Libro de los volumenes
11. Juntando
Objetivo
- Resolver problemas de volúmenes diversos, descomponiendo cuerpos compuestos en figuras conocidas y decidiendo cuándo sumar, restar o comparar volúmenes.
Volúmenes diversos: no siempre hay un solo cuerpo
Hasta ahora hemos estudiado el volumen de cuerpos por separado: cubos, ortoedros, prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas.
Pero muchos problemas geométricos no muestran un solo cuerpo simple.
A veces una figura está formada por varios cuerpos conocidos. En esos casos, antes de calcular debemos decidir qué hacer con esos volúmenes.
Las estrategias más frecuentes son:
- sumar volúmenes, cuando un cuerpo está formado por partes que se agregan;
- restar volúmenes, cuando se quita una parte, queda un hueco o se retira material;
- comparar volúmenes, cuando se quiere saber cuál cuerpo ocupa o contiene más espacio;
- convertir unidades, cuando se interpreta el volumen como capacidad.
Estrategias principales
Si un cuerpo está formado por varias partes, podemos usar:
\[ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \]
Si una parte se retira o queda vacía, podemos usar:
\[ V_{\text{restante}} = V_{\text{mayor}} - V_{\text{retirado}} \]
Si se compara capacidad, conviene recordar:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Ruta para resolver cuerpos compuestos
Atención antes de operar
No siempre se deben sumar todos los datos que aparecen.
Primero debemos interpretar el problema:
- si el cuerpo está formado por partes unidas, normalmente se suman volúmenes;
- si hay un hueco, una perforación o una parte retirada, normalmente se restan volúmenes;
- si se habla de capacidad, puede ser necesario convertir a \(mL\) o \(L\);
- si hay diámetro, primero se calcula el radio.
Ejemplo 1: cuerpo formado por dos partes
Un sólido está formado por una caja rectangular de \(12cm\) de largo, \(8cm\) de ancho y \(5cm\) de alto. Sobre ella se coloca un cubo de arista \(4cm\).
Calcula el volumen total del sólido.
Primero calculamos el volumen de la caja rectangular:
\[ V_{\text{caja}} = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ V_{\text{caja}} = 12 \cdot 8 \cdot 5 \]
\[ V_{\text{caja}} = 480cm^3 \]
Luego calculamos el volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = a^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 4^3 = 64cm^3 \]
Como el cubo se agrega sobre la caja, sumamos:
\[ V_{\text{total}} = 480 + 64 \]
\[ V_{\text{total}} = 544cm^3 \]
El volumen total del sólido es \(544cm^3\).
Ejemplo 2: volumen que se resta
Un bloque rectangular mide \(20cm\) de largo, \(12cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Se le hace una perforación cilíndrica vertical de radio \(3cm\) que atraviesa todo el bloque.
Calcula el volumen del material que queda.
Primero calculamos el volumen del bloque:
\[ V_{\text{bloque}} = 20 \cdot 12 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{bloque}} = 2400cm^3 \]
La perforación tiene forma de cilindro. Su radio es \(3cm\) y su altura es \(10cm\), porque atraviesa todo el bloque verticalmente.
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 90\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{cilindro}} \approx 90 \cdot 3{,}14 = 282{,}6cm^3 \]
Como la perforación se retira, restamos:
\[ V_{\text{restante}} \approx 2400 - 282{,}6 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 2117{,}4cm^3 \]
El volumen aproximado del material que queda es \(2117{,}4cm^3\).
Ejemplo 3: volumen compuesto y capacidad
Un depósito tiene forma de cilindro con un cono encima. Ambos tienen radio \(2m\). El cilindro mide \(6m\) de alto y el cono mide \(3m\) de alto.
Calcula el volumen total y su capacidad aproximada en litros.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 24\pi m^3 \]
Volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = 4\pi m^3 \]
Como el depósito está formado por ambas partes, sumamos:
\[ V_{\text{total}} = 24\pi + 4\pi = 28\pi m^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 28 \cdot 3{,}14 = 87{,}92m^3 \]
Como \(1m^3 = 1000L\):
\[ 87{,}92m^3 = 87920L \]
La capacidad aproximada del depósito es \(87920L\).
