1. prueba test

 
Instrucciones
  • Marca una sola alternativa por pregunta.
  • Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
  • En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
  • Para determinar una intersección entre rectas, recuerda que debe existir un valor de los parámetros para el cual las tres coordenadas representen el mismo punto.
  • En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
  • No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
  • Cada pregunta vale 2 puntos.

La recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) tiene como vector director:

  • \((2,1,5)\)
  • \((1,2,-1)\)
  • \((3,3,4)\)
  • \((-1,-2,1)\)

En la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=3\)?

  • \((3,3,4)\)
  • \((5,6,2)\)
  • \((5,7,8)\)
  • \((5,7,2)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece necesariamente a la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\)?

  • \((2,1,5)\)
  • \((1,2,-1)\)
  • \((2,2,5)\)
  • \((3,2,4)\)

Una recta pasa por \(P=(1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?

  • \(x=2+t,\ y=1-2t,\ z=-4+3t\)
  • \(x=1+t,\ y=-2+2t,\ z=3-4t\)
  • \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-4t\)
  • \(x=1+2t,\ y=-2-t,\ z=3+4t\)

Considera la recta \(L\) dada por \(x=4-2\lambda,\ y=5-\lambda,\ z=3+\lambda\). ¿Qué punto de la recta corresponde a \(\lambda=0\)?

  • \((-2,-1,1)\)
  • \((4,5,3)\)
  • \((2,4,4)\)
  • \((4,-2,5)\)

Sean \(L_1:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(4,5,3)+\lambda(-2,-1,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?

  • \((4,5,3)\)
  • \((2,1,5)\)
  • \((3,3,4)\)
  • \((0,3,5)\)

Para comprobar que dos rectas en el espacio se intersecan, ¿qué condición debe cumplirse?

  • Sus puntos iniciales deben ser iguales.
  • Sus vectores directores deben tener las mismas componentes.
  • Los parámetros de ambas rectas deben tener siempre el mismo valor.
  • Debe existir una elección de parámetros que produzca el mismo punto en ambas rectas.

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,0)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,2,2)+s(-1,0,0)\). ¿En qué punto se intersecan?

  • \((1,0,2)\)
  • \((2,1,2)\)
  • \((3,2,2)\)
  • \((2,2,2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-1)\) y tiene vector normal \((2,-3,1)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?

  • \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\)
  • \(2(x+1)-3(y+2)+(z-1)=0\)
  • \((x-1)+2(y-2)-3(z+1)=0\)
  • \(2x-3y+z=0\)

En la ecuación \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?

  • \((1,-4,2)\)
  • \((3,2,-5)\)
  • \((3,-2,5)\)
  • \((-1,4,-2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(2,0,3)\) y tiene vector normal \((1,2,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?

  • \(x+2y-z-1=0\)
  • \(x-2y-z+1=0\)
  • \(x+2y+z-5=0\)
  • \(x+2y-z+1=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?

  • \((2,0,1)\)
  • \((1,1,1)\)
  • \((2,2,2)\)
  • \((0,1,4)\)

El plano \(x-2y+3z=7\) tiene como vector normal:

  • \((7,0,0)\)
  • \((1,2,3)\)
  • \((1,-2,3)\)
  • \((-1,-2,-3)\)

Un plano pasa por el punto \((1,2,0)\) y tiene vector normal \((2,1,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?

  • \(2x+y-z+4=0\)
  • \(2x+y-z-4=0\)
  • \(x+2y-z-5=0\)
  • \(2x-y+z=0\)

Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto fijo de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto cualquiera del mismo plano. Si \(\vec n=(A,B,C)\) es normal al plano, ¿qué relación permite obtener su ecuación?

  • \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
  • \(\vec n+(P-P_0)=0\)
  • \(\vec n\cdot P=1\)
  • \(P+P_0=\vec n\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=4\)?

  • \((1,1,1)\)
  • \((0,2,1)\)
  • \((1,0,0)\)
  • \((2,1,1)\)

¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\)?

  • \(3x-2y+z-8=0\)
  • \(3x-2y+z-12=0\)
  • \(3x+2y+z-12=0\)
  • \(3x-2y-z-12=0\)

En un plano se fija \(P_0=(2,-1,3)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?

  • \((7,0,7)\)
  • \((-3,-2,-1)\)
  • \((3,2,1)\)
  • \((3,0,1)\)