Libro de las Raices
4. Cancelacion de raices y potencias
Cancelación en raíces y factores literales
Presentación
En esta guía aprenderás a simplificar raíces cuando el índice y el exponente se relacionan directamente, distinguiendo correctamente entre índices pares e impares, el uso del valor absoluto y las restricciones de existencia en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar la cancelación entre raíces y potencias para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Idea fundamental
Cuando una raíz contiene una potencia del mismo índice, se produce una cancelación:
\[ \sqrt[n]{x^n} \]
Pero el resultado no siempre es el mismo. Depende de si el índice es par o impar.
Estrategia general
- Observa el índice de la raíz.
- Compara ese índice con el exponente de la potencia.
- Si coinciden, aplica la cancelación.
- Si el índice es impar, el signo se conserva.
- Si el índice es par, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Recuerdo y activación previa
Repaso 1: potencias y raíces exactas
\[ \sqrt{4}=2 \qquad \sqrt{9}=3 \qquad \sqrt{25}=5 \]
\[ \sqrt[3]{8}=2 \qquad \sqrt[3]{27}=3 \qquad \sqrt[3]{125}=5 \]
Repaso 2: elevar antes de sacar raíz
\[ 2^2=4 \qquad (-2)^2=4 \]
\[ 2^3=8 \qquad (-2)^3=-8 \]
Este contraste será clave para entender por qué en índice par aparece valor absoluto y en índice impar no.
¿Qué significa cancelar?
Justificación breve
Cuando una raíz y una potencia tienen el mismo índice y el mismo exponente, se “deshacen” entre sí.
Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x \]
porque la raíz cúbica y el cubo son operaciones inversas.
Sin embargo, en índice par hay que tener cuidado, porque al elevar al cuadrado o a otra potencia par se pierde información sobre el signo.
Nota: en esta guía trabajaremos esta idea en su forma escolar. Más adelante puede estudiarse con mayor formalidad.
Teoría sobre factores literales
Cancelación con índice impar
Si el índice es impar, se cumple:
\[ \sqrt[n]{x^n}=x \qquad \text{si \(n\) es impar.} \]
Antes de ver ejemplos algebraicos
Conviene observar qué ocurre con el signo, dependiendo de si entra \(2\) o \(-2\):
- \(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\).
- \(\sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2\).
En una raíz de índice impar, el signo se conserva.
Idea visual: si entra \(x\), sale \(x\).
Ejemplos con índice impar
- \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
- \(\sqrt[5]{x^5}=x\).
- \(\sqrt[3]{(-5)^3}=\sqrt[3]{-125}=-5\).
- \(\sqrt[3]{8x^3}=2x\).
- \(\sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy\).
Cancelación con índice par
Si el índice es par, se cumple:
\[ \sqrt[n]{x^n}=|x| \qquad \text{si \(n\) es par.} \]
Antes de ver ejemplos algebraicos
Conviene observar qué ocurre con el signo ahora:
- \(\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2\).
- \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\).
En una raíz de índice par, el resultado siempre es positivo o cero.
Idea visual: si entra \(x\), sale su valor absoluto.
Ejemplos con índice par
- \(\sqrt{x^2}=|x|\).
- \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\).
- \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\).
- \(\sqrt{4x^2}=2|x|\).
- \(\sqrt{4x^2y^2}=2|x||y|\).
¿Por qué aparece el valor absoluto?
Porque la raíz de índice par, cuando existe en los números reales, siempre es positiva o cero.
Por eso:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
y no simplemente \(x\), ya que aunque \(x\) fuera negativo, la raíz nunca saldría negativa.
Definición de valor absoluto
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\ge 0\\ -x & \text{si } x<0 \end{cases} \]
En palabras simples: si el número es positivo o cero, queda igual; si es negativo, se escribe positivo.
Error típico
No olvides que:
\[ \sqrt{x^2}\neq x \quad \text{en general.} \]
Lo correcto es:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Condición importante
En los números reales, una raíz de índice par solo existe si el radicando es mayor o igual que cero.
Por ejemplo, \(\sqrt{-4x^2}\) no existe en \(\mathbb{R}\) para \(x\neq 0\), porque \(-4x^2\) será negativo.
Solo existe cuando \(x=0\), ya que en ese caso el radicando vale \(0\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: índice impar
\[ \sqrt[3]{27x^3} =\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{x^3} \]
Como \(3^3=27\) y el índice es impar, \(\sqrt[3]{x^3}=x\). Entonces:
\[ \sqrt[3]{27x^3}=3x. \]
Ejemplo 2: índice par
\[ \sqrt{64x^2} =\sqrt{64}\cdot\sqrt{x^2} \]
Como \(\sqrt{64}=8\) y el índice es par, \(\sqrt{x^2}=|x|\). Entonces:
\[ \sqrt{64x^2}=8|x|. \]
Ejemplo 3: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \]
Como el índice es par:
\[ \sqrt[4]{(x^2)^4}=|x^2|. \]
Pero \(x^2\ge 0\) para todo número real, por lo tanto:
\[ |x^2|=x^2. \]
Así, el resultado final es:
\[ \sqrt[4]{x^8}=x^2. \]
Observación de dominio
En expresiones como \(\sqrt{x^2}\), \(\sqrt{4x^2}\) o \(\sqrt{9x^2y^2}\), el radicando siempre es mayor o igual que cero.
Pero en expresiones como \(\sqrt{-4x^2}\), la raíz solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando el radicando vale \(0\).
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
Simplifica cada expresión. Cuando corresponda, usa valor absoluto.
