Libro de las Raices
14. Raíces como Potencias de Exponente Fraccionario
Raíces como potencias de exponente fraccionario
Presentación
En esta guía aprenderás a escribir raíces como potencias de exponente fraccionario y a interpretar ese exponente de una manera clara y segura en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
- Relacionar radicales y potencias de exponente fraccionario, transformando expresiones entre ambas formas y aplicando correctamente estas equivalencias en expresiones numéricas y algebraicas.
Recuerdo y activación previa
Repaso de ideas conocidas
\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a \qquad (a\ge 0) \]
\[ \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}=a \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
Ahora veremos que estas raíces pueden escribirse como potencias.
Idea fundamental
Si la raíz existe en \(\mathbb{R}\), entonces:
\[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
Y, en general:
\[ a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \]
En esta página trabajaremos principalmente en el caso seguro: expresiones donde la raíz existe en \(\mathbb{R}\).
Lectura del exponente fraccionario
- El denominador indica qué raíz aparece.
- El numerador indica cuántas veces se eleva ese resultado.
- Conviene pensar primero en la raíz y luego en la potencia.
¿Por qué funciona?
Justificación breve
Queremos que el exponente \(\frac{1}{2}\) represente “la cantidad que al multiplicarse por sí misma da \(a\)”.
Si llamamos \(b=a^{\frac{1}{2}}\), entonces:
\[ b\cdot b = a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}} = a^1 = a. \]
Por lo tanto, \(b\) debe ser la raíz cuadrada de \(a\):
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} \qquad (a\ge 0). \]
De manera análoga:
\[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}. \]
Entonces:
\[ a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \]
Cuidado importante
En \(\mathbb{R}\), cuando el índice es par, la raíz solo existe si el radicando es mayor o igual que \(0\).
Por eso, en esta guía trabajaremos con casos donde la expresión está bien definida.
De raíz a potencia
Ejemplo 1: raíz cuadrada
\[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 2: raíz cúbica
\[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \]
Ejemplo 3: raíz cuarta de una potencia
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 4: con número
\[ \sqrt[5]{32}=32^{\frac{1}{5}} \]
De potencia a raíz
Ejemplo 5: un medio
\[ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 6: tres medios
\[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0) \]
Como \(x\ge 0\), también puede escribirse como:
\[ x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}. \]
Ejemplo 7: dos tercios
\[ x^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \]
También puede escribirse como:
\[ x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}. \]
Forma recomendada de pensar
Para interpretar \(a^{\frac{m}{n}}\), conviene leerlo así:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \]
Es decir: primero la raíz, luego la potencia.
Propiedades en el caso seguro
Ejemplo 8: producto
\[ x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^1 = x \qquad (x\ge 0) \]
Esto coincide con:
\[ \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x. \]
Ejemplo 9: potencia de una potencia
\[ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 = x^{\frac{3}{2}} \qquad (x\ge 0) \]
Y por tanto:
\[ \left(\sqrt{x}\right)^3=x^{\frac{3}{2}}. \]
Ejemplo 10: raíz de una raíz
\[ \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 11: cálculo numérico
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Ejemplo 12: otro cálculo numérico
\[ 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8. \]
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
Escribe cada expresión en forma equivalente o calcula cuando corresponda:
- \(\sqrt{x}\)
- \(\sqrt[3]{x}\)
- \(\sqrt[4]{x^3}\)
- \(\sqrt[5]{a^2}\)
- \(x^{\frac{1}{2}}\)
- \(x^{\frac{1}{3}}\)
- \(x^{\frac{3}{2}}\)
- \(x^{\frac{2}{3}}\)
- \(a^{\frac{5}{4}}\)
- \(16^{\frac{1}{2}}\)
- \(27^{\frac{1}{3}}\)
- \(32^{\frac{1}{5}}\)
- \(8^{\frac{2}{3}}\)
- \(16^{\frac{3}{4}}\)
- \(81^{\frac{1}{4}}\)
- \(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\)
- \(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3\)
- \(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2\)
- \(\sqrt{\sqrt{x}}\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{x}}\)
- \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}\)
- \(x^{\frac{1}{4}}\)
- \(x^{\frac{1}{6}}\)
- \(x^{\frac{3}{4}}\)
- Escribe \(x^{\frac{3}{2}}\) de dos maneras como radical.
-
\[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \]
-
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}}. \]
-
\[ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]
-
\[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ x^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2. \]
-
\[ a^{\frac{5}{4}} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^5 \qquad (a\ge 0). \]
-
\[ 16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4. \]
-
\[ 27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3. \]
-
\[ 32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2. \]
-
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
-
\[ 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8. \]
-
\[ 81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3. \]
-
\[ x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^1 = x \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 = x^{\frac{1}{2}\cdot 3} = x^{\frac{3}{2}} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}}. \]
-
\[ \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \sqrt[3]{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}. \]
Para que exista en \(\mathbb{R}\), se requiere \(x\ge 0\), porque la raíz exterior tiene índice par.
-
\[ x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ x^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{x} \qquad (x\ge 0). \]
-
\[ x^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0). \]
-
Una primera forma es:
\[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3. \]
Como trabajamos con \(x\ge 0\), también puede escribirse como:
\[ x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}. \]
Ejercicios guiados
Completa la expresión equivalente:
- \(\sqrt{x}=x^{\square}\)
- \(\sqrt[3]{x}=x^{\square}\)
- \(x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^{\square}\)
- \(\sqrt[4]{x^3}=x^{\square}\)
-
La raíz cuadrada corresponde al exponente \(\frac{1}{2}\):
\[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}. \]
-
La raíz cúbica corresponde al exponente \(\frac{1}{3}\):
\[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \]
-
El numerador \(3\) indica la potencia aplicada al resultado de la raíz:
\[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3. \]
-
El índice \(4\) queda en el denominador y el exponente \(3\) en el numerador:
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}. \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No es correcta.
Como son términos semejantes, se suman los coeficientes:
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}. \]
Como \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\), también se puede escribir:
\[ 2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}. \]
Por lo tanto:
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}\neq x. \]
Resumen final
Ideas clave
- Una raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario.
- \[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
- \[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
- El denominador indica el índice de la raíz.
- El numerador indica la potencia aplicada al resultado de la raíz.
- En \(\mathbb{R}\), siempre hay que revisar que la raíz exista.
Ticket de salida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Qué representa el denominador en un exponente fraccionario?
- ¿Cómo se escribe \(\sqrt[3]{x^2}\) como potencia?
- ¿Cómo se interpreta \(x^{\frac{3}{2}}\): primero la potencia o primero la raíz?
-
El denominador representa el índice de la raíz.
Por ejemplo, en \(x^{\frac{1}{4}}\), el denominador \(4\) indica raíz cuarta:
\[ x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}. \]
-
El índice \(3\) queda en el denominador y el exponente \(2\) en el numerador:
\[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}. \]
-
Conviene interpretarlo como:
\[ x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3. \]
Es decir, primero la raíz y luego la potencia.
Importante
Los problemas delicados con bases negativas se estudiarán en una página aparte, para no mezclar la idea principal con casos donde el dominio exige más cuidado.