Raices
11. Racionalización
Racionalización
En esta guía aprenderás a transformar fracciones con raíces en el denominador en fracciones equivalentes sin radicales abajo, aplicando correctamente las propiedades de multiplicación y el uso del conjugado cuando sea necesario.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar técnicas de racionalización para eliminar raíces del denominador en expresiones numéricas y algebraicas, distinguiendo entre denominadores con un solo término y denominadores binomios con raíces.
Recuerdo y activación previa
Repaso: multiplicación de raíces ya estudiada
\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=2 \]
\[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{9}=3 \]
\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a \qquad \text{si } a\ge 0 \]
La idea de racionalizar consiste en multiplicar por una expresión conveniente que haga desaparecer la raíz del denominador.
Repaso: producto notable importante
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
Este producto será clave cuando el denominador tenga dos términos con raíces.
Racionalizar significa transformar una fracción en otra equivalente cuyo denominador no tenga raíces.
No cambiamos el valor de la fracción: solo cambiamos su forma.
- Observa cómo es el denominador.
- Si tiene un solo radical, multiplica por la misma raíz.
- Si tiene dos términos con una raíz, usa el conjugado.
- Multiplica numerador y denominador por la misma expresión.
- Simplifica el resultado final.
¿Por qué funciona la racionalización?
Si multiplicamos numerador y denominador por la misma cantidad distinta de cero, el valor de la fracción no cambia.
Por ejemplo:
\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \qquad \text{si } c\neq 0 \]
La racionalización consiste en elegir ese factor \(c\) de modo que el denominador se vuelva racional, es decir, sin raíces.
Nota: En esta guía trabajaremos esta idea en su forma escolar. Más adelante puede estudiarse con mayor formalidad.
Racionalización de denominadores simples
Si el denominador tiene una sola raíz cuadrada, se multiplica por esa misma raíz:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} =\frac{a\sqrt{b}}{b} \]
Ejemplo 1: denominador con una raíz
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Multiplicamos arriba y abajo por \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Ejemplo 2: con coeficiente en el numerador
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]
\[ \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} =\frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Ejemplo 3: raíz cúbica en el denominador
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]
Necesitamos completar una potencia cúbica en el denominador. Como \(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2\), multiplicamos por \(\sqrt[3]{4}\):
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} =\frac{\sqrt[3]{4}}{2} \]
Racionalizar no es multiplicar solo el denominador.
Siempre debes multiplicar numerador y denominador por la misma expresión para no cambiar el valor de la fracción.
Racionalización con conjugado
Si el denominador tiene dos términos, por ejemplo \(a+\sqrt{b}\) o \(a-\sqrt{b}\), se usa el conjugado:
\[ a+\sqrt{b} \qquad \longleftrightarrow \qquad a-\sqrt{b} \]
porque al multiplicarlos se obtiene una diferencia de cuadrados:
\[ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b \]
Ejemplo 4: racionalización con conjugado
\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}} \]
El conjugado del denominador es \(2-\sqrt{3}\). Entonces:
\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} =\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \]
Aplicamos diferencia de cuadrados:
\[ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1 \]
Por tanto:
\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \]
Ejemplo 5: otro binomio con raíz
\[ \frac{3}{1-\sqrt{2}} \]
Usamos el conjugado \(1+\sqrt{2}\):
\[ \frac{3}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} =\frac{3(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} \]
\[ (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=1-2=-1 \]
Entonces:
\[ \frac{3(1+\sqrt{2})}{-1}=-3-3\sqrt{2} \]
Ejemplo 6: con literales
\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}} \]
El conjugado es \(x-\sqrt{y}\):
\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot \frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} =\frac{x-\sqrt{y}}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})} \]
\[ (x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})=x^2-y \]
Por tanto:
\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}=\frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y} \]
El conjugado cambia el signo del segundo término, pero mantiene el primero igual.
Por ejemplo:
\[ 3+\sqrt{5}\;\;\text{y}\;\;3-\sqrt{5} \]
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\)
- \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\)
- \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\)
- \(\dfrac{5}{\sqrt{7}}=\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}=\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\)
- \(\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\)
- \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\)
- \(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\)
- \(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}=\)
- \(\dfrac{3}{1-\sqrt{2}}=\)
- \(\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}=\)
- \(\dfrac{4}{2-\sqrt{7}}=\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\)
- \(\dfrac{2}{\sqrt{a}}=\)
- \(\dfrac{1}{x+\sqrt{y}}=\)
- \(\dfrac{1}{x-\sqrt{y}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\)
- \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)
- \(\dfrac{5}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\)
- \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\)
- ¿Se puede racionalizar \(\dfrac{1}{\sqrt{-2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
- \[ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
- \[ \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5} \]
- \[ \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
- \[ \frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3} \]
- \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \]
- \[ \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2 \]
- \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \]
- \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} \]
- \[ \frac{3}{1+\sqrt{2}}=-3+3\sqrt{2} \]
- \[ \frac{3}{1-\sqrt{2}}=-3-3\sqrt{2} \]
- \[ \frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \]
- \[ \frac{4}{2-\sqrt{7}}=\frac{4(2+\sqrt{7})}{4-7}=-\frac{4(2+\sqrt{7})}{3} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x} \qquad \text{con } x>0 \]
- \[ \frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a} \qquad \text{con } a>0 \]
- \[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}=\frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y} \]
- \[ \frac{1}{x-\sqrt{y}}=\frac{x+\sqrt{y}}{x^2-y} \]
- \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{xy}}{y} \qquad \text{con } y>0 \]
- \[ \frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y} \]
- \[ \frac{5}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{5(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x} \qquad \text{con } x\neq 0 \]
- \[ \frac{2}{\sqrt[3]{x}}=\frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} \qquad \text{con } x\neq 0 \]
- \[ \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{1} =2\sqrt{3}-3 \]
-
No se puede racionalizar en \(\mathbb{R}\).
La expresión \(\sqrt{-2}\) no existe en los números reales, porque es una raíz cuadrada de un número negativo.
Por tanto, la fracción \(\dfrac{1}{\sqrt{-2}}\) no está definida en \(\mathbb{R}\).
Ejercicios guiados
Completa la expresión que falta para racionalizar:
- \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
- \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
- \(\dfrac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
- \[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
- \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} \]
- \[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{5} \]
¿Es correcta? Justifica.
No es correcta.
No se pueden sumar directamente \(2\) y \(\sqrt{3}\) para convertir el denominador en \(5\).
Lo correcto es racionalizar usando el conjugado:
\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \]
Resumen final
- Racionalizar significa eliminar raíces del denominador sin cambiar el valor de la fracción.
- Si el denominador tiene una sola raíz, se multiplica por esa misma raíz o por el factor que complete la potencia del índice.
- Si el denominador tiene dos términos con raíces, se usa el conjugado.
- Siempre se multiplica numerador y denominador por la misma expresión.
- Antes de racionalizar, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué significa racionalizar una fracción?
- ¿Qué se usa para racionalizar \(a+\sqrt{b}\)?
- Racionaliza mentalmente: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
- Transformarla en una fracción equivalente sin raíces en el denominador.
- Su conjugado: \(a-\sqrt{b}\).
- \[ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \]