2. Formulario

Formulario: Potencias y Logaritmos

📊 Propiedades de las Potencias

Propiedad Fórmula Ejemplo
Base positiva Si \(a > 0\), entonces \(a^x > 0\) \(3^2 = 9\); \(3^{-2} = \frac{1}{9}\). El resultado siempre es positivo.
Base negativa \((-a)^{\text{par}} \rightarrow \text{Positivo}\)
\((-a)^{\text{impar}} \rightarrow \text{Negativo}\)		 \((-2)^4 = 16\), pero \((-2)^3 = -8\).
Multiplicación (igual base) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) \(2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
División (igual base) \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \(\dfrac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2 = 9\)
Potencia de una potencia \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) \((5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625\)
Potencia de un producto \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
Exponente cero \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\)) \(7^0 = 1\)
Exponente negativo \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) \(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\)
Exponente fraccionario \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)

📐 Propiedades de los Logaritmos

(Para estas propiedades, se asume que la base \(b > 0, b \neq 1\) y que los argumentos \(x, y > 0\))

Propiedad Fórmula Ejemplo
Logaritmo de un producto \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\) \(\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5\)
Logaritmo de un cociente \(\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\) \(\log_3\left(\dfrac{81}{3}\right) = \log_3(81) - \log_3(3) = 4 - 1 = 3\)
Logaritmo de una potencia \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\) \(\log_4(16^3) = 3 \cdot \log_4(16) = 3 \cdot 2 = 6\)
Logaritmo de la base \(\log_b(b) = 1\) \(\log_7(7) = 1\)
Logaritmo de 1 \(\log_b(1) = 0\) \(\log_5(1) = 0\)
Cambio de base \(\log_c(x) = \dfrac{\log_b(x)}{\log_b(c)}\) \(\log_2(10) = \dfrac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)} \approx 3.32\)
💡 Tip para la Calculadora: La fórmula de cambio de base es tu mejor amiga para calcular logaritmos que no sean de base 10 o base \(e\). La regla es simple: "el logaritmo del número de arriba (argumento) dividido por el logaritmo del número de abajo (base)".