libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
9. 9
Objetivo
- Comprender cómo cambian las longitudes, las superficies y los volúmenes cuando una figura o cuerpo se amplía o reduce mediante un factor de escala.
¿Qué ocurre cuando cambiamos el tamaño?
En geometría no solo medimos objetos. También podemos compararlos cuando uno es una ampliación o reducción de otro.
Si todas las longitudes de una figura o cuerpo se multiplican por el mismo número, decimos que hay un factor de escala.
Pero no todas las medidas cambian de la misma manera.
Esto ocurre porque cada tipo de medida depende de una cantidad distinta de dimensiones:
\[ \text{longitud} \rightarrow 1 \text{ dimensión} \]
\[ \text{superficie} \rightarrow 2 \text{ dimensiones} \]
\[ \text{volumen} \rightarrow 3 \text{ dimensiones} \]
Factor de escala
Cuando todas las longitudes de una figura o cuerpo se multiplican por un mismo número, llamamos a ese número factor de escala.
Lo representaremos con la letra \(k\).
El factor \(k\) actúa directamente sobre las longitudes. Por eso también podemos entenderlo como un factor lineal.
Si el factor de escala es \(k\), entonces:
| Tipo de medida | Dimensión | Cambio producido |
|---|---|---|
| Longitud | 1 dimensión | \(\times k\) |
| Superficie o área | 2 dimensiones | \(\times k^2\) |
| Volumen | 3 dimensiones | \(\times k^3\) |
Esto se debe a que las superficies dependen de dos dimensiones y los volúmenes dependen de tres dimensiones.
Si duplicamos las longitudes
Ejemplo 1: aumentar al doble
Supongamos que un cuerpo se agranda al doble en todas sus longitudes.
Entonces el factor de escala es:
\[ k = 2 \]
Las longitudes se multiplican por \(2\):
\[ L' = 2L \]
Las superficies se multiplican por \(2^2 = 4\):
\[ A' = 4A \]
Los volúmenes se multiplican por \(2^3 = 8\):
\[ V' = 8V \]
Por eso, si un cuerpo se agranda al doble en sus longitudes, su volumen no se duplica: se multiplica por \(8\).
Ejemplo 2: reducir a la mitad
Si un cuerpo se reduce a la mitad en todas sus longitudes, entonces:
\[ k = \frac{1}{2} \]
Las longitudes se multiplican por:
\[ \frac{1}{2} \]
Las superficies se multiplican por:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Los volúmenes se multiplican por:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
Es decir, al reducir las longitudes a la mitad, el volumen queda en la octava parte.
Ejemplo 3: volumen de un cuerpo ampliado
Un cuerpo tiene volumen \(15cm^3\). Se amplía con factor de escala \(k = 3\).
Como el volumen depende de tres dimensiones, se multiplica por \(k^3\):
\[ k^3 = 3^3 = 27 \]
Entonces:
\[ V' = 27 \cdot 15cm^3 \]
\[ V' = 405cm^3 \]
El nuevo volumen será \(405cm^3\).
Resumen técnico
Si una figura o cuerpo cambia con factor de escala \(k\), entonces:
\[ L' = kL \]
\[ A' = k^2A \]
\[ V' = k^3V \]
Donde:
- \(L\) representa una longitud original.
- \(A\) representa un área o superficie original.
- \(V\) representa un volumen original.
- \(L'\), \(A'\) y \(V'\) representan las nuevas medidas.
Relación con las conversiones
Esta idea también explica por qué las conversiones cambian según la dimensión.
Como:
\[ 1m = 100cm \]
el factor lineal es \(100\).
Para longitudes:
\[ 1m = 100cm \]
Para superficies:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
Para volúmenes:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Las conversiones no son reglas aisladas: dependen de la dimensión de lo que se mide.
Error común
Un error frecuente es pensar:
“Si duplico el tamaño de un cuerpo, también duplico su volumen”.
