Libro de las Raices
3. Raíces enésimas y la paridad del índice
Raíces enésimas y la paridad del índice
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la raíz enésima como una generalización de la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y analizar cómo la paridad del índice determina si una raíz existe o no en los números reales.
- Identifican los elementos de una raíz enésima: índice, radicando y valor.
- Calculan raíces exactas con índices mayores que dos.
- Determinan la existencia de una raíz en los números reales según la paridad del índice.
- Reconocen el comportamiento del signo en raíces de índice impar con radicandos negativos.
Idea central
La raíz enésima amplía la idea de raíz cuadrada y raíz cúbica. Sin embargo, no todas las raíces se comportan igual: el signo del radicando y que el índice sea par o impar cambia lo que puede ocurrir en los números reales.
Pregunta guía
¿Por qué \( \sqrt[3]{-8} \) existe en los números reales, pero \( \sqrt[4]{-16} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?
1. De casos conocidos a la raíz enésima
Observa estos ejemplos
\[ \sqrt{16}=4,\qquad \sqrt[3]{8}=2,\qquad \sqrt[3]{-8}=-2 \]
\[ \sqrt[4]{16}=2,\qquad \sqrt[4]{-16} \text{ no existe en } \mathbb{R}. \]
En todos estos casos aparece la misma idea: buscar un número que, al elevarlo a cierto exponente, produzca el radicando.
Observación
La raíz cuadrada tiene índice \(2\), la raíz cúbica tiene índice \(3\), la raíz cuarta tiene índice \(4\), y así sucesivamente. A este caso general lo llamamos raíz enésima.
2. ¿Qué significa una raíz enésima?
Definición general
La expresión \( \sqrt[n]{a} \) representa la raíz enésima de \(a\). Busca el número que, elevado a \(n\), produce \(a\).
Si \(n\) es impar, la raíz puede tener resultado positivo, negativo o cero:
\[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a. \]
Si \(n\) es par y la raíz existe en \( \mathbb{R} \), el símbolo radical representa el valor no negativo:
\[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \text{ y } b\ge 0. \]
Elementos de la expresión
En la expresión \( \sqrt[n]{a}=b \):
- \(n\) es el índice.
- \(a\) es el radicando.
- \(b\) es el valor de la raíz.
Si no aparece escrito el índice, se entiende que es \(2\). Por eso \( \sqrt{a} \) significa raíz cuadrada de \(a\).
3. ¿Todo número tiene raíz?
Pregunta clave
No basta con mirar el número que está dentro de la raíz. También hay que fijarse en el índice.
3.1. Caso: radicando positivo
Observación
Si el radicando es positivo, la raíz enésima existe tanto para índices pares como para índices impares, y su valor principal es positivo.
Por ejemplo, si te piden \( \sqrt[4]{16} \), aunque se cumple que
\[ 2^4=16 \qquad \text{y} \qquad (-2)^4=16, \]
el símbolo radical representa un solo valor no negativo. Por eso:
\[ \sqrt[4]{16}=2. \]
Ejemplos con radicando positivo
\[ \sqrt[3]{8}=2 \quad \text{porque} \quad 2^3=8. \]
\[ \sqrt[4]{16}=2 \quad \text{porque} \quad 2^4=16. \]
\[ \sqrt[5]{32}=2 \quad \text{porque} \quad 2^5=32. \]
En estos casos, no aparece ningún problema de existencia en los números reales.
3.2. Caso: radicando negativo
Aquí importa la paridad del índice
Cuando el radicando es negativo, el resultado depende de si el índice es par o impar.
Radicando negativo e índice impar
Una potencia de exponente impar conserva el signo negativo. Por eso:
\[ \sqrt[3]{-8}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^3=-8. \]
\[ \sqrt[5]{-32}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^5=-32. \]
Entonces, si el índice es impar, la raíz de un número negativo sí existe en \( \mathbb{R} \) y su resultado es negativo.
Propiedad del signo
Cuando el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz:
\[ \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} \qquad \text{si \( n \) es impar y \(a\ge 0\).} \]
Radicando negativo e índice par
Observemos el número \(-64\).
Su raíz cúbica sí existe:
\[ \sqrt[3]{-64}=-4 \]
porque
\[ (-4)^3=-64. \]
En cambio, su raíz cuadrada no existe en los números reales:
\[ \sqrt{-64}\notin \mathbb{R} \]
porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \(-64\).
Conclusión importante
Si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar. En ese caso, su resultado es negativo.
4. Resumen visual de la paridad del índice
Regla visual rápida
Para anticipar qué ocurrirá con una raíz enésima, basta mirar dos cosas: si el índice es par o impar, y si el radicando es positivo, negativo o cero.
