Libro de las Raices
8. Introducir y Extraer Factores en una Raíz
Introducir y extraer factores en una raíz
Presentación
En esta guía aprenderás a introducir factores dentro de una raíz y a extraerlos cuando el radicando contiene potencias convenientes, simplificando expresiones numéricas y algebraicas.
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar las propiedades de introducción y extracción de factores en radicales para transformar y simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso: cancelación ya estudiada
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
\[ \sqrt[4]{x^8}=x^2 \qquad \sqrt[6]{x^6}=|x| \]
Recuerda: extraer un factor consiste en usar esta cancelación de manera organizada.
Idea fundamental
Un factor puede entrar a una raíz si se eleva al índice de esa raíz, y puede salir de una raíz si dentro aparece elevado a una potencia igual al índice.
Propiedades fundamentales
Introducir un factor:
\[ a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b} \]
Esta forma se usa directamente si \(n\) es impar. Si \(n\) es par, se usa directamente cuando el factor que entra es no negativo.
Extraer un factor:
\[ \sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\sqrt[n]{b} \]
Si \(n\) es impar. En cambio, si \(n\) es par:
\[ \sqrt[n]{a^n\cdot b}=|a|\sqrt[n]{b}. \]
Estrategia general
- Observa el índice de la raíz.
- Si un factor va a entrar, elévalo a ese índice.
- Si el índice es par, verifica si el factor que entra es no negativo.
- Si un factor va a salir, verifica que dentro esté elevado a una potencia igual o múltiplo del índice.
- Si el índice es par y sale una letra, recuerda usar valor absoluto cuando corresponda.
- Comprueba que la expresión exista en \(\mathbb{R}\).
¿Por qué funciona esta propiedad?
Justificación breve
Sabemos que:
\[ \sqrt[n]{a^n}=a \]
si el índice es impar, y
\[ \sqrt[n]{a^n}=|a| \]
si el índice es par.
Entonces, si un factor no negativo está fuera de una raíz de índice par, puede entrar elevado al índice:
\[ a=\sqrt[n]{a^n} \qquad \text{si } a\ge 0. \]
Por eso:
\[ a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}. \]
De forma inversa, si dentro de la raíz aparece una potencia del mismo índice, puede extraerse.
Nota: en esta guía trabajaremos estas propiedades en su forma escolar. Más adelante pueden estudiarse con mayor formalidad.
Condición importante
Cuando el índice es par, la raíz solo existe en \(\mathbb{R}\) si el radicando es mayor o igual que cero.
Además, al extraer letras desde una raíz de índice par, puede aparecer valor absoluto.
Introducir factores
Ejemplo 1: introducir un número en una raíz cuadrada
\[ 5\sqrt{2} \]
Como el índice es \(2\), el \(5\) entra elevado al cuadrado:
\[ 5\sqrt{2} = \sqrt{5^2\cdot 2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}. \]
Ejemplo 2: introducir un número en una raíz cúbica
\[ 2\sqrt[3]{4} \]
Como el índice es \(3\), el \(2\) entra elevado al cubo:
\[ 2\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^3\cdot 4} = \sqrt[3]{8\cdot 4} = \sqrt[3]{32}. \]
Ejemplo 3: introducir un factor literal
\[ a\sqrt{b} \]
Si \(a\ge 0\) y \(b\ge 0\), el factor \(a\) puede entrar elevado al índice \(2\):
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}. \]
La condición \(a\ge 0\) es necesaria porque una raíz cuadrada representa un valor no negativo.
Extraer factores
Ejemplo 4: extracción numérica en raíz cuadrada
\[ \sqrt{50} \]
Buscamos un cuadrado perfecto:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{5^2\cdot 2} = 5\sqrt{2}. \]
Ejemplo 5: extracción numérica en raíz cúbica
\[ \sqrt[3]{24} \]
Buscamos un cubo perfecto:
\[ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = \sqrt[3]{2^3\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}. \]
Ejemplo 6: extracción con letras e índice par
\[ \sqrt{a^3} \]
Para que la expresión exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a^3\ge 0\), es decir, \(a\ge 0\).
Separamos:
\[ \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2\cdot a} = \sqrt{a^2}\sqrt{a} = |a|\sqrt{a}. \]
Como en esta expresión \(a\ge 0\), entonces \(|a|=a\). Por lo tanto:
\[ \sqrt{a^3}=a\sqrt{a}. \]
Ejemplo 7: extracción con varias letras
\[ \sqrt{x^5y^2} \]
Para que la raíz exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x^5y^2\ge 0\). Si \(y\neq 0\), esto exige \(x\ge 0\); si \(y=0\), el radicando vale \(0\).
Separamos potencias convenientes:
\[ \sqrt{x^5y^2} = \sqrt{x^4\cdot x\cdot y^2}. \]
Luego:
\[ \sqrt{x^5y^2} = \sqrt{x^4}\sqrt{x}\sqrt{y^2} = x^2|y|\sqrt{x}. \]
Ejemplo 8: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt{x^4} \]
Podemos escribir:
\[ \sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|. \]
Pero como \(x^2\ge 0\), se obtiene:
\[ |x^2|=x^2. \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt{x^4}=x^2. \]
Error típico
No siempre se puede sacar una letra sin valor absoluto.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{a^2}\neq a \quad \text{en general.} \]
Lo correcto es:
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Observación de dominio
En expresiones como \(\sqrt{a^3}\) o \(\sqrt{x^5y^2}\), la raíz cuadrada exige que el radicando sea mayor o igual que cero para trabajar en \(\mathbb{R}\).
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
Introduce o extrae factores según corresponda. Cuando sea necesario, indica condiciones de existencia en \(\mathbb{R}\).
