Ecuaciones exponenciales
6. Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable)
En este nivel surgen sumas o restas de potencias con la misma base. El método consiste en factorizar y aplicar la técnica del cambio de variable (por ejemplo, \(y = a^{x}\)) para transformar la ecuación exponencial en una ecuación lineal o polinómica más sencilla.
- Usando propiedades de potencias (ej: \(a^{x+n} = a^x \cdot a^n\)), descompón cada término para aislar la potencia base (como \(a^x\)).
- Define el cambio de variable. Por ejemplo, haz que \(y = a^x\).
- Sustituye 'y' en la ecuación. Ahora tendrás una ecuación más simple (normalmente lineal) en términos de 'y'.
- Resuelve para 'y'.
- Una vez que tengas el valor de 'y', "deshaz" el cambio (si \(y=k\), ahora resuelve \(a^x=k\)) para encontrar el valor de \(x\).
Recuerda que \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La propiedad de la suma de exponentes solo aplica cuando se multiplican potencias de la misma base (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)), nunca cuando se suman o restan.
Ejemplos resueltos paso a paso
Paso 1 y 2: Descomponer y definir variable.
Hacemos \( y = 2^{x}\). Entonces \(2^{x+2}= 2^{x}\cdot 2^{2}= 4y\).
Paso 3 y 4: Sustituir y resolver para 'y'.
La ecuación se convierte en: \(y + 4y = 20\)
\(\Rightarrow\; 5y = 20\)
\(\Rightarrow\; y = 4\)
Paso 5: Volver a la variable original 'x'.
\(2^{x} = y \;\Rightarrow\; 2^{x} = 4 \;\Rightarrow\; 2^{x} = 2^{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
Variable: \( y = 3^{x}\). Entonces \(3^{x+1}= 3^{x}\cdot 3^{1}= 3y\).
Resolver para 'y':
\(3y - y = 54\)
\(\Rightarrow\; 2y = 54\)
\(\Rightarrow\; y = 27\)
Volver a 'x':
\(3^{x} = y \;\Rightarrow\; 3^{x} = 27 \;\Rightarrow\; 3^{x} = 3^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)
Variable: \( y = 4^{x}\). Entonces \(4^{x-1}= 4^{x}\cdot 4^{-1}= \dfrac{y}{4}\).
Resolver para 'y':
\(\dfrac{y}{4} + y = 80\)
\(\Rightarrow\; \dfrac{5y}{4} = 80\)
\(\Rightarrow\; y = \dfrac{80 \cdot 4}{5} = 64\)
Volver a 'x':
\(4^{x} = y \;\Rightarrow\; 4^{x} = 64 \;\Rightarrow\; 4^{x} = 4^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicios propuestos (31 – 40)
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Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(y + 2y = 48 \Rightarrow 3y = 48 \Rightarrow y = 16\).
Volviendo: \(2^{x} = 16 = 2^{4} \Rightarrow x = 4\).
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(y + \dfrac{y}{3} = 36 \Rightarrow \dfrac{4y}{3} = 36 \Rightarrow y = 27\).
Volviendo: \(3^{x} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x = 3\).
Haciendo \( y = 5^{x}\), la ecuación es \(y - \dfrac{y}{5} = 100 \Rightarrow \dfrac{4y}{5} = 100 \Rightarrow y = 125\).
Volviendo: \(5^{x} = 125 = 5^{3} \Rightarrow x = 3\).
Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(4y - y = 24 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\).
Volviendo: \(2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3\).
Notamos que \(4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}\). Haciendo \( y = 2^{2x}\), la ecuación es \(y+y=64 \Rightarrow 2y=64 \Rightarrow y=32\).
Volviendo: \(2^{2x} = 32 = 2^{5} \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}\).
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(9y - y = 72 \Rightarrow 8y = 72 \Rightarrow y = 9\).
Volviendo: \(3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2\).
Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(y + \dfrac{y}{2} = 96 \Rightarrow \dfrac{3y}{2} = 96 \Rightarrow y = 64\).
Volviendo: \(2^{x} = 64 = 2^{6} \Rightarrow x = 6\).
Haciendo \( y = 5^{x}\), la ecuación es \(5y - y = 100 \Rightarrow 4y = 100 \Rightarrow y = 25\).
Volviendo: \(5^{x} = 25 = 5^{2} \Rightarrow x = 2\).
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(3y + y = 108 \Rightarrow 4y = 108 \Rightarrow y = 27\).
Volviendo: \(3^{x} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x = 3\).
Notamos que \(4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 2^{2x}\). Haciendo \(y = 2^{2x}\), la ecuación es \(4y - y = 192 \Rightarrow 3y = 192 \Rightarrow y = 64\).
Volviendo: \(2^{2x} = 64 = 2^{6} \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\).