Los datos estan dispersos?
5. La Desviación Media (optativo complementario): Una Medida de Dispersión Intuitiva
La Desviación Media: Una Medida de Dispersión Intuitiva
Además del Rango y la Desviación Estándar, existe otra forma de medir la dispersión llamada Desviación Media (DM) o Desviación Absoluta Promedio. Esta medida responde de forma muy directa a la pregunta: "en promedio, ¿a qué distancia está cada dato de la media?".
La Desviación Media es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos con respecto a la media.
\( \Large DM = \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_i - \bar{x}|}{n} \)
- \(|x_i - \bar{x}|\): Es la distancia de cada dato a la media (siempre positiva).
- \(\sum\): Símbolo de sumatoria.
- \(n\): Número total de datos.
Cálculo Paso a Paso
Un futbolista ha anotado los siguientes goles en los últimos 5 partidos: {0, 1, 1, 2, 6}. Calculemos la desviación media para entender la consistencia de su rendimiento.
1. Calcular la media (\(\bar{x}\)):
\(\bar{x} = \frac{0 + 1 + 1 + 2 + 6}{5} = \frac{10}{5} = 2\)
La media es de 2 goles por partido.
2. Calcular las desviaciones absolutas:
| Goles (\(x_i\)) | Desviación Absoluta \(|x_i - \bar{x}|\) |
|---|---|
| 0 | |0 - 2| = 2 |
| 1 | |1 - 2| = 1 |
| 1 | |1 - 2| = 1 |
| 2 | |2 - 2| = 0 |
| 6 | |6 - 2| = 4 |
| Suma de Desviaciones: | 8 |
3. Calcular la Desviación Media (DM):
\(DM = \frac{\text{Suma de desviaciones absolutas}}{n} = \frac{8}{5} = 1.6\)
Conclusión: La desviación media es de 1.6 goles. Esto significa que, en promedio, los goles que anota el futbolista en un partido se alejan 1.6 goles de su media de 2.
Desviación Media vs. Desviación Estándar
Si la Desviación Media es tan fácil de interpretar, ¿por qué se utiliza más la Desviación Estándar en estadística avanzada?
La razón principal es que la Desviación Estándar, al elevar las diferencias al cuadrado, posee propiedades matemáticas que la hacen más "compatible" con técnicas estadísticas complejas (como la inferencia o las regresiones). El valor absoluto, aunque intuitivo, es más difícil de manipular algebraicamente en esos contextos.
Sin embargo, la Desviación Media es una excelente herramienta para describir la dispersión de forma clara y es menos sensible a los valores extremos que la Desviación Estándar.
Ejercicios Propuestos
Los tiempos (en minutos) de un corredor en 6 días de entrenamiento fueron: {25, 28, 30, 32, 32, 35}. Calcula la desviación media de sus tiempos.
1. Media: \(\bar{x} = (25+28+30+32+32+35) / 6 = 182 / 6 = 30.33\) min.
2. Desviaciones absolutas: |25-30.33|=5.33, |28-30.33|=2.33, |30-30.33|=0.33, |32-30.33|=1.67, |32-30.33|=1.67, |35-30.33|=4.67.
3. Suma de desviaciones: 5.33 + 2.33 + 0.33 + 1.67 + 1.67 + 4.67 = 16
4. Desviación Media: \(DM = 16 / 6 \approx 2.67\) minutos.
Dos estudiantes, Ana y Beto, tienen la misma nota promedio (8.0) en sus últimas 5 pruebas. Sus notas fueron:
- Ana: {8, 8, 8, 8, 8}
- Beto: {6, 7, 8, 9, 10}
Calcula la desviación media para cada estudiante y explica qué te dicen los resultados sobre su rendimiento.
Ana:
La media es 8. Todas sus notas son 8, por lo que la desviación de cada nota es 0.
La Desviación Media de Ana es 0.
Beto:
La media es 8. Las desviaciones absolutas son: |6-8|=2, |7-8|=1, |8-8|=0, |9-8|=1, |10-8|=2.
La suma es 2+1+0+1+2 = 6.
La Desviación Media de Beto es \(6 / 5 = 1.2\).
Conclusión: Una DM de 0 significa que el rendimiento de Ana es perfectamente consistente, no hay ninguna variabilidad. Una DM de 1.2 indica que las notas de Beto son más variables y se alejan, en promedio, 1.2 puntos de su media.