8. Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático

En este nivel avanzado, las potencias aparecen en una estructura similar a las ecuaciones cuadráticas, conteniendo términos como \(a^{2x}\) y \(a^{x}\). El método consiste en usar un cambio de variable para transformar la ecuación en una cuadrática, resolverla y, finalmente, deshacer el cambio para encontrar \(x\).

📐 Procedimiento: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
  1. Reconoce la estructura cuadrática. Verás un término con \(a^{2x}\) (que es \((a^x)^2\)) y un término con \(a^x\).
  2. Define el cambio de variable: \(y = a^x\).
  3. Sustituye 'y' en la ecuación para obtener una ecuación cuadrática estándar: \(Ay^2 + By + C = 0\).
  4. Resuelve la ecuación cuadrática para 'y' (factorizando o usando la fórmula general).
  5. Descarta cualquier solución para 'y' que sea negativa o cero.
  6. Para cada solución válida de 'y', "deshaz" el cambio (resuelve \(a^x = y\)) para encontrar los valores de \(x\).
⚠️ ¡Importante! Descarta soluciones para 'y'

Cuando haces el cambio de variable \(y = a^{x}\), recuerda que el resultado de una potencia con base positiva (\(a > 0\)) es siempre positivo. Por lo tanto, si al resolver la ecuación cuadrática obtienes un valor de \(y\) que es negativo o cero (\(y \le 0\)), esa solución para \(y\) se debe descartar, ya que \(a^x\) nunca puede ser negativo ni cero.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{2x}-5\cdot 2^{x}+6=0\)
Paso 1: Cambio de Variable.
Sea \(y = 2^{x}\). La ecuación se convierte en: \(y^{2}-5y+6=0\)

Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-2)(y-3)=0\). Las soluciones son \(y_1=2\) y \(y_2=3\). Ambas son positivas y válidas.

Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=2\): \(2^{x}=2 \;\Rightarrow\; 2^x = 2^1 \;\Rightarrow\; x_1=1\)
• Para \(y_2=3\): \(2^{x}=3 \;\Rightarrow\; x_2=\log_2(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.585\)
🧪 Ejemplo B: \(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
Paso 1: Reescribir y cambiar variable.
La ecuación es \(4^x + \dfrac{3}{4^x} - 4 = 0\). Sea \(y = 4^{x}\). Multiplicando todo por \(y\) nos queda:
\(y^2 + 3 - 4y = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 4y + 3 = 0\)

Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-3)(y-1)=0\). Soluciones: \(y_1=3\) y \(y_2=1\). Ambas válidas.

Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=3\): \(4^x = 3 \;\Rightarrow\; x_1 = \log_4(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(4)} \approx 0.792\)
• Para \(y_2=1\): \(4^x = 1 \;\Rightarrow\; 4^x = 4^0 \;\Rightarrow\; x_2 = 0\)

🌍 ¿Dónde aparecen estas ecuaciones?

Las ecuaciones exponenciales de tipo cuadrático son más que un ejercicio académico. Modelan fenómenos del mundo real donde hay un crecimiento que eventualmente se satura o se regula, como en:

  • Ecología: El modelo de crecimiento logístico de una población.
  • Química: La cinética de ciertas reacciones químicas.
  • Medicina: La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo a lo largo del tiempo.
Dominar este nivel te permite entender modelos matemáticos mucho más sofisticados.

Ejercicios propuestos (51 – 60)

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

51. \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)
52. \(3^{2x}-10\cdot3^{x}+9=0\)
53. \(5^{2x}-13\cdot 5^{x}+36=0\)
54. \(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
55. \(10^{2x}-7=3\cdot 10^{x}\)
56. \(2^{2x}-8\cdot2^{x}+12=0\)
57. \(3^{2x}-4\cdot3^{x}-21=0\)
58. \(6^{2x}-13\cdot6^{x}+40=0\)
59. \(e^{2x}-2e^{x}-8=0\)
60. \(4^{2x}-20\cdot4^{x}+64=0\)