6. División de raíces de igual índice

División de raíces de igual índice

Presentación

En esta guía aprenderás a dividir y simplificar raíces de igual índice en expresiones numéricas y algebraicas, aplicando correctamente la cancelación estudiada anteriormente y revisando las restricciones de existencia en los números reales.

Objetivo de aprendizaje

Aplicar la propiedad de división de radicales de igual índice para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo conviene simplificar, cuándo aparece valor absoluto, cuándo el denominador no puede ser cero y cuándo una expresión no existe en los números reales.

Recuerdo y activación previa

Repaso: cancelación ya estudiada

\[ \sqrt{6^2}=6 \qquad \sqrt[3]{(-2)^3}=-2 \]

\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]

\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]

Recuerda: en índice par aparece valor absoluto; en índice impar, el signo se conserva.

Observación

En algunos ejercicios, después de dividir los radicandos, puede aparecer una raíz que necesite simplificarse.

Propiedad fundamental

Cuando dos radicales tienen el mismo índice, se pueden reunir en una sola raíz dividiendo sus radicandos:

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

Esta propiedad se usa con \(b\neq 0\), siempre que las raíces involucradas existan en los números reales y que el denominador completo sea distinto de cero.

Estrategia general

Verifica que los radicales tengan el mismo índice.
Comprueba que las raíces originales existan en \(\mathbb{R}\).
Revisa que el denominador sea distinto de cero.
Divide los radicandos dentro de una sola raíz.
Simplifica el radicando si aparece una potencia perfecta.
Aplica la cancelación ya estudiada.
Si el índice es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.
Si las condiciones de existencia restringen el signo de una variable, úsalas para simplificar el valor absoluto cuando corresponda.

¿Por qué funciona esta propiedad?

Justificación breve

Supongamos que:

\[ p=\sqrt[n]{a} \qquad \text{y} \qquad q=\sqrt[n]{b} \]

Entonces, por definición de raíz:

\[ a=p^n \qquad \text{y} \qquad b=q^n. \]

Dividiendo ambas expresiones, con \(q\neq 0\):

\[ \frac{a}{b}=\frac{p^n}{q^n}=\left(\frac{p}{q}\right)^n. \]

Ahora tomamos raíz enésima:

\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{p}{q}. \]

Y como \(p=\sqrt[n]{a}\) y \(q=\sqrt[n]{b}\), resulta:

\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}. \]

Nota: decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para una demostración formal. En el contexto escolar, este nivel de detalle es suficiente.

Condición importante

La propiedad

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

solo puede usarse directamente en \(\mathbb{R}\) si las raíces originales existen y si el denominador no vale cero.

Por ejemplo,

\[ \frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}} \]

no existe en \(\mathbb{R}\), aunque al dividir los radicandos se obtenga \(\sqrt{4}\).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: división exacta

\[ \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{98}{2}} =\sqrt{49} =7. \]

Ejemplo 2: división que luego se simplifica

\[ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{24}{2}} =\sqrt{12} =2\sqrt{3}. \]

Ejemplo 3: índice impar con signo negativo

\[ \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} =\sqrt[3]{\frac{-81}{3}} =\sqrt[3]{-27} =-3. \]

Como el índice es impar, el signo negativo se conserva.

Ejemplo 4: factores literales con índice impar

\[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}} = \sqrt[3]{\frac{m^7n^5}{m^4n^2}} \]

Al dividir potencias de igual base, se restan los exponentes:

\[ \sqrt[3]{m^{7-4}n^{5-2}} = \sqrt[3]{m^3n^3}. \]

Como el índice es impar:

\[ \sqrt[3]{m^3n^3}=mn. \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}}=mn, \qquad \text{con } mn\neq 0. \]

Ejemplo 5: factores literales con índice par

Consideremos:

\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}. \]

Para que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x^5\ge 0\) y \(x^3>0\), porque el denominador no puede ser cero. Por lo tanto, \(x>0\).

Ahora dividimos los radicandos:

\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}} = \sqrt{\frac{x^5}{x^3}} = \sqrt{x^2} = |x|. \]

Como en esta expresión \(x>0\), entonces \(|x|=x\). Por lo tanto:

\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}=x, \qquad \text{con } x>0. \]

Ejemplo 6: cuando el valor absoluto se simplifica

\[ \frac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}} = \sqrt[6]{\frac{m^9n^8}{m^3n^2}} = \sqrt[6]{m^6n^6} = |mn|. \]

Si además sabemos que \(m\) y \(n\) son positivos, entonces \(mn>0\) y el resultado puede escribirse como:

\[ |mn|=mn. \]

Observación de dominio

En expresiones como

\[ \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}}, \]

además de revisar la existencia de las raíces, debe cumplirse que el denominador no sea cero. Como \(\sqrt{y^2}=|y|\), se necesita \(y\neq 0\).

