Raices
15. Raíces como Potencias de Exponente Fraccionario
Raíces como Potencias de Exponente Fraccionario
En esta guía aprenderás a escribir raíces como potencias de exponente fraccionario y a interpretar ese exponente de una manera clara y segura en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
Relacionar radicales y potencias de exponente fraccionario, transformando expresiones entre ambas formas y aplicando correctamente estas equivalencias en expresiones numéricas y algebraicas.
Recuerdo y activación previa
Repaso de ideas conocidas
\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a \qquad (a\ge 0) \]
\[ \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}=a \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
Ahora veremos que estas raíces pueden escribirse como potencias.
Si la raíz existe en \(\mathbb{R}\), entonces:
\[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
Y, en general:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
En esta página trabajaremos principalmente en el caso seguro: expresiones donde la raíz existe en \(\mathbb{R}\).
- El denominador indica qué raíz aparece.
- El numerador indica cuántas veces se eleva ese resultado.
- Conviene pensar primero en la raíz y luego en la potencia.
¿Por qué funciona?
Queremos que el exponente \(\frac{1}{2}\) represente “la cantidad que al multiplicarse por sí misma da \(a\)”.
Si llamamos \(b=a^{\frac{1}{2}}\), entonces:
\[ b\cdot b=a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{1}=a \]
Por lo tanto, \(b\) debe ser la raíz cuadrada de \(a\):
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} \qquad (a\ge 0) \]
De manera análoga:
\[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
y entonces
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
En \(\mathbb{R}\), cuando el índice es par, la raíz solo existe si el radicando es mayor o igual que \(0\).
Por eso, en esta guía trabajaremos con casos donde la expresión está bien definida.
De raíz a potencia
Ejemplo 1: raíz cuadrada
\[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 2: raíz cúbica
\[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \]
Ejemplo 3: raíz cuarta de una potencia
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 4: con número
\[ \sqrt[5]{32}=32^{\frac{1}{5}} \]
De potencia a raíz
Ejemplo 5: un medio
\[ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 6: tres medios
\[ x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0) \]
Como \(x\ge 0\), también puede escribirse como:
\[ x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3} \]
Ejemplo 7: dos tercios
\[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \]
También puede escribirse como:
\[ x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2} \]
Para interpretar \(a^{\frac{m}{n}}\), conviene leerlo así:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
Es decir: primero la raíz, luego la potencia.
Propiedades en el caso seguro
Ejemplo 8: producto
\[ x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^1=x \qquad (x\ge 0) \]
Esto coincide con:
\[ \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x \]
Ejemplo 9: potencia de una potencia
\[ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3=x^{\frac{3}{2}} \qquad (x\ge 0) \]
y por tanto:
\[ \left(\sqrt{x}\right)^3=x^{\frac{3}{2}} \]
Ejemplo 10: raíz de una raíz
\[ \sqrt{\sqrt{x}}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0) \]
Ejemplo 11: cálculo numérico
\[ 8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4 \]
Ejemplo 12: otro cálculo numérico
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8 \]
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\sqrt{x}=\)
- \(\sqrt[3]{x}=\)
- \(\sqrt[4]{x^3}=\)
- \(\sqrt[5]{a^2}=\)
- \(x^{\frac{1}{2}}=\)
- \(x^{\frac{1}{3}}=\)
- \(x^{\frac{3}{2}}=\)
- \(x^{\frac{2}{3}}=\)
- \(a^{\frac{5}{4}}=\)
- \(16^{\frac{1}{2}}=\)
- \(27^{\frac{1}{3}}=\)
- \(32^{\frac{1}{5}}=\)
- \(8^{\frac{2}{3}}=\)
- \(16^{\frac{3}{4}}=\)
- \(81^{\frac{1}{4}}=\)
- \(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\)
- \(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3=\)
- \(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2=\)
- \(\sqrt{\sqrt{x}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\)
- \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\)
- \(x^{\frac{1}{4}}=\)
- \(x^{\frac{1}{6}}=\)
- \(x^{\frac{3}{4}}=\)
- Escribe \(x^{\frac{3}{2}}\) de dos maneras como radical.
- \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \]
- \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \]
- \[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \]
- \[ \sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}} \]
- \[ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \]
- \[ x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} \]
- \[ x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3 \]
- \[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \]
- \[ a^{\frac{5}{4}}=\left(\sqrt[4]{a}\right)^5 \]
- \[ 16^{\frac{1}{2}}=4 \]
- \[ 27^{\frac{1}{3}}=3 \]
- \[ 32^{\frac{1}{5}}=2 \]
- \[ 8^{\frac{2}{3}}=4 \]
- \[ 16^{\frac{3}{4}}=8 \]
- \[ 81^{\frac{1}{4}}=3 \]
- \[ x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x \qquad (x\ge 0) \]
- \[ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3=x^{\frac{3}{2}} \]
- \[ \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2=a^{\frac{2}{3}} \]
- \[ \sqrt{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{4}} \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{6}} \]
- \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=x^{\frac{1}{12}} \]
- \[ x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} \]
- \[ x^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{x} \]
- \[ x^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{x}\right)^3 \]
- \[ x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3=\sqrt{x^3} \qquad (x\ge 0) \]
Ejercicios guiados
Completa la expresión equivalente:
- \(\sqrt{x}=x^{\square}\)
- \(\sqrt[3]{x}=x^{\square}\)
- \(x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^{\square}\)
- \(\sqrt[4]{x^3}=x^{\square}\)
- \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \]
- \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \]
- \[ x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3 \]
- \[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No es correcta.
Como son términos semejantes, se suman los coeficientes:
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x} \]
Resumen final
- Una raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario.
- \[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
- \[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
- El denominador indica el índice de la raíz.
- El numerador indica la potencia aplicada al resultado de la raíz.
- En \(\mathbb{R}\), siempre hay que revisar que la raíz exista.
Ticket de salida
- ¿Qué representa el denominador en un exponente fraccionario?
- ¿Cómo se escribe \(\sqrt[3]{x^2}\) como potencia?
- ¿Cómo se interpreta \(x^{\frac{3}{2}}\): primero la potencia o primero la raíz?
- Representa el índice de la raíz.
- \[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} \]
- Conviene interpretarlo como \(\left(\sqrt{x}\right)^3\): primero la raíz y luego la potencia.
Los problemas delicados con bases negativas se estudiarán en una página aparte, para no mezclar la idea principal con casos donde el dominio exige más cuidado.