- \(\sqrt{x^2}\)
- \(\sqrt{9x^2}\)
- \(\sqrt[3]{x^3}\)
- \(\sqrt[3]{8x^3}\)
- \(\sqrt[3]{27x^3}\)
- \(\sqrt[5]{x^5}\)
- \(\sqrt{4x^2}\)
- \(\sqrt{16x^2}\)
- \(\sqrt{25x^2}\)
- \(\sqrt[3]{64x^3}\)
- \(\sqrt[3]{-8x^3}\)
- \(\sqrt[3]{-27x^3}\)
- \(\sqrt{x^2y^2}\)
- \(\sqrt{4x^2y^2}\)
- \(\sqrt{9x^2y^2}\)
- \(\sqrt[3]{x^3y^3}\)
- \(\sqrt[3]{8x^3y^3}\)
- \(\sqrt[3]{-8x^3y^3}\)
- \(\sqrt[4]{x^4}\)
- \(\sqrt[4]{16x^4}\)
- \(\sqrt[4]{x^8}\)
- \(\sqrt[6]{x^6}\)
- \(\sqrt{(-3)^2}\)
- \(\sqrt[3]{(-2)^3}\)
- ¿Existe \(\sqrt{-4x^2}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
-
Como el índice es par:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
-
Separamos el factor numérico y el literal:
\[ \sqrt{9x^2}=3|x|. \]
-
Como el índice es impar, el signo se conserva:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
-
\[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
porque \(2^3=8\) y \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
-
\[ \sqrt[3]{27x^3}=3x \]
porque \(3^3=27\).
-
Como el índice es impar:
\[ \sqrt[5]{x^5}=x. \]
-
\[ \sqrt{4x^2}=2|x|. \]
-
\[ \sqrt{16x^2}=4|x|. \]
-
\[ \sqrt{25x^2}=5|x|. \]
-
\[ \sqrt[3]{64x^3}=4x \]
porque \(4^3=64\).
-
\[ \sqrt[3]{-8x^3}=-2x \]
porque \((-2)^3=-8\) y el índice es impar.
-
\[ \sqrt[3]{-27x^3}=-3x \]
porque \((-3)^3=-27\).
-
\[ \sqrt{x^2y^2}=\sqrt{(xy)^2}=|xy|. \]
-
\[ \sqrt{4x^2y^2}=2|xy|. \]
También puede escribirse como \(2|x||y|\), ya que \(|xy|=|x||y|\).
-
\[ \sqrt{9x^2y^2}=3|xy|. \]
También puede escribirse como \(3|x||y|\).
-
Como el índice es impar:
\[ \sqrt[3]{x^3y^3}=xy. \]
-
\[ \sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy. \]
-
\[ \sqrt[3]{-8x^3y^3}=-2xy. \]
-
Como el índice es par:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
-
\[ \sqrt[4]{16x^4}=2|x| \]
porque \(2^4=16\) y \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\).
-
\[ \sqrt[4]{x^8}=\sqrt[4]{(x^2)^4}=|x^2|=x^2. \]
-
Como el índice es par:
\[ \sqrt[6]{x^6}=|x|. \]
-
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3. \]
-
\[ \sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2. \]
-
En \(\mathbb{R}\), una raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que \(0\).
Como \(x^2\ge 0\), entonces:
\[ -4x^2\le 0. \]
La expresión \(-4x^2\) es negativa para todo \(x\neq 0\), y vale \(0\) solo cuando \(x=0\).
Por tanto, \(\sqrt{-4x^2}\) no existe en \(\mathbb{R}\) para \(x\neq 0\), y solo existe cuando \(x=0\).
Ejercicios guiados
Completa el espacio en blanco para que la cancelación sea correcta:
- \(\sqrt{\square^2}=|\square|\)
- \(\sqrt[3]{\square^3}=\square\)
- \(\sqrt{9x^2}=3\cdot \square\)
- \(\sqrt[3]{8x^3}=2\cdot \square\)
-
Si usamos \(x\), queda:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Aparece valor absoluto porque el índice es par.
-
Si usamos \(x\), queda:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
No aparece valor absoluto porque el índice es impar.
-
Como \(\sqrt{9}=3\) y \(\sqrt{x^2}=|x|\):
\[ \sqrt{9x^2}=3|x|. \]
Por lo tanto, el espacio se completa con \(|x|\).
-
Como \(\sqrt[3]{8}=2\) y \(\sqrt[3]{x^3}=x\):
\[ \sqrt[3]{8x^3}=2x. \]
Por lo tanto, el espacio se completa con \(x\).
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{x^2}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Esto ocurre porque en una raíz de índice par la salida siempre es positiva o cero.
Por ejemplo, si \(x=-5\), entonces:
\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5, \]
pero \(x=-5\). Por eso no sería correcto afirmar que \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Resumen final
Ideas clave
- Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
- Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
- En índice par, la raíz nunca sale negativa.
- Antes de simplificar una raíz par, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Qué diferencia principal hay entre \(\sqrt{x^2}\) y \(\sqrt[3]{x^3}\)?
- ¿Por qué en \(\sqrt{x^2}\) aparece valor absoluto?
- Calcula mentalmente: \(\sqrt[3]{-27}\).
-
La diferencia principal es que \(\sqrt{x^2}\) tiene índice par, mientras que \(\sqrt[3]{x^3}\) tiene índice impar.
Por eso:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \text{pero} \qquad \sqrt[3]{x^3}=x. \]
-
Aparece valor absoluto porque la raíz de índice par, cuando existe en los números reales, siempre entrega un resultado positivo o cero.
-
\[ \sqrt[3]{-27}=-3 \]
porque:
\[ (-3)^3=-27. \]