Esquema resumen
\[ \boxed{ \begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \sqrt[\text{par}]{+}=+ & \sqrt[\text{impar}]{+}=+ \\[1em] \sqrt[\text{par}]{-}\notin \mathbb{R} & \sqrt[\text{impar}]{-}=- \end{array} } \]
Nota
Si el radicando es \(0\), la raíz enésima siempre existe y su valor es \(0\), sin importar si el índice es par o impar:
\[ \sqrt[n]{0}=0. \]
5. Ejercicios guiados
Ejercicio 1
Calcula de forma exacta:
- \( \sqrt[3]{27} \)
- \( \sqrt[4]{81} \)
- \( \sqrt[5]{32} \)
a) Buscamos un número que elevado a \(3\) dé \(27\):
\[ 3^3=27. \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt[3]{27}=3. \]
b) Buscamos un número no negativo que elevado a \(4\) dé \(81\):
\[ 3^4=81. \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt[4]{81}=3. \]
c) Buscamos un número que elevado a \(5\) dé \(32\):
\[ 2^5=32. \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt[5]{32}=2. \]
Ejercicio 2
Indica si la raíz existe en los números reales. Si existe, señala además el signo de su resultado.
- \( \sqrt[4]{100} \)
- \( \sqrt[6]{-64} \)
- \( \sqrt[7]{-128} \)
- \( \sqrt[5]{0} \)
a) \( \sqrt[4]{100} \): el índice es par y el radicando es positivo. Por lo tanto, sí existe en \( \mathbb{R} \), y su resultado es positivo.
b) \( \sqrt[6]{-64} \): el índice es par y el radicando es negativo. Por lo tanto, no existe en \( \mathbb{R} \).
c) \( \sqrt[7]{-128} \): el índice es impar y el radicando es negativo. Por lo tanto, sí existe en \( \mathbb{R} \), y su resultado es negativo.
d) \( \sqrt[5]{0} \): el radicando es \(0\). Por lo tanto, sí existe y su resultado es:
\[ \sqrt[5]{0}=0. \]
Ejercicio 3
Usa la propiedad del signo para reescribir y calcular:
\[ \sqrt[3]{-1000} \]
Como el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz:
\[ \sqrt[3]{-1000}=-\sqrt[3]{1000}. \]
Ahora calculamos la raíz cúbica positiva:
\[ \sqrt[3]{1000}=10 \]
porque
\[ 10^3=1000. \]
Entonces:
\[ \sqrt[3]{-1000}=-10. \]
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa:
- \( \sqrt[4]{-81} \) existe en \( \mathbb{R} \).
- \( \sqrt[3]{-27}=-3 \).
- Si el índice es impar, la raíz puede existir aunque el radicando sea negativo.
- \( \sqrt[6]{64} \) tiene resultado negativo.
a) Falsa. El índice es par y el radicando es negativo, por lo tanto \( \sqrt[4]{-81} \) no existe en \( \mathbb{R} \).
b) Verdadera, porque:
\[ (-3)^3=-27. \]
Entonces:
\[ \sqrt[3]{-27}=-3. \]
c) Verdadera. Si el índice es impar, una raíz con radicando negativo sí puede existir en \( \mathbb{R} \).
d) Falsa. Como el índice es par y el radicando es positivo, la raíz existe, pero el símbolo radical representa el valor no negativo. De hecho:
\[ \sqrt[6]{64}=2 \]
porque \(2^6=64\).
Ejercicio 5
Completa la tabla:
| Raíz | ¿Existe en \( \mathbb{R} \)? | Signo del resultado |
|---|---|---|
| \( \sqrt[8]{256} \) | ||
| \( \sqrt[5]{-243} \) | ||
| \( \sqrt[2]{-49} \) |
| Raíz | ¿Existe en \( \mathbb{R} \)? | Signo del resultado |
|---|---|---|
| \( \sqrt[8]{256} \) | Sí | Positivo |
| \( \sqrt[5]{-243} \) | Sí | Negativo |
| \( \sqrt[2]{-49} \) | No | No existe en \( \mathbb{R} \) |
En particular:
\[ \sqrt[8]{256}=2 \]
porque \(2^8=256\), y
\[ \sqrt[5]{-243}=-3 \]
porque \((-3)^5=-243\).
6. Síntesis final
Ideas que deben quedar claras
- La raíz enésima generaliza a la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.
- Si el radicando es positivo, la raíz existe para índices pares e impares.
- Si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar.
- Cuando el índice es par y la raíz existe, el símbolo radical representa el valor no negativo.
- Si el radicando es \(0\), la raíz existe para cualquier índice natural \(n\ge 2\), y su valor es \(0\).
7. Ticket de salida
Salida rápida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Por qué \( \sqrt[3]{-125} \) existe, pero \( \sqrt[4]{-125} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?
- ¿Qué debe ocurrir con el radicando para que una raíz de índice par exista en los números reales?
- Si una raíz tiene índice impar y el radicando es negativo, ¿qué signo tendrá el resultado?
1. \( \sqrt[3]{-125} \) existe porque el índice \(3\) es impar, y una potencia impar puede dar como resultado un número negativo. De hecho:
\[ (-5)^3=-125. \]
En cambio, \( \sqrt[4]{-125} \) no existe en \( \mathbb{R} \), porque el índice \(4\) es par y ninguna potencia par de un número real puede dar un número negativo.
2. Para que una raíz de índice par exista en los números reales, el radicando debe ser positivo o cero. Es decir, debe ser mayor o igual que cero.
3. Si el índice es impar y el radicando es negativo, el resultado tendrá signo negativo.