rechaza o no se rechaza \(H_0\)? Justifica.
Comparamos el valor p con \(\alpha\):
\[ 0{,}04\le 0{,}05 \]
Como el valor p es menor que el nivel de significancia, se rechaza \(H_0\).
Esto significa que la muestra entrega evidencia suficiente contra \(H_0\), usando el criterio del \(5\%\).
Se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}04\le 0{,}05\).
Ejercicio 2: no rechazar con valor p grande
En una prueba de hipótesis se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}12 \]
Se usa:
\[ \alpha=0{,}05 \]
¿Qué decisión se toma? Explica su significado.
Comparamos:
\[ 0{,}12>0{,}05 \]
Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).
Esto significa que la muestra no entrega evidencia suficientemente fuerte contra \(H_0\), usando el nivel de significancia del \(5\%\).
No significa que \(H_0\) haya sido demostrada como verdadera.
No se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}12>0{,}05\).
Ejercicio 3: decidir con otro nivel de significancia
Una prueba entrega:
\[ p\text{-valor}=0{,}03 \]
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando \(\alpha=0{,}05\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando \(\alpha=0{,}01\).
- Explica por qué la decisión puede cambiar.
Con \(\alpha=0{,}05\):
\[ 0{,}03\le 0{,}05 \]
Por lo tanto, se rechaza \(H_0\).
Con \(\alpha=0{,}01\):
\[ 0{,}03>0{,}01 \]
Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\).
La decisión cambia porque \(\alpha=0{,}01\) es un criterio más exigente que \(\alpha=0{,}05\).
Con \(5\%\) se rechaza \(H_0\); con \(1\%\) no se rechaza \(H_0\).
Ejercicio 4: detectar una mala interpretación
Un estudiante afirma:
“Si el valor p es \(0{,}02\), entonces hay \(2\%\) de probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera”.
Explica por qué esta interpretación es incorrecta.
La interpretación es incorrecta porque el valor p no es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.
El valor p se interpreta suponiendo que \(H_0\) es cierta.
Indica qué tan raro sería obtener un resultado como el observado, o más extremo, bajo esa suposición.
Por eso, \(p\text{-valor}=0{,}02\) indica evidencia fuerte contra \(H_0\) si se usa, por ejemplo, \(\alpha=0{,}05\), pero no significa que \(H_0\) tenga \(2\%\) de probabilidad de ser verdadera.
El valor p no mide la probabilidad de verdad de \(H_0\).
Ejercicio 5: conclusión al rechazar \(H_0\)
Se plantea:
\[ H_0:\mu=20 \]
\[ H_1:\mu>20 \]
Una prueba entrega:
\[ p\text{-valor}=0{,}018 \]
Con \(\alpha=0{,}05\), escribe una conclusión cuidadosa.
Comparamos:
\[ 0{,}018\le 0{,}05 \]
Como el valor p es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional es mayor que \(20\)”.
No se debe afirmar que se demostró con certeza absoluta que \(\mu>20\).
Se rechaza \(H_0\); la conclusión debe hablar de evidencia suficiente.
Ejercicio 6: conclusión al no rechazar \(H_0\)
Se plantea:
\[ H_0:p=0{,}60 \]
\[ H_1:p\ne 0{,}60 \]
Una prueba entrega:
\[ p\text{-valor}=0{,}27 \]
Con \(\alpha=0{,}05\), escribe una conclusión cuidadosa.
Comparamos:
\[ 0{,}27>0{,}05 \]
Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).
Una conclusión cuidadosa sería:
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la proporción poblacional sea \(0{,}60\)”.
No se debe decir que se demostró que \(p=0{,}60\).
No se rechaza \(H_0\); eso no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa declara que el tiempo promedio real de espera de sus clientes es \(10\) minutos.
Un grupo quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos.
Se obtiene:
\[ p\text{-valor}=0{,}041 \]
- Formula \(H_0\) y \(H_1\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando \(\alpha=0{,}05\).
- Decide si se rechaza \(H_0\) usando \(\alpha=0{,}01\).
- Explica qué muestra este caso sobre el nivel de significancia.
- Escribe una conclusión cuidadosa para \(\alpha=0{,}05\).
Las hipótesis son:
\[ H_0:\mu=10 \]
\[ H_1:\mu>10 \]
Con \(\alpha=0{,}05\):
\[ 0{,}041\le 0{,}05 \]
Por lo tanto, se rechaza \(H_0\).
Con \(\alpha=0{,}01\):
\[ 0{,}041>0{,}01 \]
Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\).
Este caso muestra que un nivel de significancia menor es más exigente. La misma evidencia puede ser suficiente para un criterio del \(5\%\), pero no para uno del \(1\%\).
Conclusión cuidadosa para \(\alpha=0{,}05\):
“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.
Con \(5\%\) se rechaza \(H_0\); con \(1\%\) no se rechaza.