• Curso: 3° medio diferenciado.
• Unidad: Rectas y planos en el espacio.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(L:(x,y,z)=(-2,5,1)+t(4,-1,3)\), el vector que multiplica al parámetro \(t\) es el vector director. Por lo tanto, es \((4,-1,3)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: D

Justificación: Para \(t=2\): \(x=1+2\cdot2=5\), \(y=-3+2=-1\) y \(z=2-4\cdot2=-6\). El punto es \((5,-1,-6)\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Para \(t=2\), se obtiene \((-2,1,3)+2(3,-2,1)=(4,-3,5)\). Por lo tanto, ese punto pertenece a la recta.

Pregunta 4

Alternativa correcta: C

Justificación: Una recta que pasa por \((2,-1,5)\) y tiene vector director \((-1,4,2)\) puede escribirse como \(x=2-t\), \(y=-1+4t\), \(z=5+2t\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: D

Justificación: Al reemplazar \(\lambda=0\), resulta \(x=4\), \(y=-2\) y \(z=5\). El punto es \((4,-2,5)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(L_1\), usando \(t=2\), se obtiene \((5,2,0)\). En \(L_2\), usando \(s=1\), también se obtiene \((5,2,0)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.

Pregunta 7

Alternativa correcta: C

Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus parámetros que permiten obtener exactamente el mismo punto del espacio.

Pregunta 8

Alternativa correcta: A

Justificación: En \(L_1\), para \(t=3\), resulta \((3,-1,5)\). En \(L_2\), para \(s=2\), también resulta \((3,-1,5)\). Por lo tanto, las rectas se intersecan en ese punto.

Pregunta 9

Alternativa correcta: B

Justificación: La forma punto-normal es \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\). Con \(P_0=(1,2,-3)\) y \(\vec n=(-2,1,4)\), se obtiene \(-2(x-1)+(y-2)+4(z+3)=0\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: D

Justificación: En \(3(x+2)-4(y-1)-2(z+5)=0\), los coeficientes que multiplican a las diferencias de coordenadas forman un vector normal: \((3,-4,-2)\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: A

Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)+2(y+1)+3(z-1)=0\). Al desarrollar se obtiene \(x+2y+3z-3=0\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: C

Justificación: Para \((2,0,1)\), se obtiene \(2\cdot2-0+1=5\). Por lo tanto, el punto satisface \(2x-y+z=5\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: D

Justificación: En una ecuación cartesiana \(ax+by+cz=d\), un vector normal es \((a,b,c)\). Por lo tanto, para \(-3x+2y+5z=9\), el vector normal es \((-3,2,5)\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: Usando el punto \((1,-2,3)\) y el normal \((2,-1,1)\): \(2(x-1)-(y+2)+(z-3)=0\). Al desarrollar resulta \(2x-y+z-7=0\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: B

Justificación: El vector \(P-P_0\) está contenido en el plano y es perpendicular al vector normal. Por ello, su producto punto debe ser cero: \((P-P_0)\cdot\vec n=0\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: A

Justificación: Para \((1,1,0)\), \(3\cdot1+1-2\cdot0=4\), por lo que el punto pertenece al plano. En la versión corregida, la alternativa C es \((0,2,1)\), que produce \(0+2-2=0\), por lo que no pertenece al plano.

Pregunta 17

Alternativa correcta: D

Justificación: Al desarrollar \(4(x-2)+3(y+1)-2(z-4)=0\), se obtiene \(4x-8+3y+3-2z+8=0\), es decir, \(4x+3y-2z+3=0\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: \(P-P_0=(-2-1,\ 4-(-3),\ 5-2)=(-3,7,3)\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) D, 6) B, 7) C, 8) A, 9) B, 10) D, 11) A, 12) C, 13) D, 14) C, 15) B, 16) A, 17) D, 18) A.