- \(3\sqrt{2}\)
- \(2\sqrt[3]{5}\)
- \(4\sqrt{3}\)
- \(a\sqrt{b}\)
- \(x\sqrt[3]{y}\)
- \(\sqrt{50}\)
- \(\sqrt{27}\)
- \(\sqrt[3]{24}\)
- \(\sqrt[3]{54}\)
- \(\sqrt{72}\)
- \(\sqrt{a^3}\)
- \(\sqrt{x^5}\)
- \(\sqrt{x^5y^2}\)
- \(\sqrt{a^3b^4}\)
- \(\sqrt[3]{x^4}\)
- \(\sqrt[3]{x^7y^3}\)
- \(\sqrt{16x^2}\)
- \(\sqrt{36x^4}\)
- \(\sqrt[4]{16x^5}\)
- \(\sqrt[4]{81x^8}\)
- \(\sqrt{x^2y^4}\)
- \(\sqrt[3]{-54}\)
- \(\sqrt[3]{-16x^3}\)
- \(\sqrt{200}\)
- ¿Existe \(\sqrt{-18}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
-
\[ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2\cdot 2} = \sqrt{18}. \]
-
\[ 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3\cdot 5} = \sqrt[3]{40}. \]
-
\[ 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2\cdot 3} = \sqrt{48}. \]
-
Si \(a\ge 0\) y \(b\ge 0\), entonces:
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}. \]
-
Como el índice es impar:
\[ x\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x^3y}. \]
-
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. \]
-
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}. \]
-
\[ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}. \]
-
\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]
-
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}. \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a\ge 0\).
\[ \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2\cdot a} = |a|\sqrt{a} = a\sqrt{a}. \]
-
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).
\[ \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4\cdot x} = x^2\sqrt{x}. \]
-
\[ \sqrt{x^5y^2} = \sqrt{x^4\cdot x\cdot y^2} = x^2|y|\sqrt{x}. \]
La expresión existe cuando \(x^5y^2\ge 0\).
-
\[ \sqrt{a^3b^4} = \sqrt{a^2\cdot a\cdot b^4} = |a|b^2\sqrt{a}. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a^3b^4\ge 0\).
-
\[ \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3\cdot x} = x\sqrt[3]{x}. \]
-
\[ \sqrt[3]{x^7y^3} = \sqrt[3]{x^6\cdot x\cdot y^3} = x^2y\sqrt[3]{x}. \]
-
\[ \sqrt{16x^2} = 4|x|. \]
-
\[ \sqrt{36x^4} = 6\sqrt{(x^2)^2} = 6|x^2| = 6x^2. \]
-
\[ \sqrt[4]{16x^5} = \sqrt[4]{2^4\cdot x^4\cdot x} = 2|x|\sqrt[4]{x}. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\). Por eso también puede escribirse como:
\[ 2x\sqrt[4]{x}. \]
-
\[ \sqrt[4]{81x^8} = \sqrt[4]{3^4\cdot (x^2)^4} = 3|x^2| = 3x^2. \]
-
\[ \sqrt{x^2y^4} = \sqrt{x^2\cdot (y^2)^2} = |x|y^2. \]
-
\[ \sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{-27\cdot 2} = -3\sqrt[3]{2}. \]
-
\[ \sqrt[3]{-16x^3} = \sqrt[3]{-8\cdot 2\cdot x^3} = -2x\sqrt[3]{2}. \]
-
\[ \sqrt{200} = \sqrt{100\cdot 2} = 10\sqrt{2}. \]
-
No existe en \(\mathbb{R}\).
La raíz cuadrada solo existe en los números reales si el radicando es mayor o igual que \(0\).
Como \(-18<0\), entonces \(\sqrt{-18}\) no es un número real.
Ejercicios guiados
Completa la expresión que falta:
- \(5\sqrt{2}=\sqrt{\square}\)
- \(2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{\square}\)
- \(\sqrt{18}=\square\sqrt{2}\)
- \(\sqrt[3]{54}=\square\sqrt[3]{2}\)
-
El \(5\) entra a la raíz cuadrada como \(5^2=25\):
\[ 5\sqrt{2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}. \]
-
El \(2\) entra a la raíz cúbica como \(2^3=8\):
\[ 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = \sqrt[3]{24}. \]
-
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(18\):
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}. \]
-
Buscamos un cubo perfecto dentro de \(54\):
\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{a^2}=a \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Esto ocurre porque en una raíz de índice par el resultado siempre es positivo o cero.
Por ejemplo, si \(a=-4\):
\[ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4, \]
pero \(a=-4\). Por eso no es correcto afirmar que \(\sqrt{a^2}=a\) para todo número real.
Resumen final
Ideas clave
- Un factor entra a una raíz elevándose al índice.
- Un factor sale de una raíz si dentro aparece elevado al mismo índice.
- Introducir y extraer factores son procesos inversos.
- En índice par, al extraer letras, puede aparecer valor absoluto.
- Antes de simplificar, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Qué debe ocurrir con un factor para poder salir de una raíz?
- ¿Cómo entra un \(3\) en una raíz cuadrada?
- Simplifica mentalmente: \(\sqrt{75}\).
-
Debe estar elevado a una potencia igual al índice de la raíz. Por ejemplo:
\[ \sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b} \]
si se trata de una raíz cuadrada.
-
Entra como \(3^2\), porque la raíz cuadrada tiene índice \(2\):
\[ 3\sqrt{b} = \sqrt{3^2b} = \sqrt{9b}, \]
si \(3\sqrt{b}\) existe en \(\mathbb{R}\).
-
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}. \]