libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
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Objetivo
- Integrar las ideas del libro para reconocer qué se está midiendo, elegir la unidad adecuada, realizar conversiones y justificar por qué las unidades lineales, cuadradas, cúbicas y de capacidad se comportan de manera distinta, comprendiendo que la capacidad es volumen interior de un recipiente.
Antes de avanzar
En este libro estudiamos una idea central:
Medir es contar unidades.
Pero no siempre contamos el mismo tipo de unidad.
Si medimos una longitud, contamos unidades lineales.
Si medimos una superficie, contamos unidades cuadradas.
Si medimos un volumen, contamos unidades cúbicas.
Cuando hablamos de capacidad, también hablamos de volumen: específicamente, del volumen interior que puede contener un recipiente.
Por eso, los litros no están separados del volumen. Son unidades de volumen usadas habitualmente para recipientes.
Volumen y capacidad no son ideas separadas
El volumen mide espacio: espacio ocupado por un cuerpo o espacio disponible dentro de un recipiente.
La capacidad es el volumen interior que puede contener un recipiente.
Por eso podemos escribir:
\[ \text{capacidad} = \text{volumen interior de un recipiente} \]
Las unidades cúbicas, como \(cm^3\), \(dm^3\) y \(m^3\), expresan volumen geométrico.
Las unidades como \(mL\), \(L\) y \(kL\) también expresan volumen, pero se usan mucho para hablar de capacidad de recipientes.
Resumen visual
Resumen técnico
Para convertir unidades, primero debemos mirar la dimensión de la medida.
| Tipo de medida | Escalera | Cada escalón |
|---|---|---|
| Longitud | \(km,\ hm,\ dam,\ m,\ dm,\ cm,\ mm\) | \(\times 10\) o \(\div 10\) |
| Superficie | \(km^2,\ hm^2,\ dam^2,\ m^2,\ dm^2,\ cm^2,\ mm^2\) | \(\times 100\) o \(\div 100\) |
| Volumen geométrico | \(km^3,\ hm^3,\ dam^3,\ m^3,\ dm^3,\ cm^3,\ mm^3\) | \(\times 1000\) o \(\div 1000\) |
| Capacidad como volumen interior | \(kL,\ hL,\ daL,\ L,\ dL,\ cL,\ mL\) | \(\times 10\) o \(\div 10\) |
La misma equivalencia lineal genera efectos distintos porque una longitud mide una dimensión, una superficie mide dos y un volumen mide tres.
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Puentes entre litros y unidades cúbicas
Los litros se conectan con el volumen geométrico mediante equivalencias importantes.
\[ 1mL = 1cm^3 \]
\[ 1L = 1dm^3 = 1000cm^3 \]
\[ 1kL = 1000L = 1m^3 \]
Estas equivalencias muestran que \(mL\), \(L\) y \(kL\) también expresan volumen, aunque se usen especialmente para recipientes.
Litro no significa peso
El litro mide volumen o capacidad, no masa ni peso.
Dos recipientes pueden contener \(1L\), pero pesar distinto si contienen materiales diferentes.
Por ejemplo, \(1L\) de agua y \(1L\) de aceite ocupan el mismo volumen, pero no necesariamente tienen la misma masa.
Parte A: ¿Qué se está midiendo?
Clasifica cada situación como longitud, superficie o volumen. Si corresponde al volumen interior que puede contener un recipiente, indícalo como capacidad.
- El largo de una sala.
- La cantidad de pintura necesaria para cubrir una pared.
- El espacio que ocupa una caja.
- La cantidad de agua que cabe en una botella.
- El borde de una ventana.
- El piso que cubren unas baldosas.
- El espacio interior de una piscina cuando se quiere saber cuánta agua puede contener.
- La distancia entre dos puntos.
- La cantidad de cubos de \(1cm^3\) que llenan una caja.
- La cantidad de litros que puede contener un estanque.
- Longitud. El largo de una sala mide una distancia en una sola dirección.
- Superficie. La pintura cubre una región de la pared, por lo tanto se relaciona con el área.
- Volumen. El espacio que ocupa una caja corresponde a una medida en tres dimensiones.
- Volumen interior o capacidad. La cantidad de agua que cabe en una botella indica cuánto puede contener el recipiente.
- Longitud. El borde de una ventana corresponde a una distancia alrededor de la figura.
