11. Suma y Resta de Raíces

Suma y resta de raíces

Presentación

En esta guía aprenderás a sumar y restar radicales, reconociendo cuándo dos raíces son semejantes y cuándo primero es necesario simplificarlas antes de operar.

Objetivo de aprendizaje

Aplicar la suma y resta de radicales semejantes en expresiones numéricas y algebraicas, simplificando previamente cuando sea necesario y distinguiendo cuándo una operación no puede reducirse.

Recuerdo y activación previa

Repaso: extracción de factores ya estudiada

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \]

\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]

\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2} \]

Recuerda: muchas veces no se puede sumar o restar directamente hasta simplificar primero.

Repaso: términos semejantes

\[ 2x+5x=7x \]

\[ 3a-2a=a \]

Con las raíces ocurre algo parecido: solo se pueden sumar o restar si son semejantes.

Idea fundamental

Dos radicales son semejantes cuando tienen:

el mismo índice, y
el mismo radicando.

Solo en ese caso se pueden sumar o restar directamente sus coeficientes.

Propiedad fundamental

Si los radicales son semejantes, se opera igual que con términos semejantes:

\[ a\sqrt[n]{m}+b\sqrt[n]{m}=(a+b)\sqrt[n]{m} \]

\[ a\sqrt[n]{m}-b\sqrt[n]{m}=(a-b)\sqrt[n]{m} \]

Estrategia general

Observa si los radicales tienen el mismo índice.
Si es necesario, simplifica cada raíz por separado.
Revisa si después de simplificar quedan con el mismo radicando.
Si son semejantes, suma o resta los coeficientes.
Si no son semejantes, la expresión no se puede reducir más.

¿Por qué funciona esta propiedad?

Justificación breve

La suma de radicales semejantes funciona igual que la suma de términos semejantes en álgebra.

Por ejemplo:

\[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3} \]

significa “dos veces \(\sqrt{3}\) más cinco veces \(\sqrt{3}\)”, es decir:

\[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]

Pero si los radicales no tienen la misma parte radical, no representan la misma “cantidad de raíz” y no se pueden combinar directamente.

Error típico

No se pueden sumar los radicandos directamente.

Por ejemplo:

\[ \sqrt{2}+\sqrt{3}\neq \sqrt{5}. \]

Eso es incorrecto. Solo se suman o restan coeficientes cuando los radicales son semejantes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: radicales semejantes

\[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]

Ejemplo 2: radicales no semejantes

\[ 3\sqrt{2}+4\sqrt{5} \]

No se puede reducir, porque los radicandos son distintos.

Ejemplo 3: primero simplificar y luego sumar

\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} \]

Simplificamos cada raíz:

\[ \sqrt{12}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=3\sqrt{3}. \]

Ahora sí son semejantes:

\[ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}. \]

Ejemplo 4: resta de radicales semejantes

\[ 7\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}. \]

Ejemplo 5: índice cúbico

\[ 2\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{4}=7\sqrt[3]{4}. \]

Ejemplo 6: simplificar antes de restar

\[ \sqrt{50}-\sqrt{8} \]

Simplificamos:

\[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

Entonces:

\[ 5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}. \]

Ejemplo 7: con coeficientes y literales

\[ 3x\sqrt{5}-x\sqrt{5} \]

Ambos términos tienen la misma parte radical. Entonces se restan los coeficientes \(3x\) y \(x\):

\[ 3x\sqrt{5}-x\sqrt{5}=2x\sqrt{5}. \]

Ejemplo 8: con valor absoluto tras simplificar

\[ \sqrt{4x^2}+\sqrt{9x^2} \]

Simplificamos:

\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt{9x^2}=3|x|. \]

Entonces:

\[ 2|x|+3|x|=5|x|. \]

Observación importante

A veces dos radicales no parecen semejantes al principio, pero sí lo son después de simplificar.

Por eso conviene revisar siempre si primero se puede extraer algún factor.

Guía de ejercicios

Ejercicios de aplicación

Simplifica cada expresión cuando sea posible.