Por eso:

\[ \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}}=\frac{|x|}{|y|} \qquad \text{con } y\neq 0. \]

Guía de ejercicios

Ejercicios de aplicación

Simplifica cada expresión. Cuando corresponda, indica la condición de existencia en \(\mathbb{R}\).

\(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt[5]{-16}}{\sqrt[5]{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[5]{-96}}{\sqrt[5]{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{x^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-16x^7}}{\sqrt[3]{2x^4}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{-m^4n^5}}{\sqrt[3]{mn^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[5]{-96a^8b^6}}{\sqrt[5]{3a^3b}}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{y^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{49x^2}}{\sqrt{x^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{9x^2y^4}}{\sqrt{y^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}}\)
¿Existe \(\dfrac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.

\[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5. \]
\[ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \]
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5. \]
\[ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3. \]
\[ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{54}{6}} = \sqrt{9} = 3. \]
\[ \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4. \]
\[ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2. \]
\[ \frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3. \]
\[ \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{24}{6}} = \sqrt[3]{4}. \]
\[ \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{-81}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3. \]
\[ \frac{\sqrt[5]{-16}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{-16}{2}} = \sqrt[5]{-8}. \]
\[ \frac{\sqrt[5]{-96}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{-96}{3}} = \sqrt[5]{-32} = -2. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x>0\).

\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}} = \sqrt{\frac{x^5}{x^3}} = \sqrt{x^2} = |x|. \]

Como \(x>0\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}=x. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(x\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{9x^4}{x^2}} = \sqrt{9x^2} = 3|x|. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a>0\), porque el radicando del denominador \(5ab^2\) debe ser positivo. Además, esto hace que \(b\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}} = \sqrt{\frac{20a^3b^4}{5ab^2}} = \sqrt{4a^2b^2} = 2|ab|. \]

Como \(a>0\), entonces \(|ab|=a|b|\). Por lo tanto:

\[ \frac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}}=2a|b|. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x>0\), porque el denominador \(\sqrt{2x}\) debe existir y no puede ser cero.

\[ \frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}} = \sqrt{\frac{18x^3}{2x}} = \sqrt{9x^2} = 3|x|. \]

Como \(x>0\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}}=3x. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}} = \sqrt[3]{m^{7-4}n^{5-2}} = \sqrt[3]{m^3n^3} = mn. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(x\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt[3]{-16x^7}}{\sqrt[3]{2x^4}} = \sqrt[3]{\frac{-16x^7}{2x^4}} = \sqrt[3]{-8x^3} = -2x. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt[3]{-m^4n^5}}{\sqrt[3]{mn^2}} = \sqrt[3]{\frac{-m^4n^5}{mn^2}} = \sqrt[3]{-m^3n^3} = -mn. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(ab\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt[5]{-96a^8b^6}}{\sqrt[5]{3a^3b}} = \sqrt[5]{\frac{-96a^8b^6}{3a^3b}} = \sqrt[5]{-32a^5b^5} = -2ab. \]
Debe cumplirse \(y\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{y^2}=|y|\) no puede ser cero.

\[ \frac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{y^2}} = \frac{|xy|}{|y|} = |x|. \]
Debe cumplirse \(x\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{x^2}=|x|\) no puede ser cero.

\[ \frac{\sqrt{49x^2}}{\sqrt{x^2}} = \frac{7|x|}{|x|} = 7. \]
Debe cumplirse \(y\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{y^2}=|y|\) no puede ser cero.

\[ \frac{\sqrt{9x^2y^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{3|xy^2|}{|y|} = \frac{3|x|y^2}{|y|} = 3|x||y|. \]

También se puede obtener así:

\[ \sqrt{\frac{9x^2y^4}{y^2}} = \sqrt{9x^2y^2} = 3|xy| = 3|x||y|. \]
El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

\[ \frac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}} = \sqrt[6]{m^6n^6} = |mn|. \]
No existe en \(\mathbb{R}\).

\(\sqrt{-8}\) y \(\sqrt{-2}\) no existen en los números reales porque son raíces de índice par con radicando negativo.

Por eso no se puede aplicar la propiedad en este caso.

Ejercicios guiados

Completa el radicando que falta para que se cumpla la igualdad:

\(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{\square}}=\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{\square}}=\sqrt{5}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{\square}}=\sqrt[3]{2}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{\square}}=\sqrt[4]{3}\)

Ejercicio de atención

Analiza la siguiente expresión:

\[ \frac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^5}}=x \]

¿Es correcta? Justifica.

Resumen final

Ideas clave

La propiedad de división de radicales exige que ambos radicales tengan el mismo índice.
En una división de radicales, el denominador debe ser distinto de cero.
Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
Después de dividir, puede ser necesario simplificar la raíz resultante.
Antes de aplicar la propiedad, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).
Las restricciones de existencia pueden permitir simplificar valores absolutos.

Ticket de salida

Responde en tu cuaderno:

¿Qué condición deben cumplir dos radicales para poder dividirse dentro de una sola raíz?
¿Qué otra condición importante debe cumplir el denominador?
Calcula mentalmente: \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\).