Datos generales de corrección

• Curso: 4° medio diferenciado.
• Unidad: Distribución binomial.
• Objetivo: Distribución binomial, esperanza y desviación estándar.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 20.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 40 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 24 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: Contar baterías defectuosas entre 12 unidades puede modelarse mediante una distribución binomial, porque hay un número fijo de ensayos, dos resultados posibles, independencia y una probabilidad de defecto constante.

Pregunta 2

Alternativa correcta: B

Justificación: Se utiliza la fórmula binomial con \(n=7\), \(p=0{,}3\) y \(k=2\).

\(P(X=2)=\binom{7}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^5\)

\(P(X=2)=21\cdot0{,}09\cdot0{,}16807\)

\(P(X=2)\approx0{,}318\)

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Se consideran 6 lanzamientos, con probabilidad de encestar \(p=0{,}75\).

\(P(X=5)=\binom{6}{5}(0{,}75)^5(0{,}25)\)

\(P(X=5)\approx0{,}356\)

Pregunta 4

Alternativa correcta: A

Justificación: La probabilidad de que una pieza no presente defecto es \(1-0{,}15=0{,}85\).

\(P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}15)^0(0{,}85)^5\)

\(P(X=0)\approx0{,}444\)

Pregunta 5

Alternativa correcta: C

Justificación: Al menos 5 semillas significa que germinan 5 o 6.

\(P(X\geq5)=P(X=5)+P(X=6)\)

\(=\binom{6}{5}(0{,}8)^5(0{,}2)+(0{,}8)^6\)

\(=0{,}393216+0{,}262144=0{,}65536\)

\(P(X\geq5)\approx0{,}655\)

Pregunta 6

Alternativa correcta: B

Justificación: Se utiliza el complemento del evento ninguna venta.

\(P(X\geq1)=1-P(X=0)\)

\(=1-(0{,}8)^5\)

\(=1-0{,}32768=0{,}67232\)

\(P(X\geq1)\approx0{,}672\)

Pregunta 7

Alternativa correcta: D

Justificación: La esperanza de una distribución binomial es \(E(X)=np\).

\(E(X)=24\cdot0{,}65=15{,}6\)

Se esperan, en promedio, 15,6 operaciones correctas por grupo de 24 operaciones.

Pregunta 8

Alternativa correcta: A

Justificación: La desviación estándar binomial es:

\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)

\(\sigma=\sqrt{20\cdot0{,}2\cdot0{,}8}\)

\(\sigma=\sqrt{3{,}2}\approx1{,}789\)

Pregunta 9

Alternativa correcta: C

Justificación: Como máximo 2 aciertos significa 0, 1 o 2 aciertos.

\(P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)

\(=(0{,}7)^6+6(0{,}3)(0{,}7)^5+15(0{,}3)^2(0{,}7)^4\)

\(=0{,}117649+0{,}302526+0{,}324135\)

\(=0{,}74431\approx0{,}744\)

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: Los múltiplos de 3 presentes en un dado son 3 y 6.

\(p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Por lo tanto:

\(P(X=4)=\binom{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4\left(\frac{2}{3}\right)^5\)

Pregunta 11

Alternativa correcta: A

Justificación: Al menos 3 respuestas favorables significa obtener 3 o 4.

\(P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)\)

\(=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3)+(0{,}7)^4\)

\(=0{,}4116+0{,}2401=0{,}6517\)

\(P(X\geq3)\approx0{,}652\)

Pregunta 12

Alternativa correcta: D

Justificación: Se comparan las varianzas \(np(1-p)\).

\(V(X)=12(0{,}5)(0{,}5)=3\)

\(V(Y)=12(0{,}2)(0{,}8)=1{,}92\)

Como \(3>1{,}92\), se concluye que la desviación estándar de \(X\) es mayor que la de \(Y\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: B

Justificación: Se calcula la probabilidad de exactamente una falla entre 10 pruebas.

\(P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}05)(0{,}95)^9\)

\(P(X=1)\approx0{,}315\)

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: La esperanza es \(E(X)=18\cdot0{,}4=7{,}2\).

Significa que, al repetir muchas veces grupos de 18 ensayos, el promedio de éxitos por grupo tenderá a 7,2. No significa que necesariamente se obtengan 7,2 éxitos en cada grupo.

Pregunta 15

Alternativa correcta: A

Justificación: La probabilidad de fracaso es el complemento de la probabilidad de éxito.

\(q=1-p=1-0{,}28=0{,}72\)

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: Al menos 3 éxitos significa 3 o más, incluyendo todos los valores posibles hasta 15.

\(P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+\cdots+P(X=15)\)

También puede calcularse utilizando el complemento:

\(P(X\geq3)=1-P(X\leq2)\)

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: Para \(n=12\) y \(p=0{,}75\):

\(E(X)=np=12\cdot0{,}75=9\)

\(\sigma=\sqrt{12\cdot0{,}75\cdot0{,}25}\)

\(\sigma=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\)

Pregunta 18

Alternativa correcta: C

Justificación: Obtener los 4 éxitos significa:

\(P(X=4)=p^4=0{,}4096\)

\(p=\sqrt[4]{0{,}4096}=0{,}8\)

Pregunta 19

Alternativa correcta: D

Justificación: Obtener cero éxitos implica que todos los ensayos son fracasos.

\((1-p)^5=0{,}32768\)

\(1-p=\sqrt[5]{0{,}32768}=0{,}8\)

\(p=1-0{,}8=0{,}2\)

Pregunta 20

Alternativa correcta: A

Justificación: Se utiliza la fórmula binomial con \(n=2\) y \(k=1\).

\(P(X=1)=2p(1-p)=0{,}32\)

\(2p-2p^2=0{,}32\)

\(p^2-p+0{,}16=0\)

\((p-0{,}2)(p-0{,}8)=0\)

Las dos soluciones posibles son \(p=0{,}2\) y \(p=0{,}8\).

Resumen de claves correctas

1) C, 2) B, 3) D, 4) A, 5) C, 6) B, 7) D, 8) A, 9) C, 10) B, 11) A, 12) D, 13) B, 14) C, 15) A, 16) D, 17) B, 18) C, 19) D, 20) A.