Libro de los volumenes
5. Volumen del cilindro
Objetivo
- Calcular el volumen de cilindros, comprendiendo que un cilindro puede interpretarse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Un cuerpo redondo con base circular
En la página anterior estudiamos los prismas, donde una base se repite a lo largo de una altura.
El cilindro sigue una idea parecida, pero su base no es un polígono: es un círculo.
Un cilindro tiene:
- dos bases circulares iguales y paralelas,
- una superficie lateral curva,
- un radio \(r\),
- una altura \(h\).
Para calcular su volumen, pensamos en una base circular que se repite a lo largo de la altura.
Fórmula del volumen del cilindro
Como en los prismas, usamos la idea:
\[ V = A_b \cdot h \]
Pero ahora la base es un círculo.
El área de un círculo es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces, el volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2 h \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base circular.
- \(h\) es la altura del cilindro.
- \(\pi\) es aproximadamente \(3{,}14\).
El cilindro como una base circular repetida
¿Por qué aparece \(\pi r^2\)?
El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por su altura.
Como la base es circular, primero debemos calcular el área del círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Luego esa base circular se repite a lo largo de la altura:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Ejemplo 1: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(4cm\) y altura \(10cm\).
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 10 \]
\[ V = 160\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 160 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 502{,}4cm^3 \]
El cilindro tiene un volumen exacto de \(160\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(502{,}4cm^3\).
Ejemplo 2: cilindro con diámetro
Un cilindro tiene diámetro \(12cm\) y altura \(8cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Entonces primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 36 \cdot 8 \]
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 904{,}32cm^3 \]
El cilindro tiene un volumen exacto de \(288\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(904{,}32cm^3\).
Atención: radio y diámetro no son lo mismo
El radio va desde el centro del círculo hasta el borde.
El diámetro atraviesa todo el círculo pasando por el centro.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si un problema entrega el diámetro, primero hay que obtener el radio antes de usar la fórmula del volumen.
Comparación con el prisma
El prisma y el cilindro comparten la misma idea general:
\[ V = A_b \cdot h \]
La diferencia está en la forma de la base.
| Cuerpo | Base | Volumen |
|---|---|---|
| Prisma | Polígono | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | Círculo | \(V = \pi r^2 h\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro es \(10cm\), no debemos reemplazar \(r = 10\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cuadrado.
La fórmula correcta es:
\[ V = \pi r^2h \]
No:
\[ V = \pi rh \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes cilindros. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Actividad 1
Un cilindro tiene radio \(3cm\) y altura \(7cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos \(r = 3cm\) y \(h = 7cm\):
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 7 \]
\[ V = 63\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 63 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 197{,}82cm^3 \]
El volumen es \(63\pi cm^3\), aproximadamente \(197{,}82cm^3\).
Actividad 2
Un cilindro tiene radio \(5m\) y altura \(12m\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 25 \cdot 12 \]
\[ V = 300\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 300 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 942m^3 \]
El volumen es \(300\pi m^3\), aproximadamente \(942m^3\).
Actividad 3
Un cilindro tiene radio \(2cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos \(r = 2cm\) y \(h = 15cm\):
\[ V = \pi \cdot 2^2 \cdot 15 \]
\[ V = \pi \cdot 4 \cdot 15 \]
\[ V = 60\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 60 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 188{,}4cm^3 \]
El volumen es \(60\pi cm^3\), aproximadamente \(188{,}4cm^3\).
Actividad 4
Un cilindro tiene diámetro \(10cm\) y altura \(8cm\). Calcula su volumen.
La fórmula usa el radio, por lo tanto primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 25 \cdot 8 \]
\[ V = 200\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 200 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 628cm^3 \]
El volumen es \(200\pi cm^3\), aproximadamente \(628cm^3\).
Actividad 5
Un cilindro tiene diámetro \(6m\) y altura \(9m\). Calcula su volumen.
Primero obtenemos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{6}{2} = 3m \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 9 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 9 \]
\[ V = 81\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 81 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 254{,}34m^3 \]
El volumen es \(81\pi m^3\), aproximadamente \(254{,}34m^3\).
Actividad 6
¿Por qué el volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas?
El volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas porque mide espacio tridimensional.
En la fórmula:
\[ V = \pi r^2h \]
el término \(\pi r^2\) corresponde al área de la base, por eso tiene unidades cuadradas:
\[ cm^2 \]
Luego se multiplica por la altura, que tiene unidades lineales:
\[ cm \]
Entonces:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Por eso el volumen se expresa en unidades cúbicas.
Actividad 7
¿Por qué el cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\), aunque no sea un prisma?
El cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\) porque también puede entenderse como una base que se repite a lo largo de una altura.
La diferencia con un prisma es que la base del cilindro no es un polígono, sino un círculo.
Entonces, el área de la base es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Al repetir esa base circular a lo largo de la altura, se obtiene:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Desafío con capacidad
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\).
Calcula su volumen en \(cm^3\). Luego expresa aproximadamente su capacidad en \(mL\), recordando que:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Desafío
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen en \(cm^3\) y exprésalo aproximadamente en \(mL\).
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
Reemplazamos \(r = 4cm\) y \(h = 12cm\):
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 12 \]
\[ V = 192\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 192 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 602{,}88cm^3 \]
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 602{,}88cm^3 \approx 602{,}88mL \]
La capacidad aproximada de la lata es \(602{,}88mL\).
Idea clave
El cilindro puede entenderse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Por eso:
\[ V = A_b \cdot h \]
Como la base es un círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces:
\[ V = \pi r^2h \]
Esta fórmula cuenta cuántas unidades cúbicas llenan el cilindro.