Has aprendido a resolver las ecuaciones, ahora veamos dónde se usan. En esta página, exploraremos cómo las ecuaciones exponenciales nos ayudan a modelar situaciones del mundo real, desde cómo crece tu dinero en el banco hasta cómo se expande una población.
💡 Estrategia General para Modelar
Al enfrentar un problema de aplicación, sigue estos pasos:
Identifica el Modelo: ¿Es un problema de interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, etc.? Elige la fórmula correcta.
Asigna las Variables: Lee el problema y anota los valores que conoces (capital inicial, tasa, cantidad inicial, etc.) y cuál es tu incógnita.
Plantea la Ecuación: Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Resuelve para la Incógnita: Usa las técnicas que aprendiste (igualar bases, logaritmos, etc.) para despejar la variable que buscas.
💰 Aplicación 1: Interés Compuesto
El interés compuesto es el interés que se calcula sobre el capital inicial más todo el interés acumulado de periodos anteriores. ¡Es el motivo por el cual las inversiones crecen cada vez más rápido!
La Fórmula Clave:
\(C(t) = C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\)
Donde: • \(C(t)\): Capital final. • \(C_0\): Capital inicial. • \(r\): Tasa de interés anual (en decimal). • \(n\): Número de capitalizaciones por año. • \(t\): Número de años.
Ejemplo: Si inviertes $500.000 a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo tomará para que tu inversión alcance los $700.000?
3. Una tarjeta de crédito cobra un interés del 24% anual (0.24) capitalizable mensualmente. Si tienes una deuda de $500 y no haces pagos, ¿cuánto deberás después de 2 años?
4. ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión de $1.000 se duplique si se invierte al 8% anual capitalizable semestralmente (n=2)?
\(2000 = 1000(1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; 2 = (1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; \log(2) = 2t \cdot \log(1.04) \;\Rightarrow\; t \approx 8.84\) años.
5. Si inviertes $3.000 y después de 5 años tienes $4.000 con capitalización anual (n=1), ¿cuál fue la tasa de interés anual (r)?
\(4000 = 3000(1+r)^5 \;\Rightarrow\; 1.333 = (1+r)^5 \;\Rightarrow\; \sqrt[5]{1.333} = 1+r \;\Rightarrow\; r \approx 0.0592\), o 5.92%.
6. Una población de conejos se duplica cada 6 meses. Si comienzas con 20 conejos, ¿cuántos tendrás después de 4 años?
En 4 años hay 8 periodos de 6 meses. \(N(4) = 20 \cdot 2^8 = 20 \cdot 256 = 5120\) conejos.
7. Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 120 días. ¿Qué porcentaje de la sustancia original quedará después de un año (360 días)?
En 360 días hay 3 vidas medias. \(N(360) = N_0 \cdot (0.5)^3 = 0.125 N_0\). Quedará el 12.5%.
8. La población de una ciudad crece a una tasa del 2% anual (k=0.02). Si la población actual es de 50.000 habitantes, ¿cuál será la población en 10 años?
\(N(10) = 50000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \approx 61070\) habitantes.
9. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa tal que su cantidad se reduce a la mitad cada 4 horas. Si tomas una dosis de 200 mg, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 mg en tu cuerpo?
De 200 a 100 mg (1 vida media = 4h). De 100 a 50 mg (2 vidas medias = 8h). De 50 a 25 mg (3 vidas medias = 12h). Total: 12 horas.
10. Se estima que el número de usuarios de una nueva app crece según el modelo \(U(t) = 1000e^{0.5t}\), donde t es el tiempo en meses. ¿En cuántos meses la app alcanzará los 50.000 usuarios?
