Libro de las Raices
2. ¿Por qué se necesitan los números irracionales?
¿Para qué son los números irracionales?
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que los números irracionales surgen por una necesidad matemática y geométrica, y aprender a estimar el valor de raíces inexactas.
- Reconocen que los conjuntos numéricos surgieron para responder a nuevas necesidades.
- Distinguen entre números racionales e irracionales a partir de su escritura decimal.
- Relacionan el Teorema de Pitágoras con la aparición de los números irracionales, por ejemplo \( \sqrt{2} \).
- Estiman raíces inexactas usando cuadrados perfectos cercanos.
El drama de los pitagóricos
Hace aproximadamente 2500 años, los seguidores de Pitágoras creían que el universo entero podía explicarse mediante números naturales y sus proporciones, es decir, mediante fracciones.
Cuando descubrieron que la diagonal de un cuadrado simple no podía escribirse como fracción, enfrentaron una crisis matemática: habían encontrado números que no eran racionales.
1. Los conjuntos numéricos fueron naciendo por necesidad
Un recorrido breve
Los números naturales \( \mathbb{N} \) surgieron para contar:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\dots \]
Los números enteros \( \mathbb{Z} \) ampliaron a los naturales para representar deudas, temperaturas bajo cero o desplazamientos en sentido contrario:
\[ \dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \]
Los números racionales \( \mathbb{Q} \) surgieron para representar repartos y medidas que pueden escribirse como fracción:
\[ \frac{1}{2},\quad \frac{3}{4},\quad -\frac{5}{2}. \]
2. ¿Cómo reconocer un número racional?
Característica clave
Un número racional es todo número que puede escribirse como fracción de enteros:
\[ \frac{a}{b},\qquad b\neq 0. \]
Además, su desarrollo decimal es finito o periódico.
Por ejemplo, un decimal finito es:
\[ \frac{1}{2}=0{,}5. \]
Un decimal periódico es:
\[ \frac{1}{3}=0{,}3333\ldots \qquad \frac{1}{6}=0{,}1666\ldots \]
Cuidado
No todo decimal infinito es irracional. El número \(0{,}3333\ldots\) es infinito, pero es racional porque equivale a la fracción \( \frac{1}{3} \).
3. El problema que ya no pueden resolver los racionales
Una situación concreta
Considera un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden \(1\) unidad.
Aplicando el Teorema de Pitágoras
En el siguiente visor, los catetos \(OA\) y \(OB\) miden \(1\) unidad. La hipotenusa es el segmento \(AB\).
Si los catetos miden \(1\) y \(1\), entonces por el Teorema de Pitágoras:
\[ a^2+b^2=c^2. \]
Reemplazamos:
\[ 1^2+1^2=c^2. \]
Como \(1^2=1\), se obtiene:
\[ 1+1=c^2 \]
\[ 2=c^2. \]
Por lo tanto, la hipotenusa mide:
\[ c=\sqrt{2}. \]
Lo importante aquí
La hipotenusa existe geométricamente: puedes dibujarla como la diagonal de un cuadrado de lado \(1\). Sin embargo, su medida exacta es \( \sqrt{2} \), y ese número no puede escribirse como una fracción de enteros.
4. ¿Cómo calculamos o estimamos una raíz irracional?
Estimación por cuadrados perfectos
Sabemos que \( \sqrt{2} \) no es una raíz exacta y no se puede escribir como fracción. Pero si quisiéramos medir esa diagonal en una situación real, necesitaríamos una aproximación.
Para eso usamos cuadrados perfectos cercanos.
Acorralando a \( \sqrt{2} \)
Buscamos los cuadrados perfectos más cercanos a \(2\):
\[ 1^2=1 \qquad \text{y} \qquad 2^2=4. \]
Como \(2\) está entre \(1\) y \(4\), entonces \( \sqrt{2} \) debe estar entre \(1\) y \(2\):
\[ 1<\sqrt{2}<2. \]
Ahora probamos con decimales:
\[ 1{,}4^2=1{,}96 \qquad \text{y} \qquad 1{,}5^2=2{,}25. \]
Como \(2\) está entre \(1{,}96\) y \(2{,}25\), se concluye que:
\[ 1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5. \]
Ojo con las aproximaciones
Escribir \( \sqrt{2}\approx 1{,}41 \) no significa que \( \sqrt{2} \) sea exactamente \(1{,}41\).
El símbolo \( \approx \) indica una aproximación. El valor decimal de \( \sqrt{2} \) tiene infinitos decimales sin periodo.
5. Diferencia clave en el desarrollo decimal
| Número | Decimal aproximado | ¿Tiene periodo? | Clasificación |
|---|---|---|---|
| \( \frac{1}{3} \) | \(0{,}3333\dots\) | Sí | Racional |
| \( \frac{12}{99} \) | \(0{,}121212\dots\) | Sí | Racional |
| \( \sqrt{2} \) | \(1{,}41421356\dots\) | No | Irracional |
| \( \sqrt{15} \) | \(3{,}87298334\dots\) | No | Irracional |
6. Ejercicios guiados
Ejercicio 1: Clasificación
Clasifica cada número como racional o irracional:
\[ \frac{3}{5},\qquad 0{,}125,\qquad 0{,}7777\ldots,\qquad \sqrt{2},\qquad \sqrt{5}. \]
Analizamos cada caso:
\( \frac{3}{5} \) es racional, porque ya está escrito como fracción de enteros.
