Raices
5. Multiplicación de raíces de igual índice
Multiplicación de Raíces de Igual Índice
En esta guía aprenderás a multiplicar y simplificar raíces de igual índice en expresiones numéricas y algebraicas, aplicando correctamente la cancelación estudiada anteriormente y revisando las restricciones de existencia en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de multiplicación de radicales de igual índice para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo conviene simplificar, cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso : cancelación ya estudiada
\[ \sqrt{6^2}=6 \qquad \sqrt[3]{(-2)^3}=(-2) \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
Recuerda: en índice par aparece valor absoluto; en índice impar, el signo se conserva.
En algunos ejercicios, después de multiplicar los radicandos, puede aparecer una raíz que necesite simplificarse.
Cuando dos radicales tienen el mismo índice, se pueden reunir en una sola raíz multiplicando sus radicandos:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \]
Esta propiedad se usa para simplificar multiplicaciones, siempre que las raíces involucradas existan en los números reales cuando el índice es par.
- Verifica que los radicales tengan el mismo índice.
- Multiplica los radicandos dentro de una sola raíz.
- Simplifica el radicando si aparece una potencia perfecta.
- Aplica la cancelación ya estudiada.
- Si el índice es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).
¿Por qué funciona esta propiedad?
Supongamos que:
\[ p=\sqrt[n]{a} \qquad \text{y} \qquad q=\sqrt[n]{b} \]
Entonces, por definición de raíz:
\[ a=p^n \qquad \text{y} \qquad b=q^n \]
Multiplicando ambas expresiones:
\[ ab=p^nq^n=(pq)^n \]
Ahora tomamos raíz enésima en ambos lados:
\[ \sqrt[n]{ab}=pq \]
Y como \(p=\sqrt[n]{a}\) y \(q=\sqrt[n]{b}\), resulta:
\[ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \]
Nota: Decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para que sea una demostración formal. En el contexto escolar, ese nivel de detalle no es necesario.
La propiedad
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \]
solo puede usarse directamente en \(\mathbb{R}\) si las raíces originales existen cuando el índice es par.
Por ejemplo, \(\sqrt{-2}\cdot \sqrt{-4}\) no existe en \(\mathbb{R}\), aunque al multiplicar los radicandos se obtenga \(\sqrt{8}\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: multiplicación exacta
\[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20} =\sqrt{100} =10 \]
Ejemplo 2: multiplicación que luego se simplifica
\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{6} =\sqrt{12} =2\sqrt{3} \]
Ejemplo 3: índice impar con signo negativo
\[ \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9} =\sqrt[3]{-27} =-3 \]
Como el índice es impar, el signo se conserva.
Ejemplo 4: factores literales con índice impar
\[ \sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2} =\sqrt[3]{27x^3} =3x \]
Se aplica la propiedad de multiplicación y luego la cancelación \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
Ejemplo 5: factores literales con índice par
\[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} =\sqrt{16x^2} =4|x| \]
Como el índice es par, al cancelar aparece valor absoluto.
Ejemplo 6: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt[4]{x^3}\cdot \sqrt[4]{x^5} =\sqrt[4]{x^8} =|x^2| \]
Pero \(x^2\ge 0\), por lo tanto:
\[ |x^2|=x^2 \]
Así, el resultado final es:
\[ x^2 \]
En expresiones como \(\sqrt{2x}\) o \(\sqrt{8x}\), para trabajar en los números reales debe cumplirse \(x\ge 0\).
Aunque el resultado simplificado sea \(4|x|\), la expresión original impone esa condición.
