libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
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Objetivo
- Comprender y aplicar conversiones entre unidades cúbicas, reconociendo que al medir volumen el factor de conversión lineal se aplica en tres dimensiones.
Convertir volúmenes no es convertir longitudes
En la página anterior vimos que el volumen se mide contando cubos unitarios.
Por eso, cuando convertimos unidades cúbicas, no basta con cambiar la unidad como si fuera una longitud.
La razón es que un volumen tiene tres dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto} \]
Entonces, si una unidad lineal cambia por un factor, la unidad cúbica cambia por ese factor tres veces.
La idea clave
Sabemos que:
\[ 1m = 100cm \]
Pero un metro cúbico no es una línea de \(100cm\). Es un cubo de \(1m\) de largo, \(1m\) de ancho y \(1m\) de alto.
Entonces:
\[ 1m^3 = 1m \times 1m \times 1m \]
Como cada metro equivale a \(100cm\):
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
¿Por qué aparecen 1 000 000 cm³?
La escalera de unidades cúbicas
Para convertir unidades cúbicas también podemos usar una escalera, pero ahora cada escalón cambia por un factor \(1000\), no por \(10\) ni por \(100\).
Esto ocurre porque cada unidad cúbica mide tres dimensiones.
En esta escalera:
\[ km^3,\quad hm^3,\quad dam^3,\quad m^3,\quad dm^3,\quad cm^3,\quad mm^3 \]
Si se baja un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña, se multiplica por \(1000\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(1000^2 = 1\,000\,000\).
Si se sube un escalón hacia una unidad cúbica más grande, se divide por \(1000\).
Técnica de conversión de volúmenes
Para convertir unidades cúbicas, se usa el factor lineal elevado al cubo.
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{factor}^3 \]
| Movimiento en la escalera cúbica | Factor de volumen | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(1000\) | Multiplicar por \(1000\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\,000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(1000\) | Dividir por \(1000\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\,000\) |
Por ejemplo, como:
\[ 1m = 100cm \]
entonces:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
El factor \(100\) aparece tres veces porque el volumen mide tres dimensiones.
Ejemplo 1: pasar de m³ a cm³
Convierte \(2m^3\) a \(cm^3\).
En la escalera cúbica:
\[ m^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow cm^3 \]
Son dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña, entonces multiplicamos por \(1\,000\,000\):
\[ 2m^3 = 2 \cdot 1\,000\,000cm^3 \]
\[ 2m^3 = 2\,000\,000cm^3 \]
Esto significa que un volumen de \(2m^3\) puede llenarse con \(2\,000\,000\) cubos de \(1cm^3\).
Ejemplo 2: pasar de cm³ a m³
Convierte \(500\,000cm^3\) a \(m^3\).
En la escalera cúbica:
\[ cm^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow m^3 \]
Son dos escalones hacia una unidad cúbica más grande, entonces dividimos por \(1\,000\,000\):
\[ 500\,000cm^3 = (500\,000 \div 1\,000\,000)m^3 \]
\[ 500\,000cm^3 = 0{,}5m^3 \]
Ejemplo 3: convertir entre cm³ y mm³
Convierte \(6cm^3\) a \(mm^3\).
En la escalera cúbica:
\[ cm^3 \rightarrow mm^3 \]
Es un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña, entonces multiplicamos por \(1000\):
\[ 6cm^3 = 6 \cdot 1000mm^3 \]
\[ 6cm^3 = 6000mm^3 \]
Error común
Un error frecuente es convertir así:
\[ 1m^3 = 100cm^3 \]
Pero eso es incorrecto.
La equivalencia \(1m = 100cm\) sirve para longitudes, no directamente para volúmenes.
En volúmenes hay tres dimensiones:
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Comparación importante
Observa cómo cambia la conversión según la dimensión:
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
La unidad lineal cambia una vez, la unidad cuadrada cambia dos veces y la unidad cúbica cambia tres veces.
Actividad
Realiza las siguientes conversiones de unidades cúbicas. Puedes ayudarte con la escalera de unidades cúbicas.
- \(3m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}25m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(1{,}5m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(2\,000\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(750\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(4cm^3 = \_\_\_\_ mm^3\)
- \(8500mm^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}008m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(7dm^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(38\,000m^3 = \_\_\_\_ dam^3\)
Luego responde:
¿Por qué al convertir de \(m^3\) a \(cm^3\) no multiplicamos por 100, sino por 1 000 000?
¿Qué representa concretamente \(1cm^3\)?
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña: \(m^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow cm^3\). Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 3m^3 = 3 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 3\,000\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}25m^3 = 0{,}25 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 250\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 1{,}5m^3 = 1{,}5 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 1\,500\,000cm^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más grande: \(cm^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow m^3\). Entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 2\,000\,000cm^3 = (2\,000\,000 \div 1\,000\,000)m^3 = 2m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 750\,000cm^3 = (750\,000 \div 1\,000\,000)m^3 = 0{,}75m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(mm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 4cm^3 = 4 \cdot 1000mm^3 = 4000mm^3 \]
- De \(mm^3\) a \(cm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1000\): \[ 8500mm^3 = (8500 \div 1000)cm^3 = 8{,}5cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}008m^3 = 0{,}008 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 8000cm^3 \]
- De \(dm^3\) a \(cm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 7dm^3 = 7 \cdot 1000cm^3 = 7000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(dam^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1000\): \[ 38\,000m^3 = (38\,000 \div 1000)dam^3 = 38dam^3 \]
Al convertir de \(m^3\) a \(cm^3\) no multiplicamos por \(100\), sino por \(1\,000\,000\), porque el volumen mide tres dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
También se puede ver en la escalera cúbica: de \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones, y cada escalón multiplica por \(1000\):
\[ 1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000 \]
Un cubo de \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto.
Idea clave
Un volumen mide tres dimensiones.
Por eso, al convertir unidades cúbicas, el factor lineal se aplica tres veces.
\[ \text{factor de volumen} = \text{factor lineal}^3 \]
En la escalera de unidades cúbicas, cada escalón equivale a multiplicar o dividir por \(1000\).
Así, como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Convertir volúmenes es cambiar la unidad cúbica, no solo el nombre de la medida.