\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)
\(7\sqrt{5}-2\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{2}+3\sqrt{2}\)
\(9\sqrt[3]{7}-4\sqrt[3]{7}\)
\(3\sqrt{2}+4\sqrt{5}\)
\(2\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}\)
\(\sqrt{12}+\sqrt{27}\)
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}\)
\(\sqrt{45}+\sqrt{20}\)
\(\sqrt{18}+\sqrt{8}\)
\(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}\)
\(\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{16}\)
\(3x\sqrt{5}-x\sqrt{5}\)
\(5a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}\)
\(\sqrt{4x^2}+\sqrt{9x^2}\)
\(\sqrt{16y^2}-\sqrt{y^2}\)
\(\sqrt{x^2y^2}+\sqrt{4x^2y^2}\)
\(\sqrt[3]{8x^3}+\sqrt[3]{27x^3}\)
\(\sqrt[3]{16x^3}-\sqrt[3]{54x^3}\)
\(2\sqrt{12}+\sqrt{27}\)
\(3\sqrt{8}-\sqrt{18}\)
\(\sqrt{75}-2\sqrt{3}\)
\(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{81}\)
\(\sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2}\)
¿Se puede reducir \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)? Justifica.

\[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]
\[ 7\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}. \]
\[ 4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}. \]
\[ 9\sqrt[3]{7}-4\sqrt[3]{7}=5\sqrt[3]{7}. \]
\[ 3\sqrt{2}+4\sqrt{5} \]

No se puede reducir, porque los radicales no son semejantes.
\[ 2\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5} \]

No se puede reducir, porque los radicandos son distintos.
Primero simplificamos:

\[ \sqrt{12}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=3\sqrt{3}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]
\[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{50}-\sqrt{8} = 5\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \]
\[ \sqrt{45}=3\sqrt{5} \qquad \sqrt{20}=2\sqrt{5}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{45}+\sqrt{20} = 3\sqrt{5}+2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}. \]
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{18}+\sqrt{8} = 3\sqrt{2}+2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}. \]
\[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}. \]

\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54} = 2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}. \]
\[ \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64\cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}. \]

\[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{16} = 4\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}. \]
\[ 3x\sqrt{5}-x\sqrt{5}=2x\sqrt{5}. \]
\[ 5a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}=7a\sqrt{2}. \]
\[ \sqrt{4x^2}+\sqrt{9x^2} = 2|x|+3|x| = 5|x|. \]
\[ \sqrt{16y^2}-\sqrt{y^2} = 4|y|-|y| = 3|y|. \]
\[ \sqrt{x^2y^2} = |xy| \]

y

\[ \sqrt{4x^2y^2} = 2|xy|. \]

Entonces:

\[ \sqrt{x^2y^2}+\sqrt{4x^2y^2} = |xy|+2|xy| = 3|xy|. \]
\[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \qquad \sqrt[3]{27x^3}=3x. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{8x^3}+\sqrt[3]{27x^3} = 2x+3x = 5x. \]
\[ \sqrt[3]{16x^3} = \sqrt[3]{8\cdot 2\cdot x^3} = 2x\sqrt[3]{2}. \]

\[ \sqrt[3]{54x^3} = \sqrt[3]{27\cdot 2\cdot x^3} = 3x\sqrt[3]{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{16x^3}-\sqrt[3]{54x^3} = 2x\sqrt[3]{2}-3x\sqrt[3]{2} = -x\sqrt[3]{2}. \]
\[ 2\sqrt{12}+\sqrt{27} = 2(2\sqrt{3})+3\sqrt{3}. \]

\[ 4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]
\[ 3\sqrt{8}-\sqrt{18} = 3(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}. \]

\[ 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}. \]
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{75}-2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}-2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}. \]
\[ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}. \]

\[ \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27\cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{81} = 2\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3}. \]
\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}. \]
No se puede reducir.

Las raíces \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\) no son semejantes porque tienen distinto radicando.

Ejercicios guiados

Completa la expresión que falta:

\(\sqrt{12}= \square\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27}= \square\sqrt{3}\)
\(\sqrt[3]{54}= \square\sqrt[3]{2}\)
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}= \square\sqrt{2}\)

Ejercicio de atención

Analiza la siguiente expresión:

\[ \sqrt{12}+\sqrt{3}= \sqrt{15} \]

¿Es correcta? Justifica.

Resumen final

Ideas clave

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes.
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Muchas veces hay que simplificar primero para descubrir si son semejantes.
Si no son semejantes, la expresión no se puede reducir más.
No se suman ni se restan los radicandos directamente.

Ticket de salida

Responde en tu cuaderno:

¿Cuándo dos radicales son semejantes?
¿Por qué \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\) sí se puede reducir?
Simplifica mentalmente: \(\sqrt{18}+\sqrt{8}\).