• Curso: Diferenciado de Geometría 3D.
• Unidad: Rectas en el espacio.
• Tiempo: 80 minutos.
• Total de preguntas: 16.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 32 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 20 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), el término independiente corresponde a un punto de la recta y el vector multiplicado por \(\lambda\) es el vector director. Por lo tanto, \(P_0=(2,-1,3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: D

Justificación: Se separan las tres coordenadas de \(P=(-3,2,1)+\lambda(5,-1,4)\): \(x=-3+5\lambda\), \(y=2-\lambda\) y \(z=1+4\lambda\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Al reemplazar \(\lambda=2\), se obtiene \(P=(-2,3,1)+2(3,-2,4)=(4,-1,9)\).

Pregunta 4

Alternativa correcta: C

Justificación: Los términos independientes forman el punto \(P_0=(1,5,-4)\), mientras que los coeficientes de \(\lambda\) forman el vector director \(\vec{v}=(-2,3,1)\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: C

Justificación: Para \(\lambda=2\), \(P=(1,2,-1)+2(2,-1,3)=(5,0,5)\). El mismo valor del parámetro satisface las tres coordenadas.

Pregunta 6

Alternativa correcta: A

Justificación: De \(1+3\lambda=10\) se obtiene \(\lambda=3\). Este valor también verifica \(5-2\lambda=-1\) y \(-1+3\lambda=8\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: D

Justificación: El vector \((-4,6,-2)\) es proporcional a \((2,-3,1)\), pues \((-4,6,-2)=-2(2,-3,1)\).

Pregunta 8

Alternativa correcta: B

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((6,-2,4)=2(3,-1,2)\). Sin embargo, el punto \((-2,3,1)\) no pertenece a la primera recta, por lo que son paralelas y distintas.

Pregunta 9

Alternativa correcta: D

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, ya que \((4,6,-2)=2(2,3,-1)\). Además, para \(\lambda=2\), la primera recta contiene el punto \((4,7,0)\), que es el punto inicial de la segunda recta. Por lo tanto, representan la misma recta.

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y, además, un punto de una de ellas pertenece a la otra.

Pregunta 11

Alternativa correcta: C

Justificación: El vector \((-2,-8,4)\) es igual a \(-2(1,4,-2)\), por lo que las rectas tienen direcciones paralelas. El origen no pertenece a \(r\), de modo que son paralelas y distintas.

Pregunta 12

Alternativa correcta: A

Justificación: Para \(\lambda=1\), la recta \(r\) contiene el punto \((3,3,2)\). Además, el vector \((-4,-10,2)\) es igual a \(-2(2,5,-1)\). Por lo tanto, ambas ecuaciones representan la misma recta.

Pregunta 13

Alternativa correcta: A

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, pues \((-6,-4,2)=-2(3,2,-1)\). Además, para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((8,3,2)\), que corresponde al punto inicial de \(s\). Por ello, son coincidentes.

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: El vector director de la alternativa C es \((-4,6,-2)=-2(2,-3,1)\). El punto \((5,1,0)\) no pertenece a la recta original, por lo que las rectas son paralelas y distintas.

Pregunta 15

Alternativa correcta: B

Justificación: Las rectas coincidentes contienen exactamente los mismos puntos y sus vectores directores son proporcionales, aunque sus ecuaciones pueden utilizar puntos iniciales y parámetros diferentes.

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: El punto \((5,0,5)\) pertenece a \(r\), pues se obtiene con \(\lambda=2\). Para que los vectores directores sean proporcionales, \((k,-2,6)=2(2,-1,3)=(4,-2,6)\). Por lo tanto, \(k=4\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) C, 6) A, 7) D, 8) B, 9) D, 10) B, 11) C, 12) A, 13) A, 14) C, 15) B, 16) D.