\(0{,}125\) es racional, porque es un decimal finito. De hecho:
\[ 0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}. \]
\(0{,}7777\ldots\) es racional, porque es un decimal periódico.
\( \sqrt{2} \) es irracional, porque \(2\) no es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada no puede escribirse como fracción de enteros.
\( \sqrt{5} \) es irracional, porque \(5\) no es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada tampoco puede escribirse como fracción de enteros.
Ejercicio 2: Estimación
¿Entre qué números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces inexactas?
- \( \sqrt{10} \)
- \( \sqrt{20} \)
- \( \sqrt{50} \)
a) \( \sqrt{10} \):
Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(10\):
\[ 3^2=9 \qquad \text{y} \qquad 4^2=16. \]
Como \(9<10<16\), entonces:
\[ 3<\sqrt{10}<4. \]
b) \( \sqrt{20} \):
Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(20\):
\[ 4^2=16 \qquad \text{y} \qquad 5^2=25. \]
Como \(16<20<25\), entonces:
\[ 4<\sqrt{20}<5. \]
c) \( \sqrt{50} \):
Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(50\):
\[ 7^2=49 \qquad \text{y} \qquad 8^2=64. \]
Como \(49<50<64\), entonces:
\[ 7<\sqrt{50}<8. \]
Ejercicio 3: Afinando la estimación
¿Entre qué números con un decimal de precisión se encuentran las siguientes raíces?
- \( \sqrt{3} \)
- \( \sqrt{80} \)
a) \( \sqrt{3} \):
Primero ubicamos la raíz entre enteros:
\[ 1^2=1 \qquad \text{y} \qquad 2^2=4. \]
Como \(1<3<4\), entonces \(1<\sqrt{3}<2\).
Probamos con decimales:
\[ 1{,}7^2=2{,}89 \]
\[ 1{,}8^2=3{,}24. \]
Como \(2{,}89<3<3{,}24\), se concluye que:
\[ 1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8. \]
b) \( \sqrt{80} \):
Primero ubicamos la raíz entre enteros:
\[ 8^2=64 \qquad \text{y} \qquad 9^2=81. \]
Como \(64<80<81\), entonces \(8<\sqrt{80}<9\).
Probamos con un decimal cercano a \(9\):
\[ 8{,}9^2=79{,}21 \]
\[ 9{,}0^2=81. \]
Como \(79{,}21<80<81\), se concluye que:
\[ 8{,}9<\sqrt{80}<9{,}0. \]
Ejercicio 4: Estimación avanzada
Aproxima \( \sqrt{15} \) usando cuadrados perfectos e indica si estará más cerca del límite inferior o superior.
Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(15\):
\[ 3^2=9 \qquad \text{y} \qquad 4^2=16. \]
Como \(9<15<16\), entonces:
\[ 3<\sqrt{15}<4. \]
Además, \(15\) está más cerca de \(16\) que de \(9\), por lo que \( \sqrt{15} \) estará más cerca de \(4\) que de \(3\).
Si afinamos la aproximación:
\[ 3{,}8^2=14{,}44 \]
\[ 3{,}9^2=15{,}21. \]
Por lo tanto:
\[ 3{,}8<\sqrt{15}<3{,}9. \]
Una aproximación razonable es:
\[ \sqrt{15}\approx 3{,}87. \]
7. Ticket de salida
Salida rápida
Responde en tu cuaderno:
- Observa este número: \(0{,}12123123412345\dots\). ¿Es racional o irracional? Justifica usando la palabra “periodo”.
- Si el área de un cuadrado es \(20\text{ cm}^2\), la medida de su lado es \( \sqrt{20} \). Estima entre qué valores enteros se encuentra esa longitud.
- ¿Por qué las fracciones no alcanzan para medir exactamente la diagonal de un cuadrado de lado \(1\)?
1. El número \(0{,}12123123412345\dots\) es irracional, porque su desarrollo decimal continúa sin formar un periodo fijo que se repita indefinidamente.
2. Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(20\):
\[ 4^2=16 \qquad \text{y} \qquad 5^2=25. \]
Como \(16<20<25\), entonces:
\[ 4<\sqrt{20}<5. \]
Por lo tanto, el lado mide entre \(4\text{ cm}\) y \(5\text{ cm}\).
3. La diagonal de un cuadrado de lado \(1\) mide \( \sqrt{2} \). Ese número es irracional, por lo tanto no puede escribirse como una fracción de enteros.
Profundización opcional: cultura matemática
Los números irracionales se pueden clasificar en grupos más específicos.
Algebraicos: son números que aparecen como solución de ciertas ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \) o el número de oro \( \varphi \).
Trascendentales: son números irracionales que no aparecen como solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Algunos ejemplos importantes son \( \pi \) y \( e \).
No siempre es sencillo decidir a qué familia pertenece un número irracional solo a partir de su expansión decimal. Por ejemplo, pueden construirse números con desarrollo decimal infinito no periódico, como \(0{,}1001000100001\ldots\), lo que muestra que el conjunto de los irracionales es muy amplio.
Recurso complementario: