7. Raíz de una raíz y extracción de factores

Raíz de una raíz

Presentación

En esta guía aprenderás a simplificar expresiones donde una raíz aparece dentro de otra, reuniéndolas en una sola raíz y aplicando correctamente la multiplicación de índices.

Objetivo de aprendizaje

Aplicar la propiedad de raíz de una raíz para transformar expresiones numéricas y algebraicas en una sola raíz, simplificando resultados y revisando sus condiciones de existencia en los números reales.

Recuerdo y activación previa

Repaso: raíces ya estudiadas

\[ \sqrt{16}=4 \qquad \sqrt[3]{27}=3 \]

\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]

\[ \sqrt[4]{16}=2 \qquad \sqrt[6]{64}=2 \]

Recuerda: si una raíz aparece dentro de otra, el objetivo será reunirlas en una sola raíz cuando la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).

Propiedad fundamental

Cuando una raíz está dentro de otra, se pueden reunir en una sola raíz multiplicando sus índices:

\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a} \]

Es decir, raíz de una raíz = una sola raíz cuyo índice es el producto de los índices, siempre que la expresión original exista en los números reales.

Estrategia general

Observa el índice de cada raíz.
Comprueba que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\), empezando por la raíz interior.
Multiplica los índices.
Escribe una sola raíz con ese nuevo índice.
Simplifica si el radicando contiene una potencia perfecta.
Si el índice final es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.

¿Por qué funciona esta propiedad?

Justificación breve

Sabemos que una raíz puede escribirse como potencia fraccionaria:

\[ \sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{m}}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}}. \]

Ahora multiplicamos exponentes:

\[ \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{mn}}. \]

Y eso equivale a:

\[ a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[mn]{a}. \]

Por tanto:

\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}. \]

Nota: decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para que sea una demostración formal. En el contexto escolar, este nivel de detalle es suficiente.

Condición importante

Antes de reunir una raíz de otra raíz en una sola, debes revisar que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).

Por ejemplo,

\[ \sqrt[3]{\sqrt{-8}} \]

no existe en \(\mathbb{R}\), porque la raíz interior \(\sqrt{-8}\) no existe en los números reales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: raíces cuadradas sucesivas

\[ \sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[2\cdot 2]{81} = \sqrt[4]{81} = 3. \]

Se multiplican los índices: \(2\cdot 2=4\).

Ejemplo 2: distintos índices

\[ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3\cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2. \]

Se multiplican los índices: \(3\cdot 2=6\).

Ejemplo 3: índice impar

\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}} = \sqrt[9]{-512} = -2. \]

Como el índice final es impar, la raíz de un número negativo existe y conserva el signo.

Ejemplo 4: índice par

\[ \sqrt{\sqrt[3]{x^6}} = \sqrt[6]{x^6} = |x|. \]

Como el índice final es par, aparece valor absoluto.

Ejemplo 5: cuando el valor absoluto se simplifica

\[ \sqrt{\sqrt{x^8}} = \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2|. \]

Pero \(x^2\ge 0\), por lo tanto:

\[ |x^2|=x^2. \]

Así, el resultado final es:

\[ \sqrt{\sqrt{x^8}}=x^2. \]

Ejemplo 6: con coeficiente numérico

\[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}} = \sqrt[6]{729x^6}. \]

Como \(729=3^6\), entonces:

\[ \sqrt[6]{729x^6} = \sqrt[6]{3^6x^6} = 3|x|. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}}=3|x|. \]

Observación de dominio

La expresión original debe existir paso a paso.

Por ejemplo, en \(\sqrt{\sqrt{x}}\), primero debe existir \(\sqrt{x}\), así que se requiere:

\[ x\ge 0. \]

Guía de ejercicios

Ejercicios de aplicación

Simplifica cada expresión cuando sea posible. Si corresponde, indica restricciones de existencia en \(\mathbb{R}\).