- Superficie. Las baldosas cubren una región del piso.
- Volumen interior o capacidad. Se pregunta cuánto puede contener la piscina, por ejemplo, de agua.
- Longitud. La distancia entre dos puntos se mide en una dimensión.
- Volumen. Contar cubos de \(1cm^3\) corresponde a medir volumen.
- Volumen interior o capacidad. Los litros indican cuánto volumen puede contener un recipiente.
Parte B: Elige la unidad adecuada
Escribe una unidad razonable para cada situación.
- El largo de un lápiz: ________
- La superficie de una mesa: ________
- El volumen de una caja pequeña: ________
- El volumen interior que puede contener una botella de bebida: ________
- La distancia entre dos ciudades: ________
- La superficie de un terreno: ________
- El volumen de una sala: ________
- El volumen interior que puede contener un estanque: ________
- La cantidad pequeña de líquido que puede contener una cuchara: ________
- El volumen geométrico de un cubo de arista \(1cm\): ________
Recuerda que la unidad debe coincidir con lo que se mide.
Las respuestas pueden variar si la unidad elegida es razonable. Una posibilidad es:
- El largo de un lápiz: centímetros, por ejemplo \(cm\).
- La superficie de una mesa: centímetros cuadrados o metros cuadrados, por ejemplo \(cm^2\) o \(m^2\).
- El volumen de una caja pequeña: centímetros cúbicos, por ejemplo \(cm^3\).
- El volumen interior que puede contener una botella de bebida: litros o mililitros, por ejemplo \(L\) o \(mL\).
- La distancia entre dos ciudades: kilómetros, por ejemplo \(km\).
- La superficie de un terreno: metros cuadrados, por ejemplo \(m^2\).
- El volumen de una sala: metros cúbicos, por ejemplo \(m^3\).
- El volumen interior que puede contener un estanque: litros, kilolitros o metros cúbicos, por ejemplo \(L\), \(kL\) o \(m^3\).
- La cantidad pequeña de líquido que puede contener una cuchara: mililitros, por ejemplo \(mL\).
- El volumen geométrico de un cubo de arista \(1cm\): centímetros cúbicos, específicamente \(1cm^3\).
Parte C: Conversiones lineales
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades lineales.
- \(4m = \_\_\_\_ cm\)
- \(750cm = \_\_\_\_ m\)
- \(3{,}5km = \_\_\_\_ m\)
- \(48mm = \_\_\_\_ cm\)
- \(6{,}2m = \_\_\_\_ mm\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(10\).
- De \(m\) a \(cm\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100\): \[ 4m = 4 \cdot 100cm = 400cm \]
- De \(cm\) a \(m\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(100\): \[ 750cm = 750 \div 100 = 7{,}5m \]
- De \(km\) a \(m\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 3{,}5km = 3{,}5 \cdot 1000m = 3500m \]
- De \(mm\) a \(cm\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(10\): \[ 48mm = 48 \div 10 = 4{,}8cm \]
- De \(m\) a \(mm\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 6{,}2m = 6{,}2 \cdot 1000mm = 6200mm \]
Parte D: Conversiones cuadradas
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades cuadradas.
- \(4m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(0{,}75m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(30\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(6cm^2 = \_\_\_\_ mm^2\)
- \(38\,000m^2 = \_\_\_\_ dam^2\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(100\).
\[ \text{factor de superficie} = \text{factor lineal}^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100 \cdot 100 = 10\,000\): \[ 4m^2 = 4 \cdot 10\,000cm^2 = 40\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) se multiplica por \(10\,000\): \[ 0{,}75m^2 = 0{,}75 \cdot 10\,000cm^2 = 7500cm^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(10\,000\): \[ 30\,000cm^2 = 30\,000 \div 10\,000 = 3m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(mm^2\) hay un escalón hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100\): \[ 6cm^2 = 6 \cdot 100mm^2 = 600mm^2 \]
- De \(m^2\) a \(dam^2\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(100\): \[ 38\,000m^2 = 38\,000 \div 100 = 380dam^2 \]
Parte E: Conversiones cúbicas
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades cúbicas.
