Libro de los volumenes
8. Volumen de la esfera
Objetivo
- Calcular el volumen de esferas, comprendiendo que una esfera queda determinada por su radio y que su volumen depende de una medida elevada al cubo.
Un cuerpo redondo sin base ni altura
La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo.
A diferencia del prisma, el cilindro, la pirámide o el cono, la esfera no tiene:
- bases,
- caras planas,
- aristas,
- vértices,
- altura.
Para calcular su volumen necesitamos un dato principal:
el radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
- \(r^3\) significa \(r \cdot r \cdot r\).
El exponente \(3\) aparece porque estamos calculando volumen, es decir, una medida tridimensional.
La esfera queda determinada por su radio
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el volumen de una esfera aparece \(r^3\) porque el volumen depende de tres dimensiones.
Esto significa que si el radio cambia, el volumen cambia mucho más rápido.
Por ejemplo, si el radio se duplica, el volumen no se duplica.
Como aparece \(r^3\), el volumen se multiplica por:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces, una esfera con el doble de radio tiene \(8\) veces el volumen.
Ejemplo 1: esfera con radio conocido
Una esfera tiene radio \(3cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 113{,}04cm^3 \]
El volumen exacto de la esfera es \(36\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(113{,}04cm^3\).
Ejemplo 2: esfera con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{500}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 523{,}33cm^3 \]
El volumen exacto de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(523{,}33cm^3\).
Atención: radio y diámetro
En una esfera, el diámetro atraviesa la esfera pasando por el centro.
El radio va desde el centro hasta la superficie.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si el problema entrega el diámetro, primero debemos dividir por \(2\) para encontrar el radio.
Comparación con otros cuerpos
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cilindro | Radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Cono | Radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | Radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro de una esfera es \(12cm\), no debemos reemplazar \(r = 12\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cubo.
La fórmula correcta es:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
No:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^2 \]
El \(r^2\) aparece en áreas; para volumen aparece \(r^3\).
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes esferas. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Actividad 1
Una esfera tiene radio \(2cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 2cm\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 \]
\[ V = \frac{32}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{32}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 33{,}49cm^3 \]
El volumen es \(\frac{32}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(33{,}49cm^3\).
Actividad 2
Una esfera tiene radio \(4cm\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 4cm\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V = \frac{256}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{256}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 267{,}95cm^3 \]
El volumen es \(\frac{256}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(267{,}95cm^3\).
Actividad 3
Una esfera tiene radio \(6m\). Calcula su volumen.
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 6m\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 \]
\[ V = 288\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 904{,}32m^3 \]
El volumen es \(288\pi m^3\), aproximadamente \(904{,}32m^3\).
Actividad 4
Una esfera tiene diámetro \(8cm\). Calcula su volumen.
La fórmula usa el radio, por eso primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{8}{2} = 4cm \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V = \frac{256}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{256}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 267{,}95cm^3 \]
El volumen es \(\frac{256}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(267{,}95cm^3\).
Actividad 5
Una esfera tiene diámetro \(14m\). Calcula su volumen.
Primero obtenemos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{14}{2} = 7m \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 7^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 343 \]
\[ V = \frac{1372}{3}\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{1372}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 1436{,}03m^3 \]
El volumen es \(\frac{1372}{3}\pi m^3\), aproximadamente \(1436{,}03m^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula de la esfera usa \(r^3\)?
La fórmula de la esfera usa \(r^3\) porque el volumen mide espacio tridimensional.
Elevar al cubo significa multiplicar el radio tres veces:
\[ r^3 = r \cdot r \cdot r \]
Esto está relacionado con que el volumen se expresa en unidades cúbicas, como \(cm^3\) o \(m^3\).
Además, si el radio cambia, el volumen cambia de manera cúbica. Por ejemplo, si el radio se duplica:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces el volumen se multiplica por \(8\), no por \(2\).
Actividad 7
¿Qué dato necesitas si quieres calcular el volumen de una pelota?
Una pelota se puede modelar como una esfera.
Para calcular el volumen de una esfera se necesita conocer su radio.
Si se conoce el diámetro de la pelota, primero se calcula el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Luego se puede usar la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Desafío
Una esfera tiene volumen:
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
para encontrar su radio.
Desafío
Una esfera tiene volumen \(288\pi cm^3\). Encuentra su radio.
Partimos desde la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(V = 288\pi cm^3\):
\[ 288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Dividimos ambos lados por \(\pi\):
\[ 288 = \frac{4}{3}r^3 \]
Multiplicamos ambos lados por \(3\):
\[ 864 = 4r^3 \]
Dividimos por \(4\):
\[ r^3 = 216 \]
Buscamos el número cuyo cubo es \(216\):
\[ 6^3 = 216 \]
Entonces:
\[ r = 6cm \]
El radio de la esfera es \(6cm\).
Idea clave
La esfera es un cuerpo redondo que queda determinado por su radio.
Su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
El exponente \(3\) recuerda que el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso el resultado se expresa en unidades cúbicas:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]