Libro de los volumenes
4. Volumen de prismas
Objetivo
- Calcular el volumen de prismas, comprendiendo que un prisma se puede interpretar como una base que se repite a lo largo de una altura.
Del ortoedro al prisma
En la página anterior calculamos el volumen de cubos y ortoedros.
Ahora ampliaremos esa idea a otros cuerpos llamados prismas.
Un prisma es un cuerpo que tiene dos bases iguales y paralelas.
Estas bases pueden tener distintas formas:
- rectangular,
- triangular,
- cuadrada,
- pentagonal,
- hexagonal, entre otras.
La idea central es que el prisma se forma al repetir una misma base a lo largo de una altura.
Fórmula general del volumen de un prisma
Para calcular el volumen de un prisma usamos:
\[ V = A_b \cdot h \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura del prisma.
Esta fórmula significa:
volumen = área de una capa × número de capas
Un prisma como base repetida
¿Qué representa el área de la base?
El área de la base representa cuántas unidades cuadradas hay en una capa del prisma.
La altura indica cuántas veces se repite esa capa.
Por eso, al multiplicar:
\[ A_b \cdot h \]
obtenemos unidades cúbicas.
Por ejemplo:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Esto muestra que el resultado corresponde a un volumen.
Ejemplo 1: prisma rectangular
Un prisma rectangular tiene una base de \(6cm\) por \(4cm\), y una altura de \(10cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 6 \cdot 4 \]
\[ A_b = 24cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 24 \cdot 10 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Esto significa que el prisma puede llenarse con 240 cubos de \(1cm^3\).
Ejemplo 2: prisma triangular
Un prisma triangular tiene una base triangular de \(8cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura del prisma es \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{8 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = 20cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 20 \cdot 12 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Por lo tanto, el prisma triangular tiene un volumen de \(240cm^3\).
Atención con las alturas
En un prisma triangular aparecen dos alturas diferentes.
Una es la altura del triángulo de la base.
La otra es la altura del prisma.
Por ejemplo:
\[ A_b = \frac{\text{base del triángulo} \cdot \text{altura del triángulo}}{2} \]
y después:
\[ V = A_b \cdot \text{altura del prisma} \]
No son necesariamente la misma medida.
Resumen de fórmulas útiles
Para cualquier prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
Si la base es rectangular:
\[ A_b = largo \cdot ancho \]
Si la base es triangular:
\[ A_b = \frac{base \cdot altura}{2} \]
Si la base es otra figura, primero se calcula el área de esa base y luego se multiplica por la altura del prisma.
Error común
Un error frecuente es multiplicar todas las medidas que aparecen en el dibujo sin identificar qué representan.
En un prisma, primero debemos reconocer la base y calcular su área.
Después multiplicamos esa área por la altura del prisma.
La fórmula correcta es:
\[ V = A_b \cdot h \]
No se trata de multiplicar datos al azar, sino de entender qué capa se repite.
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes prismas.
Actividad 1
Un prisma rectangular tiene base de \(5cm\) por \(3cm\), y altura de \(8cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 5 \cdot 3 \]
\[ A_b = 15cm^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 15 \cdot 8 \]
\[ V = 120cm^3 \]
El volumen del prisma es \(120cm^3\).
Actividad 2
Un prisma rectangular tiene base de \(10m\) por \(4m\), y altura de \(6m\). Calcula su volumen.
Calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 10 \cdot 4 \]
\[ A_b = 40m^2 \]
Ahora multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 40 \cdot 6 \]
\[ V = 240m^3 \]
El volumen del prisma es \(240m^3\).
Actividad 3
Un prisma triangular tiene base triangular de \(6cm\) y altura triangular de \(4cm\). La altura del prisma es \(9cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{6 \cdot 4}{2} \]
\[ A_b = \frac{24}{2} \]
\[ A_b = 12cm^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 12 \cdot 9 \]
\[ V = 108cm^3 \]
El volumen del prisma triangular es \(108cm^3\).
Actividad 4
Un prisma triangular tiene base triangular de \(12m\) y altura triangular de \(5m\). La altura del prisma es \(7m\). Calcula su volumen.
Calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{12 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = \frac{60}{2} \]
\[ A_b = 30m^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 30 \cdot 7 \]
\[ V = 210m^3 \]
El volumen del prisma triangular es \(210m^3\).
Actividad 5
Un prisma tiene área de base \(35cm^2\) y altura \(11cm\). ¿Cuál es su volumen?
En este caso ya se conoce el área de la base:
\[ A_b = 35cm^2 \]
La altura del prisma es:
\[ h = 11cm \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 35 \cdot 11 \]
\[ V = 385cm^3 \]
El volumen del prisma es \(385cm^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula \(V = A_b \cdot h\) sirve para distintos tipos de prismas?
La fórmula \(V = A_b \cdot h\) sirve para distintos tipos de prismas porque todos los prismas tienen una base que se repite a lo largo de una altura.
La forma de la base puede cambiar: puede ser rectangular, triangular, pentagonal u otra.
Pero en todos los casos, primero se calcula el área de una capa, que es el área de la base:
\[ A_b \]
Luego se multiplica por la altura, que indica cuánto se extiende o se repite esa base:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso la misma idea funciona para cualquier prisma.
Actividad 7
¿Qué significa el área de la base dentro del cálculo del volumen?
El área de la base representa la cantidad de unidades cuadradas que hay en una capa del prisma.
Por ejemplo, si:
\[ A_b = 20cm^2 \]
eso significa que una capa ocupa \(20\) unidades cuadradas.
Al multiplicar esa área por la altura, contamos cuántas unidades cúbicas llenan todo el prisma:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Por eso el resultado final es un volumen.
Desafío con unidades
Un prisma tiene área de base \(0{,}8m^2\) y altura \(150cm\).
Antes de calcular, convierte la altura a metros. Luego calcula el volumen en \(m^3\).
Desafío
Un prisma tiene área de base \(0{,}8m^2\) y altura \(150cm\). Calcula su volumen en \(m^3\).
Primero convertimos la altura a metros.
Como:
\[ 100cm = 1m \]
entonces:
\[ 150cm = 1{,}5m \]
Ahora usamos la fórmula del volumen del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
Reemplazamos:
\[ V = 0{,}8 \cdot 1{,}5 \]
\[ V = 1{,}2m^3 \]
Por lo tanto, el volumen del prisma es \(1{,}2m^3\).
Idea clave
El volumen de un prisma se calcula con:
\[ V = A_b \cdot h \]
Esta fórmula significa que tomamos el área de una base y la repetimos a lo largo de la altura.
Por eso, un prisma puede entenderse como una figura plana que se extiende en el espacio.