- \(4m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}25m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(2\,500\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(7cm^3 = \_\_\_\_ mm^3\)
- \(38\,000m^3 = \_\_\_\_ dam^3\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(1000\).
\[ \text{factor de volumen} = \text{factor lineal}^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000\): \[ 4m^3 = 4 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 4\,000\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}25m^3 = 0{,}25 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 250\,000cm^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 2\,500\,000cm^3 = 2\,500\,000 \div 1\,000\,000 = 2{,}5m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(mm^3\) hay un escalón hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 7cm^3 = 7 \cdot 1000mm^3 = 7000mm^3 \]
- De \(m^3\) a \(dam^3\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1000\): \[ 38\,000m^3 = 38\,000 \div 1000 = 38dam^3 \]
Parte F: Litros y volumen interior
Realiza las siguientes conversiones usando la escalera de litros y las equivalencias puente con unidades cúbicas.
- \(350cm^3 = \_\_\_\_ mL\)
- \(2500cm^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(3L = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(4m^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(1500L = \_\_\_\_ m^3\)
- \(2{,}5L = \_\_\_\_ mL\)
- \(0{,}75kL = \_\_\_\_ L\)
- \(7{,}5L = \_\_\_\_ dm^3\)
Luego explica con tus palabras qué significa que un recipiente tenga capacidad de \(3L\).
- Como \(1cm^3 = 1mL\), entonces: \[ 350cm^3 = 350mL \]
- Como \(1000cm^3 = 1L\), entonces: \[ 2500cm^3 = 2500 \div 1000 = 2{,}5L \]
- Como \(1L = 1000cm^3\), entonces: \[ 3L = 3 \cdot 1000cm^3 = 3000cm^3 \]
- Como \(1m^3 = 1000L\), entonces: \[ 4m^3 = 4 \cdot 1000L = 4000L \]
- Como \(1000L = 1m^3\), entonces: \[ 1500L = 1500 \div 1000 = 1{,}5m^3 \]
- De \(L\) a \(mL\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 2{,}5L = 2{,}5 \cdot 1000mL = 2500mL \]
- De \(kL\) a \(L\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 0{,}75kL = 0{,}75 \cdot 1000L = 750L \]
- Como \(1L = 1dm^3\), entonces: \[ 7{,}5L = 7{,}5dm^3 \]
Decir que un recipiente tiene capacidad de \(3L\) significa que su volumen interior permite contener \(3\) litros. Como \(1L = 1000cm^3\), también significa que puede contener un volumen equivalente a \(3000cm^3\), es decir, \(3000\) cubos de \(1cm^3\).
Parte G: Escala
Resuelve usando el factor de escala.
- Una figura se amplía con factor \(k=2\). ¿Por cuánto se multiplican sus longitudes?
- Con el mismo factor \(k=2\), ¿por cuánto se multiplican sus superficies?
- Con el mismo factor \(k=2\), ¿por cuánto se multiplican sus volúmenes?
- Un cuerpo tiene volumen \(15cm^3\). Si se amplía con factor \(k=3\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una superficie mide \(80m^2\). Si se reduce con factor \(k=\frac{1}{2}\), ¿cuál será su nueva superficie?
- Una maqueta se construye con factor \(k=\frac{1}{10}\). ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
- Las longitudes se multiplican por \(k\). Si \(k=2\), entonces se multiplican por: \[ 2 \]
- Las superficies se multiplican por \(k^2\). Si \(k=2\), entonces: \[ 2^2 = 4 \] Por lo tanto, las superficies se multiplican por \(4\).
- Los volúmenes se multiplican por \(k^3\). Si \(k=2\), entonces: \[ 2^3 = 8 \] Por lo tanto, los volúmenes se multiplican por \(8\).
- Si \(k=3\), el volumen se multiplica por: \[ 3^3 = 27 \] Entonces: \[ V' = 15cm^3 \cdot 27 = 405cm^3 \] El nuevo volumen será \(405cm^3\).
- Si \(k=\frac{1}{2}\), la superficie se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Entonces: \[ A' = 80m^2 \cdot \frac{1}{4} = 20m^2 \] La nueva superficie será \(20m^2\).
- El volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000} \] Por lo tanto, el volumen de la maqueta es la milésima parte del volumen del objeto real.
Parte H: Explica y justifica
Responde con frases completas.
- ¿Por qué \(1m^2\) no equivale a \(100cm^2\)?
- ¿Por qué \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\)?
- ¿Qué representa concretamente \(1cm^2\)?
- ¿Qué representa concretamente \(1cm^3\)?
