4. V22

 
Instrucciones
  • Marca una sola alternativa por pregunta.
  • Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
  • En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
  • Para determinar una intersección entre rectas, debe existir una elección de los parámetros para la cual ambas rectas representen el mismo punto.
  • En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
  • No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
  • Cada pregunta vale 2 puntos.

La recta \(L:(x,y,z)=(4,-1,2)+t(2,3,-2)\) tiene como vector director:

  • \((4,-1,2)\)
  • \((2,3,-2)\)
  • \((6,2,0)\)
  • \((-2,3,2)\)

En la recta \(L:(x,y,z)=(-1,2,5)+t(3,-2,1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=2\)?

  • \((2,0,6)\)
  • \((5,6,7)\)
  • \((5,-2,7)\)
  • \((6,-2,7)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(L:(x,y,z)=(2,-1,3)+t(1,2,-2)\)?

  • \((3,1,1)\)
  • \((3,0,1)\)
  • \((1,1,1)\)
  • \((3,1,2)\)

Una recta pasa por \(P=(1,3,-2)\) y tiene vector director \((-2,1,4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?

  • \(x=1+2t,\ y=3+t,\ z=-2-4t\)
  • \(x=-2+t,\ y=1+3t,\ z=4-2t\)
  • \(x=1-2t,\ y=3-t,\ z=-2+4t\)
  • \(x=1-2t,\ y=3+t,\ z=-2+4t\)

Considera la recta \(x=5-2\lambda,\ y=1+3\lambda,\ z=-4+\lambda\). ¿Qué punto corresponde a \(\lambda=0\)?

  • \((-2,3,1)\)
  • \((5,1,-4)\)
  • \((3,4,-3)\)
  • \((5,-1,4)\)

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(5,2,0)+s(-1,2,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?

  • \((1,0,2)\)
  • \((4,2,0)\)
  • \((5,2,0)\)
  • \((3,1,1)\)

¿Qué condición permite afirmar que dos rectas del espacio se intersecan?

  • Sus vectores directores deben ser iguales.
  • Sus parámetros deben tomar siempre el mismo valor.
  • Sus puntos iniciales deben coincidir.
  • Deben existir valores de los parámetros que produzcan el mismo punto en ambas rectas.

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,1,0)+t(1,2,1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,5,2)+s(2,-1,0)\). ¿En qué punto se intersecan?

  • \((3,5,2)\)
  • \((2,3,1)\)
  • \((1,1,0)\)
  • \((4,5,2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(1,-2,3)\) y tiene vector normal \((2,1,-3)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?

  • \(2(x+1)+(y-2)-3(z+3)=0\)
  • \((x-1)+2(y+2)-3(z-3)=0\)
  • \(2(x-1)+(y+2)-3(z-3)=0\)
  • \(2(x-1)-(y+2)+3(z-3)=0\)

En la ecuación \(3(x-2)-4(y+1)+5(z-3)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?

  • \((2,-1,3)\)
  • \((3,-4,5)\)
  • \((3,4,-5)\)
  • \((-3,-4,5)\)

Un plano pasa por \(P_0=(2,1,-1)\) y tiene vector normal \((1,-2,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?

  • \(x-2y+3z-3=0\)
  • \(x+2y+3z-1=0\)
  • \(x-2y-3z-3=0\)
  • \(x-2y+3z+3=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=5\)?

  • \((2,2,1)\)
  • \((1,1,1)\)
  • \((2,0,0)\)
  • \((0,3,1)\)

El plano \(2x-5y+z=9\) tiene como vector normal:

  • \((9,0,0)\)
  • \((2,5,-1)\)
  • \((2,-5,1)\)
  • \((-2,-5,-1)\)

Un plano pasa por el punto \((1,2,-1)\) y tiene vector normal \((3,1,2)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?

  • \(3x+y+2z-1=0\)
  • \(3x+y+2z-3=0\)
  • \(3x-y+2z+1=0\)
  • \(x+3y+2z-5=0\)

Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto del mismo plano. Si \(\vec n\) es normal al plano, ¿qué relación debe cumplirse?

  • \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
  • \(\vec n\cdot(P-P_0)=1\)
  • \(\vec n=P-P_0\)
  • \(\vec n+(P-P_0)=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(x-2y+z=3\)?

  • \((1,0,1)\)
  • \((2,1,1)\)
  • \((1,1,1)\)
  • \((3,1,2)\)

¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(4(x-1)-2(y+3)+(z-2)=0\)?

  • \(4x-2y+z-4=0\)
  • \(4x-2y+z-12=0\)
  • \(4x+2y+z-12=0\)
  • \(4x-2y-z-12=0\)

En un plano se fija \(P_0=(2,-3,1)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?

  • \((3,4,3)\)
  • \((7,-2,5)\)
  • \((-3,-4,-3)\)
  • \((3,-2,3)\)