Libro de las Raices
5. Multiplicación de raíces de igual índice
Multiplicación de raíces de igual índice
Presentación
En esta guía aprenderás a multiplicar y simplificar raíces de igual índice en expresiones numéricas y algebraicas, aplicando correctamente la cancelación estudiada anteriormente y revisando las restricciones de existencia en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar la propiedad de multiplicación de radicales de igual índice para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo conviene simplificar, cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso: cancelación ya estudiada
\[ \sqrt{6^2}=6 \qquad \sqrt[3]{(-2)^3}=-2 \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
Recuerda: en índice par aparece valor absoluto; en índice impar, el signo se conserva.
Observación
En algunos ejercicios, después de multiplicar los radicandos, puede aparecer una raíz que necesite simplificarse.
Propiedad fundamental
Cuando dos radicales tienen el mismo índice, se pueden reunir en una sola raíz multiplicando sus radicandos:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \]
Esta propiedad se usa para simplificar multiplicaciones, siempre que las raíces involucradas existan en los números reales cuando el índice es par.
Estrategia general
- Verifica que los radicales tengan el mismo índice.
- Comprueba que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).
- Multiplica los radicandos dentro de una sola raíz.
- Simplifica el radicando si aparece una potencia perfecta.
- Aplica la cancelación ya estudiada.
- Si el índice es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.
- Si la expresión original impone una condición, úsala para simplificar el valor absoluto cuando corresponda.
¿Por qué funciona esta propiedad?
Justificación breve
Supongamos que:
\[ p=\sqrt[n]{a} \qquad \text{y} \qquad q=\sqrt[n]{b} \]
Entonces, por definición de raíz:
\[ a=p^n \qquad \text{y} \qquad b=q^n \]
Multiplicando ambas expresiones:
\[ ab=p^nq^n=(pq)^n \]
Ahora tomamos raíz enésima:
\[ \sqrt[n]{ab}=pq \]
Y como \(p=\sqrt[n]{a}\) y \(q=\sqrt[n]{b}\), resulta:
\[ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \]
Nota: decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para que sea una demostración formal. En el contexto escolar, ese nivel de detalle no es necesario.
Condición importante
La propiedad
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \]
solo puede usarse directamente en \(\mathbb{R}\) si las raíces originales existen cuando el índice es par.
Por ejemplo, \(\sqrt{-2}\cdot \sqrt{-4}\) no existe en \(\mathbb{R}\), aunque al multiplicar los radicandos se obtenga \(\sqrt{8}\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: multiplicación exacta
\[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20} =\sqrt{5\cdot 20} =\sqrt{100} =10 \]
Ejemplo 2: multiplicación que luego se simplifica
\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{6} =\sqrt{12} =\sqrt{4\cdot 3} =2\sqrt{3} \]
Ejemplo 3: índice impar con signo negativo
\[ \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9} =\sqrt[3]{-27} =-3 \]
Como el índice es impar, el signo negativo se conserva.
Ejemplo 4: factores literales con índice impar
\[ \sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2} =\sqrt[3]{27x^3} =3x \]
Se aplica la propiedad de multiplicación y luego la cancelación \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
Ejemplo 5: factores literales con índice par
Para que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} =\sqrt{16x^2} =4|x| \]
Como en la expresión original se requiere \(x\ge 0\), entonces \(|x|=x\). Por lo tanto:
\[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}=4x \qquad \text{con } x\ge 0. \]
Ejemplo 6: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt[4]{x^3}\cdot \sqrt[4]{x^5} =\sqrt[4]{x^8} =\sqrt[4]{(x^2)^4} =|x^2| \]
Pero \(x^2\ge 0\), por lo tanto:
\[ |x^2|=x^2 \]
Así, el resultado final es:
\[ \sqrt[4]{x^3}\cdot \sqrt[4]{x^5}=x^2 \]
Observación de dominio
En expresiones como \(\sqrt{2x}\) o \(\sqrt{8x}\), para trabajar en los números reales debe cumplirse \(x\ge 0\).
Aunque al simplificar aparezca \(4|x|\), la expresión original impone esa condición. Por eso, en ese caso se puede concluir \(4|x|=4x\).
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
Simplifica cada expresión. Cuando corresponda, indica la condición de existencia en \(\mathbb{R}\).