- ¿Por qué una fórmula de área puede entenderse como una forma rápida de contar cuadrados?
- ¿Por qué una fórmula de volumen puede entenderse como una forma rápida de contar cubos?
- ¿Por qué \(1L\) no es lo mismo que \(1cm^3\)?
- ¿Por qué un litro no indica cuánto pesa una sustancia?
- ¿Por qué la capacidad puede entenderse como volumen interior?
- \(1m^2\) no equivale a \(100cm^2\) porque una superficie mide dos dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces: \[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
- \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\) porque un volumen mide tres dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
- \(1cm^2\) representa un cuadrado de \(1cm\) de largo por \(1cm\) de ancho: \[ 1cm^2 = 1cm \times 1cm \]
- \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto: \[ 1cm^3 = 1cm \times 1cm \times 1cm \]
- Una fórmula de área puede entenderse como una forma rápida de contar cuadrados porque calcula cuántas unidades cuadradas cubren una región sin dibujar ni contar una por una. Por ejemplo, en un rectángulo: \[ A = largo \cdot ancho \]
- Una fórmula de volumen puede entenderse como una forma rápida de contar cubos porque calcula cuántas unidades cúbicas llenan un espacio sin contar cada cubo por separado. Por ejemplo, en una caja rectangular: \[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
- \(1L\) no es lo mismo que \(1cm^3\), porque: \[ 1cm^3 = 1mL \] y: \[ 1L = 1000mL = 1000cm^3 \]
- Un litro no indica cuánto pesa una sustancia porque el litro mide volumen o capacidad. Dos sustancias pueden ocupar \(1L\), pero tener masas distintas.
- La capacidad puede entenderse como volumen interior porque indica cuánto espacio disponible tiene un recipiente para contener líquido, gas, arena u otro material.
Revisa estos errores
Indica si cada afirmación es correcta o incorrecta. Si es incorrecta, corrígela.
- \(1m^2 = 100cm^2\)
- \(1m^3 = 1\,000\,000cm^3\)
- \(1L = 1cm^3\)
- \(1mL = 1cm^3\)
- El área mide el borde de una figura.
- El volumen mide cuántos cubos unitarios llenan un espacio.
- Si duplico todas las longitudes de un cuerpo, su volumen se multiplica por \(8\).
- Si dos recipientes contienen \(1L\), entonces necesariamente pesan lo mismo.
- Los litros no tienen relación con el volumen.
- Incorrecta. Como \(1m = 100cm\), al convertir una superficie se aplica el factor dos veces: \[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
- Correcta. Como \(1m = 100cm\), al convertir un volumen se aplica el factor tres veces: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
- Incorrecta. La equivalencia correcta es: \[ 1L = 1000cm^3 \] porque: \[ 1cm^3 = 1mL \] y: \[ 1L = 1000mL \]
- Correcta. Un mililitro corresponde al mismo volumen que un centímetro cúbico: \[ 1mL = 1cm^3 \]
- Incorrecta. El área mide la superficie de una figura. El borde de una figura se mide con el perímetro.
- Correcta. El volumen indica cuántos cubos unitarios llenan u ocupan un espacio.
- Correcta. Si se duplican todas las longitudes, el factor de escala es \(k=2\). El volumen cambia con \(k^3\), entonces: \[ 2^3 = 8 \]
- Incorrecta. Dos recipientes pueden contener el mismo volumen, por ejemplo \(1L\), pero pesar distinto si contienen materiales diferentes.
- Incorrecta. Los litros sí se relacionan con el volumen. Por ejemplo: \[ 1L = 1dm^3 = 1000cm^3 \]
Idea final del libro
En Geometría 3D, las unidades no son un detalle final: son parte del significado de la medida.
\[ cm \rightarrow \text{cuenta unidades lineales} \]
\[ cm^2 \rightarrow \text{cuenta cuadrados unitarios} \]
\[ cm^3 \rightarrow \text{cuenta cubos unitarios} \]
\[ mL,\ L,\ kL \rightarrow \text{expresan volumen, especialmente volumen interior de recipientes} \]
La capacidad no está separada del volumen: es una manera de hablar del volumen que puede contener un recipiente.
Comprender esto nos prepara para estudiar cuerpos geométricos, superficies, volúmenes, escalas, coordenadas 3D, vectores y representaciones del espacio.