\(\sqrt{\sqrt{16}}\)
\(\sqrt{\sqrt{81}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{64}}\)
\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}\)
\(\sqrt[5]{\sqrt{32}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}}\)
\(\sqrt{\sqrt[3]{x^6}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{x^6}}\)
\(\sqrt{\sqrt{x^8}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{15}}}\)
\(\sqrt{\sqrt[4]{x^8}}\)
\(\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{729x^6}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{12}}}\)
\(\sqrt[5]{\sqrt{x^{10}}}\)
\(\sqrt{\sqrt[5]{x^{10}}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^6}}\)
\(\sqrt{\sqrt{x^4y^4}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt[3]{-64}}\)
\(\sqrt{\sqrt[3]{64x^6}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{64x^6}}\)
\(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}\)
\(\sqrt{\sqrt[5]{10}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^3}}\)
¿Existe \(\sqrt{\sqrt{-4x^2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.

\[ \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2. \]
\[ \sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[4]{81} = 3. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2. \]
\[ \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2. \]
\[ \sqrt[5]{\sqrt{32}} = \sqrt[10]{32}. \]

Como \(32=2^5\), no se simplifica como raíz exacta de índice \(10\).
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}} = \sqrt[9]{-512}. \]

Como \((-2)^9=-512\), entonces:

\[ \sqrt[9]{-512}=-2. \]
\[ \sqrt{\sqrt[3]{x^6}} = \sqrt[6]{x^6} = |x|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6}} = \sqrt[6]{x^6} = |x|. \]
\[ \sqrt{\sqrt{x^8}} = \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{15}}} = \sqrt[15]{x^{15}} = x. \]

Como el índice final es impar, no aparece valor absoluto.
\[ \sqrt{\sqrt[4]{x^8}} = \sqrt[8]{x^8} = |x|. \]
\[ \sqrt[4]{\sqrt{x^8}} = \sqrt[8]{x^8} = |x|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}} = \sqrt[6]{729x^6} = 3|x|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{12}}} = \sqrt[12]{x^{12}} = |x|. \]
\[ \sqrt[5]{\sqrt{x^{10}}} = \sqrt[10]{x^{10}} = |x|. \]
\[ \sqrt{\sqrt[5]{x^{10}}} = \sqrt[10]{x^{10}} = |x|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^6}} = \sqrt[6]{x^6y^6} = |xy|. \]
\[ \sqrt{\sqrt{x^4y^4}} = \sqrt[4]{x^4y^4} = |xy|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-64}} = \sqrt[9]{-64}. \]

Esta raíz existe en \(\mathbb{R}\), porque el índice final es impar, pero no es una raíz exacta entera.
\[ \sqrt{\sqrt[3]{64x^6}} = \sqrt[6]{64x^6}. \]

Como \(64=2^6\), entonces:

\[ \sqrt[6]{64x^6}=2|x|. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{64x^6}} = \sqrt[6]{64x^6} = 2|x|. \]
\[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[12]{x}. \]

Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(\sqrt[3]{x}\ge 0\), por lo tanto \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{\sqrt[5]{10}} = \sqrt[10]{10}. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^3}} = \sqrt[6]{x^6y^3}. \]

Para que la raíz interior exista, se necesita \(x^6y^3\ge 0\). Si \(x\neq 0\), esto equivale a \(y\ge 0\); si \(x=0\), la expresión existe porque el radicando interior vale \(0\).
En \(\mathbb{R}\), la raíz interior \(\sqrt{-4x^2}\) debe existir primero.

Como \(x^2\ge 0\), entonces:

\[ -4x^2\le 0. \]

La raíz \(\sqrt{-4x^2}\) existe solo cuando:

\[ -4x^2=0. \]

Esto ocurre únicamente cuando \(x=0\).

Por tanto, \(\sqrt{\sqrt{-4x^2}}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).

Ejercicios guiados

Completa el índice que falta para que las expresiones sean equivalentes:

\(\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
\(\sqrt{\sqrt[5]{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
\(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[\square]{x}\)

Ejercicio de atención

Analiza la siguiente expresión:

\[ \sqrt{\sqrt{x^2}}=x \]

¿Es correcta? Justifica.

Resumen final

Ideas clave

Una raíz de otra raíz se puede escribir como una sola raíz.
El nuevo índice se obtiene multiplicando los índices.
Después de reunir las raíces, puede ser posible simplificar usando cancelación.
Si el índice final es par, puede aparecer valor absoluto.
Antes de simplificar, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).

Ticket de salida

Responde en tu cuaderno:

¿Qué ocurre con los índices en una raíz de otra raíz?
¿Por qué \(\sqrt{\sqrt[3]{x^6}}=|x|\)?
Calcula mentalmente: \(\sqrt{\sqrt{81}}\).