Actividad
Resuelve los siguientes problemas de volúmenes diversos. En cada caso, identifica primero si debes sumar, restar, comparar o convertir unidades.
Actividad 1
Un sólido está formado por un ortoedro de \(10cm\) de largo, \(6cm\) de ancho y \(4cm\) de alto, y sobre él se coloca un cubo de arista \(3cm\). Calcula el volumen total.
El sólido está formado por dos partes que se agregan, por lo tanto debemos sumar sus volúmenes.
Volumen del ortoedro:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 10 \cdot 6 \cdot 4 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 240cm^3 \]
Volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = 3^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 27cm^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 240 + 27 \]
\[ V_{\text{total}} = 267cm^3 \]
El volumen total es \(267cm^3\).
Actividad 2
Un galpón tiene forma de ortoedro con techo de prisma triangular. La parte rectangular mide \(12m\) de largo, \(8m\) de ancho y \(4m\) de alto. El techo tiene sección triangular de base \(8m\), altura \(3m\) y largo \(12m\). Calcula el volumen total del galpón.
El galpón está formado por un ortoedro y un prisma triangular. Como ambas partes se agregan, sumamos sus volúmenes.
Volumen de la parte rectangular:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 12 \cdot 8 \cdot 4 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 384m^3 \]
Ahora calculamos el área de la base triangular del techo:
\[ A_b = \frac{8 \cdot 3}{2} \]
\[ A_b = 12m^2 \]
Volumen del prisma triangular:
\[ V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h \]
\[ V_{\text{prisma}} = 12 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{prisma}} = 144m^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 384 + 144 \]
\[ V_{\text{total}} = 528m^3 \]
El volumen total del galpón es \(528m^3\).
Actividad 3
Un bloque rectangular de \(18cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(8cm\) de alto tiene un hueco cúbico de arista \(4cm\). Calcula el volumen del material restante.
Como hay un hueco, debemos restar el volumen retirado al volumen total del bloque.
Volumen del bloque rectangular:
\[ V_{\text{bloque}} = 18 \cdot 10 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{bloque}} = 1440cm^3 \]
Volumen del hueco cúbico:
\[ V_{\text{hueco}} = 4^3 \]
\[ V_{\text{hueco}} = 64cm^3 \]
Volumen restante:
\[ V_{\text{restante}} = 1440 - 64 \]
\[ V_{\text{restante}} = 1376cm^3 \]
El volumen del material restante es \(1376cm^3\).
Actividad 4
Un recipiente está formado por un cilindro de radio \(3m\) y altura \(8m\), más un cono superior con el mismo radio y altura \(4m\). Calcula su volumen total en \(m^3\) y su capacidad aproximada en litros.
El recipiente tiene dos partes: un cilindro y un cono. Como ambas partes forman el recipiente completo, sumamos sus volúmenes.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 72\pi m^3 \]
Volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 4}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{36\pi}{3} = 12\pi m^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 72\pi + 12\pi \]
\[ V_{\text{total}} = 84\pi m^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 84 \cdot 3{,}14 = 263{,}76m^3 \]
Como \(1m^3 = 1000L\):
\[ 263{,}76m^3 = 263760L \]
El volumen total es \(84\pi m^3\), aproximadamente \(263{,}76m^3\), y su capacidad aproximada es \(263760L\).
Actividad 5
Una pieza metálica tiene forma de cilindro de radio \(5cm\) y altura \(12cm\). Se perfora por el centro un cilindro más pequeño de radio \(2cm\), con la misma altura. Calcula el volumen aproximado de metal que queda.
Como se perfora el cilindro, debemos calcular el volumen mayor y restar el volumen del cilindro retirado.
Volumen del cilindro mayor:
\[ V_{\text{mayor}} = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{mayor}} = 300\pi cm^3 \]
Volumen del cilindro perforado:
\[ V_{\text{perforación}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{perforación}} = 48\pi cm^3 \]
Volumen de metal restante:
\[ V_{\text{restante}} = 300\pi - 48\pi \]
\[ V_{\text{restante}} = 252\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{restante}} \approx 252 \cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 791{,}28cm^3 \]
El volumen aproximado de metal que queda es \(791{,}28cm^3\).