Eso es incorrecto si se duplican todas sus longitudes.
Duplicar el tamaño lineal significa duplicar el largo, el ancho y el alto.
Pero el volumen depende de tres dimensiones:
\[ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Por eso, al duplicar las longitudes, el volumen se multiplica por \(8\).
Actividad
Resuelve usando el factor de escala.
- Una figura se amplía con factor \(k = 3\). ¿Por cuánto se multiplican sus longitudes?
- Con el mismo factor \(k = 3\), ¿por cuánto se multiplican sus superficies?
- Con el mismo factor \(k = 3\), ¿por cuánto se multiplican sus volúmenes?
- Un cuerpo tiene volumen \(12cm^3\). Si se amplía con factor \(k = 2\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una superficie mide \(20m^2\). Si se reduce con factor \(k = \frac{1}{2}\), ¿cuál será su nueva superficie?
- Un cuerpo tiene volumen \(80cm^3\). Si se reduce con factor \(k = \frac{1}{2}\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una maqueta se construye con factor \(k = \frac{1}{10}\) respecto del objeto real. ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
- Si \(1m = 100cm\), ¿por qué \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\)?
Luego responde:
¿Por qué el área cambia con \(k^2\) y el volumen con \(k^3\)?
- Si \(k = 3\), las longitudes se multiplican por: \[ k = 3 \] Por lo tanto, las longitudes se multiplican por \(3\).
- Las superficies se multiplican por \(k^2\). Entonces: \[ k^2 = 3^2 = 9 \] Por lo tanto, las superficies se multiplican por \(9\).
- Los volúmenes se multiplican por \(k^3\). Entonces: \[ k^3 = 3^3 = 27 \] Por lo tanto, los volúmenes se multiplican por \(27\).
- Si el volumen original es \(12cm^3\) y \(k = 2\), el volumen se multiplica por: \[ 2^3 = 8 \] Entonces: \[ V' = 8 \cdot 12cm^3 = 96cm^3 \] El nuevo volumen será \(96cm^3\).
- Si la superficie original es \(20m^2\) y \(k = \frac{1}{2}\), la superficie se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Entonces: \[ A' = \frac{1}{4} \cdot 20m^2 = 5m^2 \] La nueva superficie será \(5m^2\).
- Si el volumen original es \(80cm^3\) y \(k = \frac{1}{2}\), el volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] Entonces: \[ V' = \frac{1}{8} \cdot 80cm^3 = 10cm^3 \] El nuevo volumen será \(10cm^3\).
- Si la maqueta tiene factor \(k = \frac{1}{10}\), su volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000} \] Por lo tanto, el volumen de la maqueta es la milésima parte del volumen del objeto real.
- No equivale a \(100cm^3\), porque \(1m = 100cm\) es una conversión lineal. Para volumen, el factor \(100\) se aplica en tres dimensiones: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \] \[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
El área cambia con \(k^2\) porque una superficie depende de dos dimensiones. Si cada longitud se multiplica por \(k\), entonces:
\[ k \cdot k = k^2 \]
El volumen cambia con \(k^3\) porque un cuerpo depende de tres dimensiones. Si largo, ancho y alto se multiplican por \(k\), entonces:
\[ k \cdot k \cdot k = k^3 \]
Idea clave
Cuando una figura o cuerpo cambia de tamaño mediante un factor de escala, no todas sus medidas cambian igual.
\[ \text{longitudes} \rightarrow \times k \]
\[ \text{<a class="autolink" title="Superficies" href="https://profearauco.cl/mod/book/view.php?id=994">superficies</a>} \rightarrow \times k^2 \]
\[ \text{volúmenes} \rightarrow \times k^3 \]
Esta idea se relaciona con las conversiones de unidades lineales, cuadradas y cúbicas, y también será importante para estudiar semejanza, homotecia, modelos a escala y Geometría 3D.