6. v4444

 
Instrucciones
  • Marca una sola alternativa por pregunta.
  • Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
  • En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
  • Para determinar una intersección entre rectas, debe existir una elección de los parámetros para la cual ambas rectas representen el mismo punto.
  • En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
  • No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
  • Cada pregunta vale 2 puntos.

La recta \(L:(x,y,z)=(-2,5,1)+t(4,-1,3)\) tiene como vector director:

  • \((-2,5,1)\)
  • \((4,-1,3)\)
  • \((2,-5,-1)\)
  • \((-4,1,3)\)

En la recta \(L:(x,y,z)=(1,-3,2)+t(2,1,-4)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=2\)?

  • \((3,-2,-2)\)
  • \((5,-5,-6)\)
  • \((5,-1,6)\)
  • \((5,-1,-6)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(L:(x,y,z)=(-2,1,3)+t(3,-2,1)\)?

  • \((4,-3,5)\)
  • \((4,-1,5)\)
  • \((1,-3,4)\)
  • \((7,-5,5)\)

Una recta pasa por \(P=(2,-1,5)\) y tiene vector director \((-1,4,2)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?

  • \(x=2+4t,\ y=-1-t,\ z=5+2t\)
  • \(x=-1+2t,\ y=4-t,\ z=2+5t\)
  • \(x=2-t,\ y=-1+4t,\ z=5+2t\)
  • \(x=2-t,\ y=-1-4t,\ z=5-2t\)

Considera la recta \(x=4-3\lambda,\ y=-2+2\lambda,\ z=5-\lambda\). ¿Qué punto corresponde a \(\lambda=0\)?

  • \((-3,2,-1)\)
  • \((1,0,4)\)
  • \((7,-4,6)\)
  • \((4,-2,5)\)

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(8,-1,3)+s(-3,3,-3)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?

  • \((3,1,1)\)
  • \((5,2,0)\)
  • \((8,-1,3)\)
  • \((7,3,-1)\)

¿Qué condición permite afirmar que dos rectas dadas en forma paramétrica se intersecan en el espacio?

  • Sus vectores directores deben ser exactamente iguales.
  • Los parámetros utilizados en ambas rectas deben tener el mismo valor.
  • Deben existir valores de los parámetros para los cuales ambas rectas generen el mismo punto.
  • Los puntos iniciales de ambas rectas deben coincidir.

Sean \(L_1:(x,y,z)=(0,2,-1)+t(1,-1,2)\) y \(L_2:(x,y,z)=(5,1,1)+s(-1,-1,2)\). ¿En qué punto se intersecan?

  • \((3,-1,5)\)
  • \((2,0,3)\)
  • \((5,1,1)\)
  • \((3,1,5)\)

Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-3)\) y tiene vector normal \((-2,1,4)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?

  • \(-2(x+1)+(y+2)+4(z-3)=0\)
  • \(-2(x-1)+(y-2)+4(z+3)=0\)
  • \((x-1)-2(y-2)+4(z+3)=0\)
  • \(-2(x-1)-(y-2)-4(z+3)=0\)

En la ecuación \(3(x+2)-4(y-1)-2(z+5)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?

  • \((2,-1,5)\)
  • \((3,4,-2)\)
  • \((-3,-4,2)\)
  • \((3,-4,-2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(2,-1,1)\) y tiene vector normal \((1,2,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?

  • \(x+2y+3z-3=0\)
  • \(x+2y-3z+3=0\)
  • \(x-2y+3z-7=0\)
  • \(x+2y+3z+3=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?

  • \((1,1,1)\)
  • \((3,1,1)\)
  • \((2,0,1)\)
  • \((0,-2,1)\)

El plano \(-3x+2y+5z=9\) tiene como vector normal:

  • \((3,2,-5)\)
  • \((9,0,0)\)
  • \((-3,-2,5)\)
  • \((-3,2,5)\)

Un plano pasa por el punto \((1,-2,3)\) y tiene vector normal \((2,-1,1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?

  • \(2x+y+z-3=0\)
  • \(2x-y-z-1=0\)
  • \(2x-y+z-7=0\)
  • \(2x+y+z-7=0\)

Si \(P_0\) y \(P\) son puntos de un mismo plano y \(\vec n\) es un vector normal a ese plano, ¿cuál relación expresa correctamente la perpendicularidad?

  • \((P-P_0)+\vec n=0\)
  • \((P-P_0)\cdot\vec n=0\)
  • \((P-P_0)\cdot\vec n=1\)
  • \(P-P_0=\vec n\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(3x+y-2z=4\)?

  • \((1,1,0)\)
  • \((2,0,0)\)
  • \((0,2,1)\)
  • \((2,1,1)\)

¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(4(x-2)+3(y+1)-2(z-4)=0\)?

  • \(4x+3y+2z-13=0\)
  • \(4x-3y-2z+3=0\)
  • \(4x+3y-2z-3=0\)
  • \(4x+3y-2z+3=0\)

En un plano se fija \(P_0=(1,-3,2)\) y se considera otro punto \(P=(-2,4,5)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?

  • \((-3,7,3)\)
  • \((3,-7,-3)\)
  • \((-1,1,7)\)
  • \((-3,1,3)\)