Libro de los volumenes
10. Taller de cierre: calcular, convertir e interpretar volúmenes
Objetivo
- Integrar el cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, el uso correcto de fórmulas, las conversiones de unidades y la interpretación de resultados en contextos geométricos y cotidianos.
Antes de calcular, piensa
En este libro aprendimos que calcular volumen no consiste solo en reemplazar datos en una fórmula.
Antes de calcular, conviene hacerse cuatro preguntas:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Están las unidades en la misma medida?
- ¿Qué significa el resultado?
La idea central sigue siendo la misma:
el volumen mide cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o espacio.
Ruta para resolver problemas de volumen
Resumen de fórmulas de volumen
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo | Arista \(a\) | \(V = a^3\) |
| Ortoedro | Largo, ancho y alto | \(V = largo \cdot ancho \cdot alto\) |
| Prisma | Área de la base y altura | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | Radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Pirámide | Área de la base y altura | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) |
| Cono | Radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | Radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Resumen de conversiones útiles
Para interpretar volúmenes como capacidad, usamos:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
También recuerda que las unidades de volumen cambian con el factor al cubo.
Por ejemplo:
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Parte A: reconocer el cuerpo
Indica qué cuerpo geométrico corresponde en cada caso y qué datos necesitarías para calcular su volumen.
- Una caja de zapatos.
- Una lata de bebida.
- Un dado.
- Un cono de helado.
- Una pelota.
- Una carpa con forma de prisma triangular.
- Una pirámide de base cuadrada.
- Un estanque cilíndrico.
- Caja de zapatos: se modela como un ortoedro. Se necesitan largo, ancho y alto.
- Lata de bebida: se modela como un cilindro. Se necesitan radio y altura; si entregan diámetro, primero se calcula \(r = \frac{d}{2}\).
- Dado: se modela como un cubo. Se necesita la medida de una arista.
- Cono de helado: se modela como un cono. Se necesitan radio de la base y altura perpendicular.
- Pelota: se modela como una esfera. Se necesita el radio.
- Carpa con forma de prisma triangular: se modela como un prisma triangular. Se necesita el área de la base triangular y la altura del prisma.
- Pirámide de base cuadrada: se modela como una pirámide. Se necesita el área de la base cuadrada y la altura perpendicular.
- Estanque cilíndrico: se modela como un cilindro. Se necesitan radio y altura.
Parte B: elegir la fórmula correcta
Para cada situación, escribe la fórmula que corresponde. No calcules todavía.
- Cubo de arista \(9cm\).
- Ortoedro de \(12cm\), \(8cm\) y \(5cm\).
- Prisma con área de base \(45cm^2\) y altura \(10cm\).
- Cilindro de radio \(4cm\) y altura \(15cm\).
- Pirámide con área de base \(60m^2\) y altura \(9m\).
- Cono de radio \(6cm\) y altura \(12cm\).
- Esfera de radio \(5cm\).
- Cubo: \[ V = a^3 \]
- Ortoedro: \[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
- Prisma: \[ V = A_b \cdot h \]
- Cilindro: \[ V = \pi r^2h \]
- Pirámide: \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
- Cono: \[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
- Esfera: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Parte C: calcular volúmenes
Calcula el volumen de cada cuerpo. Usa unidades cúbicas en tu respuesta.
- Un cubo tiene arista de \(7cm\).
- Una caja rectangular mide \(10cm\) de largo, \(6cm\) de ancho y \(4cm\) de alto.
- Un prisma tiene área de base \(32cm^2\) y altura \(11cm\).
- Un cilindro tiene radio \(3cm\) y altura \(20cm\).
- Una pirámide tiene área de base \(48m^2\) y altura \(15m\).
- Un cono tiene radio \(5cm\) y altura \(9cm\).
- Una esfera tiene radio \(6cm\).
Cuando aparezca \(\pi\), puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
-
Cubo:
\[ V = a^3 \]
\[ V = 7^3 = 343cm^3 \]
-
Ortoedro:
\[ V = 10 \cdot 6 \cdot 4 \]
\[ V = 240cm^3 \]
-
Prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 32 \cdot 11 = 352cm^3 \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 20 \]
\[ V = 180\pi cm^3 \]
\[ V \approx 180 \cdot 3{,}14 = 565{,}2cm^3 \]
-
Pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{48 \cdot 15}{3} = \frac{720}{3} = 240m^3 \]
-
Cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{225\pi}{3} = 75\pi cm^3 \]
\[ V \approx 75 \cdot 3{,}14 = 235{,}5cm^3 \]
-
Esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi cm^3 \]
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 = 904{,}32cm^3 \]
Parte D: problemas con diámetro
Recuerda que si se entrega el diámetro, primero debes encontrar el radio.
\[ r = \frac{d}{2} \]
- Un cilindro tiene diámetro \(10cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen.
- Un cono tiene diámetro \(8cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
- Una esfera tiene diámetro \(18cm\). Calcula su volumen.
-
Cilindro: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi cm^3 \]
\[ V \approx 300 \cdot 3{,}14 = 942cm^3 \]
-
Cono: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{8}{2} = 4cm \]
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 15}{3} = \frac{240\pi}{3} = 80\pi cm^3 \]
\[ V \approx 80 \cdot 3{,}14 = 251{,}2cm^3 \]
-
Esfera: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{18}{2} = 9cm \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 972\pi cm^3 \]
\[ V \approx 972 \cdot 3{,}14 = 3052{,}08cm^3 \]
Parte E: volumen y capacidad
Resuelve los siguientes problemas interpretando el volumen como capacidad.
- Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(15cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un recipiente cilíndrico tiene radio \(4cm\) y altura \(25cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
- Una pecera mide \(60cm\) de largo, \(30cm\) de ancho y \(40cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un estanque tiene volumen \(3{,}5m^3\). ¿Cuántos litros puede contener?
- Una botella tiene capacidad de \(1{,}5L\). ¿Cuál es su volumen equivalente en \(cm^3\)?
-
Caja rectangular:
\[ V = 20 \cdot 10 \cdot 15 = 3000cm^3 \]
Como \(1000cm^3 = 1L\):
\[ 3000cm^3 = 3L \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 25 = 400\pi cm^3 \]
\[ V \approx 400 \cdot 3{,}14 = 1256cm^3 \]
Como \(1cm^3 = 1mL\):
\[ 1256cm^3 = 1256mL \]
-
Pecera:
\[ V = 60 \cdot 30 \cdot 40 \]
\[ V = 72\,000cm^3 \]
Como \(1000cm^3 = 1L\):
\[ 72\,000cm^3 = 72L \]
-
Estanque:
\[ 1m^3 = 1000L \]
\[ 3{,}5m^3 = 3{,}5 \cdot 1000L = 3500L \]
-
Botella:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
\[ 1{,}5L = 1{,}5 \cdot 1000cm^3 = 1500cm^3 \]
Parte F: problemas inversos
En estos ejercicios, falta una medida. Usa la fórmula correspondiente para encontrarla.
- Un ortoedro tiene volumen \(240cm^3\), largo \(10cm\) y ancho \(6cm\). ¿Cuál es su altura?
- Un prisma tiene volumen \(360cm^3\) y altura \(12cm\). ¿Cuál es el área de su base?
- Un cilindro tiene volumen \(200\pi cm^3\) y altura \(8cm\). ¿Cuál es el radio?
- Una pirámide tiene volumen \(150cm^3\) y área de base \(50cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- Un cono tiene volumen \(75\pi cm^3\) y altura \(9cm\). ¿Cuál es el radio de su base?
-
Ortoedro:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ 240 = 10 \cdot 6 \cdot h \]
\[ 240 = 60h \]
\[ h = 4cm \]
-
Prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ 360 = A_b \cdot 12 \]
\[ A_b = \frac{360}{12} = 30cm^2 \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ 200\pi = \pi r^2 \cdot 8 \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 200 = 8r^2 \]
\[ r^2 = 25 \]
\[ r = 5cm \]
-
Pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ 150 = \frac{50h}{3} \]
\[ 450 = 50h \]
\[ h = 9cm \]
-
Cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ 75\pi = \frac{\pi r^2 \cdot 9}{3} \]
Como \(9 \div 3 = 3\):
\[ 75\pi = 3\pi r^2 \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ r^2 = 25 \]
\[ r = 5cm \]
Errores que debes evitar
Revisa estos errores frecuentes antes de cerrar el libro.
- Usar \(cm^2\) cuando el resultado debe estar en \(cm^3\).
- Usar el diámetro como si fuera radio.
- Olvidar dividir por \(3\) en pirámides y conos.
- Confundir altura con generatriz en el cono.
- Mezclar unidades sin convertir antes.
- Creer que \(1L = 1cm^3\), cuando lo correcto es \(1L = 1000cm^3\).
Parte G: explica con tus palabras
Responde de manera breve, pero clara.
- ¿Qué significa que un cuerpo tenga volumen \(120cm^3\)?
- ¿Por qué el volumen se expresa en unidades cúbicas?
- ¿Por qué el prisma y el cilindro usan la idea \(V = A_b \cdot h\)?
- ¿Por qué la pirámide y el cono tienen una división por \(3\)?
- ¿Qué diferencia hay entre volumen y superficie?
- ¿Qué relación hay entre volumen y capacidad?
- Significa que el cuerpo ocupa o puede contener el mismo espacio que \(120\) cubos de \(1cm^3\).
- Porque el volumen mide espacio tridimensional: largo, ancho y alto. Por eso se usan unidades como \(cm^3\), \(m^3\) o \(mm^3\).
- Porque ambos pueden entenderse como una base que se repite a lo largo de una altura. En el prisma la base es poligonal, y en el cilindro la base es circular.
- Porque una pirámide ocupa un tercio del prisma con igual base y altura, y un cono ocupa un tercio del cilindro con igual base y altura.
- La superficie mide lo que cubre o envuelve un cuerpo y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide el espacio que ocupa o contiene y se expresa en unidades cúbicas.
- Cuando un cuerpo funciona como recipiente, su volumen interior puede interpretarse como capacidad. Por ejemplo, \(1cm^3 = 1mL\) y \(1000cm^3 = 1L\).
Cierre del libro
En este libro estudiamos el volumen de cuerpos geométricos.
La idea central fue:
\[ \text{volumen} = \text{cantidad de unidades cúbicas que llenan un cuerpo} \]
Las fórmulas permiten calcular esa cantidad de manera más rápida, pero todas se apoyan en una idea geométrica:
- el cubo y el ortoedro cuentan largo, ancho y alto;
- el prisma repite una base a lo largo de una altura;
- el cilindro repite una base circular;
- la pirámide ocupa un tercio del prisma correspondiente;
- el cono ocupa un tercio del cilindro correspondiente;
- la esfera depende completamente de su radio.
En el próximo libro cambiaremos la pregunta.
Ya no preguntaremos cuánto espacio ocupa el cuerpo, sino:
¿cuánta superficie lo cubre?
Ahí comenzaremos el estudio de áreas y superficies de cuerpos geométricos.