- \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\)
- \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}\)
- \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{15}\)
- \(\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}\)
- \(\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}\)
- \(\sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{-25}\)
- \(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{6}\)
- \(\sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{4}\)
- \(\sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}\)
- \(\sqrt[5]{-2}\cdot \sqrt[5]{8}\)
- \(\sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}\)
- \(\sqrt{3x}\cdot \sqrt{12x}\)
- \(\sqrt{5x}\cdot \sqrt{20x}\)
- \(\sqrt{6x}\cdot \sqrt{24x}\)
- \(\sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2}\)
- \(\sqrt[3]{4x}\cdot \sqrt[3]{16x^2}\)
- \(\sqrt[3]{-x^2}\cdot \sqrt[3]{x}\)
- \(\sqrt[3]{-2x}\cdot \sqrt[3]{4x^2}\)
- \(\sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy}\)
- \(\sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y}\)
- \(\sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y}\)
- \(\sqrt[3]{2x^2y}\cdot \sqrt[3]{4xy^2}\)
- ¿Existe \(\sqrt{-4x}\cdot \sqrt{x}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
-
\[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{21} \]
-
\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \]
-
\[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \]
-
\[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{15}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5} \]
-
\[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3} \]
-
\[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
-
\[ \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2 \]
-
\[ \sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{-25} =\sqrt[3]{-250} =\sqrt[3]{-125\cdot 2} =-5\sqrt[3]{2} \]
-
\[ \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{12} \]
-
\[ \sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{-8}=-2 \]
-
\[ \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{-27}=-3 \]
-
\[ \sqrt[5]{-2}\cdot \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{-16} \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} =\sqrt{16x^2} =4|x| \]
Como \(x\ge 0\), entonces:
\[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}=4x. \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{3x}\cdot \sqrt{12x} =\sqrt{36x^2} =6|x| =6x \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{5x}\cdot \sqrt{20x} =\sqrt{100x^2} =10|x| =10x \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{6x}\cdot \sqrt{24x} =\sqrt{144x^2} =12|x| =12x \]
-
\[ \sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2} =\sqrt[3]{27x^3} =3x \]
-
\[ \sqrt[3]{4x}\cdot \sqrt[3]{16x^2} =\sqrt[3]{64x^3} =4x \]
-
\[ \sqrt[3]{-x^2}\cdot \sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{-x^3} =-x \]
-
\[ \sqrt[3]{-2x}\cdot \sqrt[3]{4x^2} =\sqrt[3]{-8x^3} =-2x \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(xy\ge 0\).
\[ \sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy} =\sqrt{9x^2y^2} =3|xy| \]
Como \(xy\ge 0\), entonces:
\[ \sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy}=3xy. \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(y\ge 0\), ya que \(4x^2y\ge 0\) y \(y\ge 0\).
\[ \sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y} =\sqrt{4x^2y^2} =2|xy| \]
Como \(y\ge 0\), entonces \(|xy|=|x|y\). Por lo tanto:
\[ \sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y}=2|x|y. \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(y\ge 0\), ya que \(x^2y\ge 0\) y \(9y\ge 0\).
\[ \sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y} =\sqrt{9x^2y^2} =3|xy| \]
Como \(y\ge 0\), entonces \(|xy|=|x|y\). Por lo tanto:
\[ \sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y}=3|x|y. \]
-
\[ \sqrt[3]{2x^2y}\cdot \sqrt[3]{4xy^2} =\sqrt[3]{8x^3y^3} =2xy \]
-
En \(\mathbb{R}\), ambas raíces deben existir por separado.
Para \(\sqrt{x}\), se necesita:
\[ x\ge 0. \]
Para \(\sqrt{-4x}\), se necesita:
\[ -4x\ge 0 \Rightarrow x\le 0. \]
Ambas condiciones se cumplen al mismo tiempo solo cuando \(x=0\).
Por tanto, \(\sqrt{-4x}\cdot \sqrt{x}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).
Ejercicios guiados
Completa el radicando que falta para que se cumpla la igualdad:
- \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{72}\)
- \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{40}\)
- \(\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{\square}=\sqrt[3]{32}\)
- \(\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{\square}=\sqrt[4]{48}\)
-
Usamos la propiedad:
\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{2\cdot \square} \]
Para que sea \(\sqrt{72}\), debe cumplirse:
\[ 2\cdot \square =72 \Rightarrow \square =36. \]
-
\[ 5\cdot \square =40 \Rightarrow \square =8. \]
-
\[ 4\cdot \square =32 \Rightarrow \square =8. \]
-
\[ 3\cdot \square =48 \Rightarrow \square =16. \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-12} \]
¿Se puede aplicar la propiedad de multiplicación de radicales en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
No se puede aplicar en \(\mathbb{R}\).
La razón es que \(\sqrt{-3}\) y \(\sqrt{-12}\) no existen en los números reales, pues son raíces de índice par con radicando negativo.
Por eso sería incorrecto escribir:
\[ \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-12}=\sqrt{36}=6. \]
Ese procedimiento no es válido en \(\mathbb{R}\), porque las raíces originales no existen como números reales.
Resumen final
Ideas clave
- La propiedad de multiplicación de radicales exige que ambos radicales tengan el mismo índice.
- Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
- Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
- Después de multiplicar, puede ser necesario simplificar la raíz resultante.
- Antes de aplicar la propiedad, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).
- Las condiciones de existencia pueden permitir simplificar valores absolutos, como ocurre cuando \(x\ge 0\).
Ticket de salida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Qué condición deben cumplir dos radicales para poder multiplicarse dentro de una sola raíz?
- ¿Por qué en \(\sqrt{16x^2}\) el resultado es \(4|x|\)?
- Calcula mentalmente: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}\).
-
Deben tener el mismo índice. Por ejemplo:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}. \]
-
Porque:
\[ \sqrt{16x^2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^2}=4|x|. \]
Aparece valor absoluto porque la raíz cuadrada es de índice par.
-
\[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10. \]