• Curso: Diferenciado de Geometría 3D.
• Unidad: Rectas en el espacio.
• Tiempo: 80 minutos.
• Total de preguntas: 16.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 32 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 20 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: En \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), el término independiente corresponde a un punto de la recta y el vector multiplicado por \(\lambda\) corresponde al vector director. Por lo tanto, \(P_0=(-1,4,2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: A

Justificación: Al separar las coordenadas de \(P=(2,-3,5)+\lambda(-4,1,2)\), se obtiene \(x=2-4\lambda\), \(y=-3+\lambda\) y \(z=5+2\lambda\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Al reemplazar \(\lambda=3\), se obtiene \(P=(3,-2,4)+3(-2,5,-1)=(-3,13,1)\).

Pregunta 4

Alternativa correcta: B

Justificación: Los términos independientes forman el punto \(P_0=(-2,1,6)\), mientras que los coeficientes de \(\lambda\) forman el vector director \(\vec{v}=(3,-4,2)\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: A

Justificación: Para \(\lambda=2\), se obtiene \(P=(2,-1,3)+2(-1,2,4)=(0,3,11)\). El mismo valor del parámetro satisface las tres coordenadas.

Pregunta 6

Alternativa correcta: C

Justificación: De \(2-3\lambda=-7\) se obtiene \(\lambda=3\). Este valor también verifica \(-1+3\lambda=8\) y \(1+3\lambda=10\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: B

Justificación: El vector \((-6,2,-4)\) es proporcional a \((3,-1,2)\), pues \((-6,2,-4)=-2(3,-1,2)\).

Pregunta 8

Alternativa correcta: D

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((-4,-6,-2)=-2(2,3,1)\). Sin embargo, el punto \((-1,4,0)\) no pertenece a la recta \(r\), por lo que las rectas son paralelas y distintas.

Pregunta 9

Alternativa correcta: B

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, ya que \((2,-4,-6)=-2(-1,2,3)\). Además, para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((0,3,10)\), que es el punto inicial de \(s\). Por lo tanto, representan la misma recta.

Pregunta 10

Alternativa correcta: D

Justificación: Para que dos ecuaciones representen la misma recta, sus vectores directores deben ser proporcionales y, además, deben compartir al menos un punto.

Pregunta 11

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector \((-8,4,-6)\) es igual a \(-2(4,-2,3)\), por lo que las rectas tienen direcciones paralelas. El punto \((1,0,0)\) no pertenece a \(r\), de modo que son paralelas y distintas.

Pregunta 12

Alternativa correcta: C

Justificación: Para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((4,5,-3)\). Además, \((-6,-4,8)=-2(3,2,-4)\). Por lo tanto, ambas ecuaciones representan la misma recta.

Pregunta 13

Alternativa correcta: D

Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((-4,-2,4)=-2(2,1,-2)\). Además, al usar \(\lambda=3\) en \(r\), se obtiene \((7,0,-2)\), que es el punto inicial de \(s\). Por lo tanto, representan la misma recta.

Pregunta 14

Alternativa correcta: B

Justificación: El vector director de la alternativa B es \((2,-6,-4)=-2(-1,3,2)\). Sin embargo, el punto \((-1,4,5)\) no pertenece a la recta \(r\), por lo que las rectas son paralelas y distintas.

Pregunta 15

Alternativa correcta: C

Justificación: Una misma recta puede expresarse usando diferentes puntos de ella como puntos iniciales y cualquier vector director proporcional al vector original.

Pregunta 16

Alternativa correcta: A

Justificación: El punto \((-1,6,7)\) pertenece a \(r\), pues se obtiene con \(\lambda=2\). Para que los vectores directores sean proporcionales, se requiere \((k,-8,-6)=-2(-2,4,3)=(4,-8,-6)\). Por lo tanto, \(k=4\).

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) A, 6) C, 7) B, 8) D, 9) B, 10) D, 11) A, 12) C, 13) D, 14) B, 15) C, 16) A.