Libro de los volumenes
6. Volumen de pirámides
Objetivo
- Calcular el volumen de pirámides, comprendiendo que una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.
Una base que termina en un vértice
Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice.
La base puede ser triangular, cuadrada, rectangular, pentagonal u otra figura poligonal.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el área de la base, \(A_b\),
- la altura perpendicular de la pirámide, \(h\).
La altura no es una arista lateral inclinada. La altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base.
Fórmula del volumen de una pirámide
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular de la pirámide.
La división por \(3\) aparece porque una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma que tiene la misma base y la misma altura.
Comparación con un prisma
¿Por qué se divide por 3?
Un prisma mantiene la misma base a lo largo de toda su altura.
En cambio, una pirámide comienza con una base y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, una pirámide no ocupa todo el espacio del prisma que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen de la pirámide} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del prisma} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Ejemplo 1: pirámide de base rectangular
Una pirámide tiene base rectangular de \(8cm\) por \(5cm\), y altura \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 8 \cdot 5 \]
\[ A_b = 40cm^2 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{40 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{480}{3} \]
\[ V = 160cm^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la pirámide es \(160cm^3\).
Ejemplo 2: pirámide con área de base conocida
Una pirámide tiene área de base \(54m^2\) y altura \(10m\).
Usamos:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{54 \cdot 10}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180m^3 \]
Esto significa que la pirámide ocupa \(180\) unidades cúbicas de \(1m^3\).
Atención con la altura
En una pirámide pueden aparecer medidas inclinadas, especialmente en sus caras laterales.
Pero para calcular volumen necesitamos la altura perpendicular.
La altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
Si usamos una arista lateral inclinada como si fuera altura, el volumen resultará incorrecto.
Comparación con el prisma
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Prisma | \(V = A_b \cdot h\) | Base repetida a lo largo de la altura. |
| Pirámide | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) | Un tercio del prisma correspondiente. |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si una pirámide tiene \(A_b = 30cm^2\) y \(h = 9cm\), no basta con hacer:
\[ 30 \cdot 9 = 270 \]
Eso correspondería al volumen de un prisma con esa base y altura.
Para la pirámide debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{30 \cdot 9}{3} = 90cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes pirámides.
Actividad 1
Una pirámide tiene área de base \(24cm^2\) y altura \(9cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen de una pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos \(A_b = 24cm^2\) y \(h = 9cm\):
\[ V = \frac{24 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{216}{3} \]
\[ V = 72cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(72cm^3\).
Actividad 2
Una pirámide tiene área de base \(60m^2\) y altura \(12m\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{60 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{720}{3} \]
\[ V = 240m^3 \]
El volumen de la pirámide es \(240m^3\).
Actividad 3
Una pirámide tiene base rectangular de \(10cm\) por \(6cm\), y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 10 \cdot 6 \]
\[ A_b = 60cm^2 \]
Luego usamos la fórmula de volumen:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{60 \cdot 15}{3} \]
\[ V = \frac{900}{3} \]
\[ V = 300cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(300cm^3\).
Actividad 4
Una pirámide tiene base cuadrada de lado \(8m\) y altura \(9m\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base cuadrada:
\[ A_b = 8 \cdot 8 \]
\[ A_b = 64m^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{64 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{576}{3} \]
\[ V = 192m^3 \]
El volumen de la pirámide es \(192m^3\).
Actividad 5
Una pirámide tiene base triangular de \(12cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura de la pirámide es \(18cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{12 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = \frac{60}{2} \]
\[ A_b = 30cm^2 \]
Luego usamos la altura de la pirámide, que es \(18cm\):
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{30 \cdot 18}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(180cm^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula de la pirámide se parece a la del prisma, pero dividida por \(3\)?
La fórmula de la pirámide se parece a la del prisma porque ambos cuerpos se relacionan con una base y una altura.
En un prisma, la base se repite completamente a lo largo de toda la altura:
\[ V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h \]
En una pirámide, el cuerpo se va estrechando hasta llegar a un vértice, por lo que ocupa menos espacio que el prisma correspondiente.
La relación es:
\[ V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Actividad 7
¿Qué altura se usa para calcular volumen: la inclinada o la perpendicular?
Para calcular el volumen de una pirámide se usa la altura perpendicular.
Esta altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
No se debe usar una arista lateral inclinada como si fuera altura, porque esa medida pertenece a una cara lateral y no representa la distancia perpendicular entre el vértice y la base.
Por eso, en la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\(h\) representa la altura perpendicular.
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
para encontrar su altura.
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\). Encuentra su altura.
Partimos desde la fórmula del volumen de una pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos los datos conocidos:
\[ 120 = \frac{40 \cdot h}{3} \]
Multiplicamos ambos lados por \(3\):
\[ 120 \cdot 3 = 40h \]
\[ 360 = 40h \]
Dividimos por \(40\):
\[ h = \frac{360}{40} \]
\[ h = 9cm \]
La altura de la pirámide es \(9cm\).
Idea clave
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
La pirámide se relaciona con un prisma de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese prisma, por eso aparece la división por \(3\).