3. Raíces enésimas y la paridad del índice

Raíces enésimas y la paridad del índice

Comprender la raíz enésima como una generalización de la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y analizar cómo la paridad del índice determina si una raíz existe o no en los números reales.
  • Identifican los elementos de una raíz enésima: índice, radicando y valor.
  • Calculan raíces exactas con índices mayores que dos.
  • Determinan la existencia de una raíz en los números reales según la paridad del índice.
  • Reconocen el comportamiento del signo en raíces de índice impar con radicandos negativos.
🤓 Idea central: la raíz enésima amplía la idea de raíz cuadrada y raíz cúbica. Sin embargo, no todas las raíces se comportan igual: el signo del radicando y que el índice sea par o impar cambia por completo lo que puede ocurrir.
💡 Pregunta guía: ¿por qué \( \sqrt[3]{-8} \) existe en los números reales, pero \( \sqrt[4]{-16} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?

1. De casos conocidos a la raíz enésima

Observa estos ejemplos

\[ \sqrt{16}=4,\qquad \sqrt[3]{8}=2,\qquad \sqrt[3]{-8}=-2 \] \[ \sqrt[4]{16}=2,\qquad \sqrt[4]{-16} \text{ no existe en } \mathbb{R} \]

En todos estos casos aparece la misma idea: buscar un número que, al elevarlo a cierto exponente, produzca el radicando.
🤓 Observación: la raíz cuadrada tiene índice \(2\), la raíz cúbica tiene índice \(3\), la raíz cuarta tiene índice \(4\), y así sucesivamente. A este caso general lo llamamos raíz enésima.

2. ¿Qué significa una raíz enésima?

📐 Definición general: la expresión \( \sqrt[n]{a} \) representa la raíz enésima de \( a \).

Busca el número que, elevado a \( n \), produce \( a \).

Cuando la raíz existe en los números reales: \[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \]

Elementos de la expresión

En la expresión \( \sqrt[n]{a}=b \):
  • \( n \) es el índice.
  • \( a \) es el radicando.
  • \( b \) es el valor de la raíz.

Si no aparece escrito el índice, se entiende que es \(2\). Por eso \( \sqrt{a} \) significa raíz cuadrada de \( a \).

3. ¿Todo número tiene raíz?

💡 Pregunta clave: no basta con mirar el número que está dentro de la raíz. También hay que fijarse en el índice.

3.1. Caso: radicando positivo

🤓 Observación: si el radicando es positivo, la raíz enésima existe tanto para índices pares como para índices impares, y su valor es positivo.

Por ejemplo, si te piden \( \sqrt[4]{16} \), aunque se cumple que \[ 2^4=16 \qquad \text{y} \qquad (-2)^4=16, \] el símbolo radical representa un solo valor, y diremos que \[ \sqrt[4]{16}=2. \]

Ejemplos con radicando positivo

\[ \sqrt[3]{8}=2 \quad \text{porque} \quad 2^3=8 \] \[ \sqrt[4]{16}=2 \quad \text{porque} \quad 2^4=16 \] \[ \sqrt[5]{32}=2 \quad \text{porque} \quad 2^5=32 \]

En estos casos, no aparece ningún problema en los números reales.

3.2. Caso: radicando negativo

🤓 Aquí el resultado depende de si el índice es par o impar:

Radicando negativo e índice impar

Una potencia de exponente impar conserva el signo. Por eso: \[ \sqrt[3]{-8}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^3=-8 \] \[ \sqrt[5]{-32}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^5=-32 \]

Entonces, si el índice es impar, la raíz de un número negativo sí existe en \( \mathbb{R} \) y su resultado es negativo.
📐 Propiedad del signo: cuando el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz: \[ \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} \qquad \text{si \( n \) es impar} \]

Radicando negativo e índice par

Observemos el número \( -64 \).

Su raíz cúbica sí existe: \[ \sqrt[3]{-64}=-4 \] porque \[ (-4)^3=-64. \]

En cambio, su raíz cuadrada no existe en los números reales: \[ \sqrt{-64}\notin \mathbb{R} \] porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \( -64 \).
⚠️ Conclusión importante: si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar, y en ese caso su resultado es negativo.

4. Resumen visual de la paridad del índice

💡 Regla visual rápida: para anticipar qué ocurrirá con una raíz enésima, basta mirar dos cosas: si el índice es par o impar, y si el radicando es positivo o negativo.
📐 Esquema resumen \[ \boxed{ \begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \sqrt[\text{par}]{+}=+ & \sqrt[\text{impar}]{+}=+ \\[1em] \sqrt[\text{par}]{-}\notin \mathbb{R} & \sqrt[\text{impar}]{-}=- \end{array} } \]
🤓 Nota: si el radicando es \( 0 \), la raíz enésima siempre existe y su valor es \( 0 \), sin importar si el índice es par o impar. \[ \sqrt[n]{0}=0 \]

5. Ejercicios guiados

Ejercicio 1

Calcula de forma exacta:

a) \( \sqrt[3]{27} \)
b) \( \sqrt[4]{81} \)
c) \( \sqrt[5]{32} \)

Ejercicio 2

Indica si la raíz existe en los números reales. Si existe, señala además el signo de su resultado.

a) \( \sqrt[4]{100} \)
b) \( \sqrt[6]{-64} \)
c) \( \sqrt[7]{-128} \)
d) \( \sqrt[5]{0} \)

Ejercicio 3

Usa la propiedad del signo para reescribir y calcular: \[ \sqrt[3]{-1000} \]

Ejercicio 4

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa:

a) \( \sqrt[4]{-81} \) existe en \( \mathbb{R} \).
b) \( \sqrt[3]{-27}=-3 \).
c) Si el índice es impar, la raíz puede existir aunque el radicando sea negativo.
d) \( \sqrt[6]{64} \) tiene resultado negativo.

Ejercicio 5

Completa la tabla:

Raíz ¿Existe en \( \mathbb{R} \)? Signo del resultado
\( \sqrt[8]{256} \)    
\( \sqrt[5]{-243} \)    
\( \sqrt[2]{-49} \)    

6. Síntesis final

📐 Ideas que deben quedar claras:

La raíz enésima generaliza a la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.

Si el radicando es positivo, la raíz existe para índices pares e impares.

Si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar.

Cuando el índice es par y la raíz existe, el símbolo radical representa el valor no negativo.

7. Ticket de salida

Salida rápida

Responde en tu cuaderno:
  1. ¿Por qué \( \sqrt[3]{-125} \) existe, pero \( \sqrt[4]{-125} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?
  2. ¿Qué debe ocurrir con el radicando para que una raíz de índice par exista en los números reales?
  3. Si una raíz tiene índice impar y el radicando es negativo, ¿qué signo tendrá el resultado?