10. Racionalización

Racionalización

Presentación

En esta guía aprenderás a transformar fracciones con raíces en el denominador en fracciones equivalentes sin radicales abajo, aplicando correctamente las propiedades de multiplicación y el uso del conjugado cuando sea necesario.

Objetivo de aprendizaje

Aplicar técnicas de racionalización para eliminar raíces del denominador en expresiones numéricas y algebraicas, distinguiendo entre denominadores con un solo término y denominadores binomios con raíces.

Recuerdo y activación previa

Repaso: multiplicación de raíces ya estudiada

\[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=2 \]

\[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{9}=3 \]

\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a \qquad \text{si } a\ge 0. \]

La idea de racionalizar consiste en multiplicar por una expresión conveniente que haga desaparecer la raíz del denominador.

Repaso: producto notable importante

\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]

Este producto será clave cuando el denominador tenga dos términos con raíces.

Idea fundamental

Racionalizar significa transformar una fracción en otra equivalente cuyo denominador no tenga raíces.

No cambiamos el valor de la fracción: solo cambiamos su forma.

Estrategia general

Observa cómo es el denominador.
Si tiene un solo radical cuadrado, multiplica por esa misma raíz.
Si tiene una raíz de índice mayor, multiplica por el factor que complete una potencia del índice.
Si tiene dos términos con una raíz, usa el conjugado.
Multiplica numerador y denominador por la misma expresión no nula.
Simplifica el resultado final.

¿Por qué funciona la racionalización?

Justificación breve

Si multiplicamos numerador y denominador por la misma cantidad distinta de cero, el valor de la fracción no cambia.

Por ejemplo:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \qquad \text{si } b\neq 0 \text{ y } c\neq 0. \]

La racionalización consiste en elegir ese factor \(c\) de modo que el denominador se vuelva racional, es decir, sin raíces.

Nota: en esta guía trabajaremos esta idea en su forma escolar. Más adelante puede estudiarse con mayor formalidad.

Racionalización de denominadores simples

Primer caso

Si el denominador tiene una sola raíz cuadrada, se multiplica por esa misma raíz:

\[ \frac{a}{\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \qquad \text{con } b>0. \]

Ejemplo 1: denominador con una raíz

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Multiplicamos arriba y abajo por \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Ejemplo 2: con coeficiente en el numerador

\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]

Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{5}\):

\[ \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]

Ejemplo 3: raíz cúbica en el denominador

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Necesitamos completar una potencia cúbica en el denominador. Como

\[ \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2, \]

multiplicamos por \(\sqrt[3]{4}\):

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]

Error típico

Racionalizar no es multiplicar solo el denominador.

Siempre debes multiplicar numerador y denominador por la misma expresión para no cambiar el valor de la fracción.

Racionalización con conjugado

Segundo caso

Si el denominador tiene dos términos, por ejemplo \(a+\sqrt{b}\) o \(a-\sqrt{b}\), se usa el conjugado:

\[ a+\sqrt{b} \qquad \longleftrightarrow \qquad a-\sqrt{b}. \]

Al multiplicarlos se obtiene una diferencia de cuadrados:

\[ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b. \]

Ejemplo 4: racionalización con conjugado

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}} \]

El conjugado del denominador es \(2-\sqrt{3}\). Entonces:

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}. \]

Aplicamos diferencia de cuadrados:

\[ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1. \]

Por tanto:

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}. \]

Ejemplo 5: otro binomio con raíz

\[ \frac{3}{1-\sqrt{2}} \]

Usamos el conjugado \(1+\sqrt{2}\):

\[ \frac{3}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{3(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}. \]

Calculamos el denominador:

\[ (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=1-2=-1. \]

Entonces:

\[ \frac{3(1+\sqrt{2})}{-1} = -3-3\sqrt{2}. \]

Ejemplo 6: con literales

\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}} \]

El conjugado es \(x-\sqrt{y}\):

\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot \frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} = \frac{x-\sqrt{y}}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}. \]

Aplicamos diferencia de cuadrados:

\[ (x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})=x^2-y. \]

Por tanto:

\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}} = \frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y}, \]

con las condiciones necesarias para que las expresiones estén definidas en \(\mathbb{R}\).

Observación importante

El conjugado cambia el signo del segundo término, pero mantiene el primero igual.

