4. Nivel 2: Método de Base Común

En este nivel las ecuaciones tienen bases distintas pero un mismo factor primo de fondo. El procedimiento consiste en reescribir cada base como una potencia de una base común (por lo general 2, 3 o 5), igualar exponentes y despejar \(x\).

📐 Procedimiento
  1. Descompón cada base (los números grandes) como una potencia de un mismo número primo (la base común).
  2. Aplica la propiedad de "potencia de una potencia" para simplificar los exponentes.
  3. Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes y despeja \(x\).
⚠️ ¡Cuidado con los exponentes!

Un error común es no distribuir bien el exponente. Recuerda que en una expresión como \((a^m)^{P+Q}\), el nuevo exponente es \(m \cdot (P+Q)\), no solo \(m \cdot P + Q\). ¡Siempre usa paréntesis al multiplicar!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(9^{x} = 81\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(9 = 3^{2}\) y \(81 = 3^{4}\).
\((3^{2})^{x} = 3^{4}\)
\(3^{2x} = 3^{4}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
🧪 Ejemplo B: \(8^{2x-1} = 32\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(8 = 2^{3}\) y \(32 = 2^{5}\).
\((2^{3})^{2x-1} = 2^{5}\)
\(2^{3(2x-1)} = 2^{5}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(2x-1) = 5\)
\(6x - 3 = 5\)
\(6x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{6} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4}{3}\)
🧪 Ejemplo C: \(27^{x+2} = 243\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(27 = 3^{3}\) y \(243 = 3^{5}\).
\((3^{3})^{x+2} = 3^{5}\)
\(3^{3(x+2)} = 3^{5}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(x+2) = 5\)
\(3x + 6 = 5\)
\(3x = 5 - 6\)
\(3x = -1 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{1}{3}\)

Ejercicios propuestos (11 – 20)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

11. \(2^{x+1} = 16\)
12. \(9^{x} = 27\)
13. \(5^{2x} = 125\)
14. \(3^{x+2} = 81\)
15. \(4^{x-1} = 2^{4}\)
16. \(6^{2x-1} = 216\)
17. \(8^{x+2} = 512\)
18. \(27^{x} = 9\)
19. \(3^{2x+1} = 27\)
20. \(25^{x-2} = 5\)