Actividad 6
Una carpa tiene forma de prisma triangular. Su sección triangular tiene base \(6m\) y altura \(2{,}5m\). El largo de la carpa es \(9m\). Calcula el volumen interior de la carpa.
La carpa se modela como un prisma triangular.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{6 \cdot 2{,}5}{2} \]
\[ A_b = \frac{15}{2} \]
\[ A_b = 7{,}5m^2 \]
Ahora multiplicamos por el largo del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 7{,}5 \cdot 9 \]
\[ V = 67{,}5m^3 \]
El volumen interior de la carpa es \(67{,}5m^3\).
Actividad 7
Se quiere construir una escultura formada por una esfera de radio \(3cm\) sobre un cilindro de radio \(3cm\) y altura \(10cm\). Calcula el volumen total exacto en función de \(\pi\) y su aproximación.
La escultura está formada por una esfera y un cilindro. Como las dos partes se agregan, sumamos sus volúmenes.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 90\pi cm^3 \]
Volumen de la esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V_{\text{esfera}} = 36\pi cm^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 90\pi + 36\pi \]
\[ V_{\text{total}} = 126\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 126 \cdot 3{,}14 = 395{,}64cm^3 \]
El volumen total exacto es \(126\pi cm^3\), aproximadamente \(395{,}64cm^3\).
Actividad 8
Un molde tiene forma de cubo de arista \(12cm\). En su interior se retira una esfera de radio \(5cm\). Calcula el volumen aproximado del material restante.
Como se retira una esfera desde un cubo, debemos restar el volumen de la esfera al volumen del cubo.
Volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = 12^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 1728cm^3 \]
Volumen de la esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{esfera}} \approx \frac{500}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{esfera}} \approx 523{,}33cm^3 \]
Volumen restante:
\[ V_{\text{restante}} \approx 1728 - 523{,}33 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 1204{,}67cm^3 \]
El volumen aproximado del material restante es \(1204{,}67cm^3\).
Actividad 9
Un recipiente A es un ortoedro de \(30cm\) de largo, \(20cm\) de ancho y \(15cm\) de alto. Un recipiente B es un cilindro de radio \(10cm\) y altura \(18cm\). ¿Cuál tiene mayor capacidad aproximada?
Debemos calcular y comparar ambos volúmenes.
Recipiente A:
\[ V_A = 30 \cdot 20 \cdot 15 \]
\[ V_A = 9000cm^3 \]
Recipiente B:
\[ V_B = \pi r^2h \]
\[ V_B = \pi \cdot 10^2 \cdot 18 \]
\[ V_B = 1800\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_B \approx 1800 \cdot 3{,}14 \]
\[ V_B \approx 5652cm^3 \]
Comparamos:
\[ 9000cm^3 > 5652cm^3 \]
Por lo tanto, el recipiente A tiene mayor capacidad.
Como \(1000cm^3 = 1L\), sus capacidades aproximadas son:
\[ A = 9L \]
\[ B \approx 5{,}652L \]
Actividad 10
Un depósito compuesto tiene volumen total \(1500cm^3\). Está formado por un ortoedro de \(12cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(8cm\) de alto, más una pirámide superior de la misma base rectangular. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
El volumen total está formado por el volumen del ortoedro más el volumen de la pirámide.
Primero calculamos el volumen del ortoedro:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 12 \cdot 10 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 960cm^3 \]
Entonces, el volumen de la pirámide es:
\[ V_{\text{pirámide}} = 1500 - 960 \]
\[ V_{\text{pirámide}} = 540cm^3 \]
La base de la pirámide mide \(12cm\) por \(10cm\), por lo tanto:
\[ A_b = 12 \cdot 10 = 120cm^2 \]
Usamos la fórmula de la pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ 540 = \frac{120h}{3} \]
\[ 540 = 40h \]
\[ h = \frac{540}{40} \]
\[ h = 13{,}5cm \]
La altura de la pirámide es \(13{,}5cm\).
Idea clave
Los problemas de volúmenes diversos se resuelven reconociendo cuerpos simples dentro de una figura más compleja.
Si las partes se agregan, se suman volúmenes.
Si una parte se retira, se restan volúmenes.
Si el volumen representa un recipiente, puede interpretarse como capacidad.
Antes de calcular, la pregunta más importante es:
¿qué representa cada parte del cuerpo?