Por ejemplo:

\[ 3+\sqrt{5} \qquad \text{y} \qquad 3-\sqrt{5}. \]

Guía de ejercicios

Ejercicios de aplicación

Racionaliza el denominador cuando sea posible. Si corresponde, indica condiciones de existencia en \(\mathbb{R}\).

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{3}{1-\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{4}{2-\sqrt{7}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{a}}\)
\(\dfrac{1}{x+\sqrt{y}}\)
\(\dfrac{1}{x-\sqrt{y}}\)
\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)
¿Se puede racionalizar \(\dfrac{1}{\sqrt{-2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
\[ \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]
\[ \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}. \]
Completamos una potencia cúbica:

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{3}. \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \]
\[ \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2, \]

porque \(\sqrt{5}\neq 0\).
Usamos el conjugado \(2-\sqrt{3}\):

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}. \]
Usamos el conjugado \(2+\sqrt{3}\):

\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}. \]
Usamos el conjugado \(1-\sqrt{2}\):

\[ \frac{3}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{1-2}. \]

Entonces:

\[ \frac{3(1-\sqrt{2})}{-1} = -3+3\sqrt{2}. \]
Usamos el conjugado \(1+\sqrt{2}\):

\[ \frac{3}{1-\sqrt{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{3(1+\sqrt{2})}{1-2} = -3-3\sqrt{2}. \]
Usamos el conjugado \(3-\sqrt{5}\):

\[ \frac{2}{3+\sqrt{5}}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5}. \]

Entonces:

\[ \frac{2(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}. \]
Usamos el conjugado \(2+\sqrt{7}\):

\[ \frac{4}{2-\sqrt{7}}\cdot\frac{2+\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} = \frac{4(2+\sqrt{7})}{4-7}. \]

Entonces:

\[ \frac{4(2+\sqrt{7})}{-3} = -\frac{4(2+\sqrt{7})}{3}. \]
Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(x>0\).

\[ \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x}. \]
Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(a>0\).

\[ \frac{2}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{a}. \]
Usamos el conjugado \(x-\sqrt{y}\):

\[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} = \frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y}. \]

Se requiere que las raíces existan y que los denominadores involucrados no sean cero.
Usamos el conjugado \(x+\sqrt{y}\):

\[ \frac{1}{x-\sqrt{y}}\cdot\frac{x+\sqrt{y}}{x+\sqrt{y}} = \frac{x+\sqrt{y}}{x^2-y}. \]

Se requiere que las raíces existan y que los denominadores involucrados no sean cero.
Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(y>0\) y \(x\ge 0\).

\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{y}. \]
Usamos el conjugado \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\):

\[ \frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}. \]

Se requiere \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) y que las expresiones usadas en el denominador no sean cero.
Usamos el conjugado \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\):

\[ \frac{5}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{5(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}. \]

Se requiere \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) y \(x\neq y\).
Para que el denominador no sea cero, se necesita \(x\neq 0\).

Completamos una potencia cúbica:

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}. \]
Para que el denominador no sea cero, se necesita \(x\neq 0\).

\[ \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x}. \]
Usamos el conjugado \(2-\sqrt{3}\):

\[ \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}. \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3. \]
No se puede racionalizar en \(\mathbb{R}\).

La expresión \(\sqrt{-2}\) no existe en los números reales, porque es una raíz cuadrada de un número negativo.

Por tanto, la fracción \(\dfrac{1}{\sqrt{-2}}\) no está definida en \(\mathbb{R}\).

Ejercicios guiados

Completa la expresión que falta para racionalizar:

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)
\(\dfrac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\square}{\square}\)

Ejercicio de atención

Analiza la siguiente expresión:

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{5} \]

¿Es correcta? Justifica.

Resumen final

Ideas clave

Racionalizar significa eliminar raíces del denominador sin cambiar el valor de la fracción.
Si el denominador tiene una sola raíz cuadrada, se multiplica por esa misma raíz.
Si el denominador tiene una raíz de índice mayor, se multiplica por el factor que complete una potencia del índice.
Si el denominador tiene dos términos con raíces, se usa el conjugado.
Siempre se multiplica numerador y denominador por la misma expresión no nula.
Antes de racionalizar, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).

Ticket de salida

Responde en tu cuaderno:

¿Qué significa racionalizar una fracción?
¿Qué se usa para racionalizar \(a+\sqrt{b}\)?
Racionaliza mentalmente: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).