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=\)
- \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\)
- \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{15}=\)
- \(\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\)
- \(\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=\)
- \(\sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{-25}=\)
- \(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{6}=\)
- \(\sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{4}=\)
- \(\sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}=\)
- \(\sqrt[5]{-2}\cdot \sqrt[5]{8}=\)
- \(\sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}=\)
- \(\sqrt{3x}\cdot \sqrt{12x}=\)
- \(\sqrt{5x}\cdot \sqrt{20x}=\)
- \(\sqrt{6x}\cdot \sqrt{24x}=\)
- \(\sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2}=\)
- \(\sqrt[3]{4x}\cdot \sqrt[3]{16x^2}=\)
- \(\sqrt[3]{-x^2}\cdot \sqrt[3]{x}=\)
- \(\sqrt[3]{-2x}\cdot \sqrt[3]{4x^2}=\)
- \(\sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy}=\)
- \(\sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y}=\)
- \(\sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y}=\)
- \(\sqrt[3]{2x^2y}\cdot \sqrt[3]{4xy^2}=\)
- ¿Existe \(\sqrt{-4x}\cdot \sqrt{x}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
- \[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{21} \]
- \[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=2\sqrt{3} \]
- \[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \]
- \[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{15}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} \]
- \[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} \]
- \[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \]
- \[ \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2 \]
- \[ \sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{-25}=\sqrt[3]{-250}=\sqrt[3]{-125 \cdot 2}= -5 \sqrt[3]{ 2}=5 \]
- \[ \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{12} \]
- \[ \sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{-8}=-2 \]
- \[ \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{-27}=-3 \]
- \[ \sqrt[5]{-2}\cdot \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{-16} \]
- \[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}=\sqrt{16x^2}=4|x| \]
- \[ \sqrt{3x}\cdot \sqrt{12x}=\sqrt{36x^2}=6|x| \]
- \[ \sqrt{5x}\cdot \sqrt{20x}=\sqrt{100x^2}=10|x| \]
- \[ \sqrt{6x}\cdot \sqrt{24x}=\sqrt{144x^2}=12|x| \]
- \[ \sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2}=\sqrt[3]{27x^3}=3x \]
- \[ \sqrt[3]{4x}\cdot \sqrt[3]{16x^2}=\sqrt[3]{64x^3}=4x \]
- \[ \sqrt[3]{-x^2}\cdot \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-x^3}=-x \]
- \[ \sqrt[3]{-2x}\cdot \sqrt[3]{4x^2}=\sqrt[3]{-8x^3}=-2x \]
- \[ \sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy}=\sqrt{9x^2y^2}=3|xy| \]
- \[ \sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{4x^2y^2}=2|x||y| \]
- \[ \sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y}=\sqrt{9x^2y^2}=3|xy| \]
- \[ \sqrt[3]{2x^2y}\cdot \sqrt[3]{4xy^2}=\sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy \]
-
En \(\mathbb{R}\), ambas raíces deben existir por separado.
Para \(\sqrt{x}\), se necesita \(x\ge 0\).
Para \(\sqrt{-4x}\), se necesita \(-4x\ge 0\), es decir, \(x\le 0\).
Ambas condiciones se cumplen al mismo tiempo solo cuando \(x=0\).
Por tanto, \(\sqrt{-4x}\cdot \sqrt{x}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).
Ejercicios guiados
Completa el radicando que falta para que se cumpla la igualdad:
- \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{72}\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{40}\)
- \(\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{\square}=\sqrt[3]{32}\)
- \(\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{\square}=\sqrt[4]{48}\)
- \[ 2\cdot \square =72 \Rightarrow \square =36 \]
- \[ 5\cdot \square =40 \Rightarrow \square =8 \]
- \[ 4\cdot \square =32 \Rightarrow \square =8 \]
- \[ 3\cdot \square =48 \Rightarrow \square =16 \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-12} \]
¿Se puede aplicar la propiedad de multiplicación de radicales en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
No se puede aplicar en \(\mathbb{R}\).
La razón es que \(\sqrt{-3}\) y \(\sqrt{-12}\) no existen en los números reales, pues son raíces de índice par con radicando negativo.
Por eso sería incorrecto escribir:
\[ \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-12}=\sqrt{36}=6 \]
Ese procedimiento no es válido en \(\mathbb{R}\).
Resumen final
- La propiedad de multiplicación de radicales exige que ambos radicales tengan el mismo índice.
- Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
- Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
- Después de multiplicar, puede ser necesario simplificar la raíz resultante.
- Antes de aplicar la propiedad, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué condición deben cumplir dos radicales para poder multiplicarse dentro de una sola raíz?
- ¿Por qué en \(\sqrt{16x^2}\) el resultado es \(4|x|\)?
- Calcula mentalmente: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}\).
- Deben tener el mismo índice.
- Porque \(\sqrt{16x^2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^2}=4|x|\), y en índice par se cumple \(\sqrt{x^2}=|x|\).
- \[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \]