Libro de los volumenes
2. Antes de calcular: reconocer el cuerpo y sus datos
Objetivo
- Reconocer distintos cuerpos geométricos y distinguir los datos que se necesitan para calcular su volumen, como arista, largo, ancho, altura, radio, diámetro y área de la base.
Antes de usar una fórmula
Para calcular el volumen de un cuerpo, primero debemos reconocer qué cuerpo es y qué datos son importantes.
No todos los cuerpos se describen de la misma manera.
Un cubo se describe usando su arista.
Un ortoedro se describe usando largo, ancho y alto.
Un cilindro o un cono se describen usando radio y altura.
Una esfera se describe usando su radio.
La idea no es memorizar nombres sueltos, sino saber qué información permite responder:
¿Cuántas unidades cúbicas llenan este cuerpo?
Una aclaración importante
Los cuerpos poligonales, como cubos, ortoedros, prismas y pirámides, tienen caras, aristas y vértices.
Pero los cuerpos redondos no siempre siguen esa estructura.
Un cilindro tiene bases circulares y una superficie curva.
Un cono tiene una base circular, una superficie lateral curva y un vértice.
Una esfera no tiene caras planas, aristas ni vértices.
Por eso, para calcular volumen debemos aprender a reconocer los elementos relevantes de cada tipo de cuerpo.
Cuerpos y datos importantes
Tabla de orientación
| Cuerpo | Datos necesarios para el volumen | Idea geométrica |
|---|---|---|
| Cubo | Arista | Todas sus dimensiones son iguales. |
| Ortoedro | Largo, ancho y alto | Caja rectangular formada por capas. |
| Prisma | Área de la base y altura | Una base que se repite a lo largo de una altura. |
| Cilindro | Radio y altura | Base circular que se repite en altura. |
| Pirámide | Área de la base y altura | Relacionada con un prisma de igual base y altura. |
| Cono | Radio y altura | Relacionado con un cilindro de igual base y altura. |
| Esfera | Radio | Cuerpo redondo determinado por su radio. |
La altura debe ser perpendicular
En varios cuerpos, como prismas, cilindros, pirámides y conos, la altura es un dato fundamental.
Pero hay que tener cuidado: la altura no siempre es el lado inclinado que vemos en el dibujo.
La altura es la distancia perpendicular entre la base y el punto o plano correspondiente.
En un cono, por ejemplo, la altura baja desde el vértice hasta el centro de la base.
La línea inclinada del cono se llama generatriz, y será más importante cuando estudiemos superficies. Para volumen, normalmente necesitamos el radio y la altura.
Ejemplo
Supongamos que queremos calcular el volumen de un cilindro.
Antes de calcular, debemos preguntarnos:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Los datos corresponden realmente a ese cuerpo?
Para un cilindro necesitamos conocer su radio y su altura.
Si nos entregan el diámetro, primero podemos obtener el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Luego, en una página posterior, usaremos esos datos para calcular su volumen.
Error común
Un error frecuente es usar cualquier medida que aparezca en el dibujo, sin revisar qué representa.
Por ejemplo, en un cono no es lo mismo la altura que la generatriz.
La altura va perpendicular a la base.
La generatriz va inclinada por la superficie lateral.
Para calcular volumen, la medida importante es la altura perpendicular.
Actividad
Para cada situación, identifica el cuerpo y los datos necesarios para calcular su volumen.
Actividad 1
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una caja rectangular y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una caja rectangular corresponde a un ortoedro.
Para calcular su volumen se necesitan tres medidas:
\[ largo,\quad ancho,\quad alto \]
La idea es contar cuántos cubos unitarios caben en una capa y luego multiplicar por la cantidad de capas.
Por eso, más adelante se usará:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Actividad 2
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un dado con todas sus aristas iguales y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un dado con todas sus aristas iguales corresponde a un cubo.
Para calcular su volumen basta conocer la medida de una arista, porque el largo, el ancho y el alto son iguales.
Si la arista mide \(a\), entonces sus tres dimensiones son:
\[ a,\quad a,\quad a \]
Por eso, más adelante se usará:
\[ V = a^3 \]
Actividad 3
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una lata de bebida y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una lata de bebida se puede modelar como un cilindro.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio corresponde a la distancia desde el centro de la base circular hasta su borde.
La altura corresponde a la distancia perpendicular entre las dos bases circulares.
Si se entrega el diámetro, primero se obtiene el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 4
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una pirámide de base cuadrada y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una pirámide de base cuadrada corresponde a una pirámide.
Para calcular su volumen se necesita conocer:
\[ \text{área de la base} \quad \text{y} \quad \text{altura} \]
Como la base es cuadrada, para obtener el área de la base se puede usar la medida del lado del cuadrado.
Si el lado de la base mide \(a\), entonces:
\[ A_{\text{base}} = a^2 \]
La altura debe ser perpendicular desde el vértice hasta la base, no una arista lateral inclinada.
Actividad 5
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un cono de tránsito y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un cono de tránsito se puede modelar como un cono.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio se mide en la base circular.
La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, de manera perpendicular.
No se debe confundir la altura con la generatriz, porque la generatriz es la línea inclinada que va por la superficie lateral.
Actividad 6
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una pelota y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una pelota se puede modelar como una esfera.
Para calcular su volumen se necesita conocer su radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Si se conoce el diámetro, primero se puede calcular el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 7
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un prisma triangular y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un prisma triangular corresponde a un prisma cuya base es un triángulo.
Para calcular su volumen se necesita:
\[ \text{área de la base} \quad \text{y} \quad \text{altura del prisma} \]
Como la base es triangular, el área de la base se puede calcular con:
\[ A_{\text{base}} = \frac{b \cdot h}{2} \]
Luego, esa base triangular se repite a lo largo de la altura del prisma.
Actividad 8
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un estanque cilíndrico y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un estanque cilíndrico se puede modelar como un cilindro.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio corresponde a la base circular del estanque.
La altura corresponde a la distancia perpendicular entre la base inferior y la base superior.
Si se entrega el diámetro del estanque, primero se calcula:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 9
¿Por qué no basta con saber el nombre del cuerpo para calcular su volumen?
No basta con saber el nombre del cuerpo porque también se necesitan las medidas correctas.
Por ejemplo, saber que un cuerpo es un cilindro indica qué tipo de fórmula se usará, pero no permite calcular su volumen si no conocemos su radio y su altura.
Además, algunas medidas pueden parecer útiles, pero no ser las necesarias para volumen.
Por eso, antes de calcular, conviene preguntarse:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesita ese cuerpo?
- ¿Las medidas entregadas corresponden a esos datos?
Actividad 10
¿Qué diferencia hay entre altura y generatriz en un cono?
En un cono, la altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el centro de la base.
La generatriz, en cambio, es la línea inclinada que va desde el vértice hasta un punto del borde de la base, recorriendo la superficie lateral.
Para calcular volumen, normalmente se necesita la altura perpendicular, no la generatriz.
Por eso, si un dibujo muestra una medida inclinada, no se debe usar automáticamente como altura.
Idea clave
Antes de calcular volumen, debemos reconocer el cuerpo y sus datos importantes.
En cuerpos poligonales pueden aparecer caras, aristas y vértices.
En cuerpos redondos aparecen elementos como radio, diámetro, altura, base circular y superficie curva.
Calcular volumen no comienza con una fórmula: comienza entendiendo qué cuerpo estamos midiendo.