3. Tablas de frecuencia simple

Tablas de frecuencia simple [frecuencia absoluta (f), relativa heart, acumulada (F), relativa acumulada (H), en decimal, fracción y porcentaje] (PAES M1)

Objetivo de la clase: organizar datos sueltos en una tabla de frecuencia simple, calcular frecuencia absoluta, relativa, acumulada y relativa acumulada, e interpretar estos valores en formato decimal, fracción y porcentaje.

Cuando un conjunto de datos comienza a crecer, deja de ser práctico mirar uno por uno todos los valores. En esos casos, conviene organizarlos en una tabla de frecuencia simple, porque permite ver con claridad cuántas veces aparece cada dato y qué proporción representa dentro del total.

En PAES M1 este contenido puede aparecer como cálculo directo, lectura de tabla, comparación entre frecuencias o interpretación de porcentajes acumulados.

📐 Elementos de una tabla de frecuencia simple
  • Frecuencia absoluta \(f\): cantidad de veces que aparece un dato.
  • Frecuencia relativa \(h\): proporción del total que representa un dato. \[ h=\dfrac{f}{n} \] donde \(n\) es la cantidad total de datos.
  • Frecuencia acumulada \(F\): suma progresiva de las frecuencias absolutas.
  • Frecuencia relativa acumulada \(H\): suma progresiva de las frecuencias relativas.
📐 Formas de expresar la frecuencia relativa

La frecuencia relativa puede escribirse de tres maneras equivalentes:

  • Como fracción: \(\dfrac{f}{n}\)
  • Como decimal: resultado de dividir \(\dfrac{f}{n}\)
  • Como porcentaje: \(h\cdot 100\%\)

Por ejemplo, si un dato aparece 3 veces en un total de 12 datos:

\[ h=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0{,}25=25\% \]

💡 Estrategia para construir la tabla
  1. Ordena o identifica los valores distintos del conjunto.
  2. Cuenta cuántas veces aparece cada valor y completa \(f\).
  3. Suma todas las frecuencias absolutas para verificar que den el total \(n\).
  4. Calcula \(h=\dfrac{f}{n}\) para cada valor.
  5. Acumula progresivamente las frecuencias para obtener \(F\) y \(H\).
  6. Comprueba al final que la última frecuencia acumulada sea \(n\) y que la última frecuencia relativa acumulada sea \(1\) o \(100\%\).
⚠️ Errores típicos
  • Confundir frecuencia absoluta con frecuencia relativa.
  • Calcular \(h\) dividiendo por la cantidad de valores distintos en vez de dividir por el total de datos.
  • Olvidar que la última frecuencia acumulada debe ser igual al total de datos.
  • Olvidar que la última frecuencia relativa acumulada debe ser \(1\), o sea, \(100\%\).
  • Sumar mal los porcentajes por redondeo y pensar que la tabla está mala, cuando el problema es solo de aproximación decimal.

Ejemplo 1: construcción básica de una tabla de frecuencia

Se preguntó a 10 estudiantes cuántos hermanos tienen. Las respuestas fueron:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ 2,\ 1 \]

Primero identificamos los valores distintos: \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).

Luego contamos cuántas veces aparece cada uno:

Número de hermanos \(f\) \(h\) \(F\) \(H\)
0 2 \(\dfrac{2}{10}=0{,}2=20\%\) 2 \(0{,}2=20\%\)
1 4 \(\dfrac{4}{10}=0{,}4=40\%\) 6 \(0{,}6=60\%\)
2 3 \(\dfrac{3}{10}=0{,}3=30\%\) 9 \(0{,}9=90\%\)
3 1 \(\dfrac{1}{10}=0{,}1=10\%\) 10 \(1=100\%\)

Interpretación: el valor más frecuente es 1 hermano, porque tiene frecuencia absoluta 4. Además, el 60% de los estudiantes tiene a lo más 1 hermano, porque la frecuencia relativa acumulada hasta 1 es 60%.

Ejemplo 2: frecuencia relativa como fracción, decimal y porcentaje

En un curso, las preferencias de colación fueron:

\[ \text{fruta, sándwich, fruta, yogurt, fruta, sándwich, yogurt, fruta} \]

Hay 8 respuestas en total.

Colación \(f\) Frecuencia relativa en fracción Frecuencia relativa en decimal Frecuencia relativa en porcentaje
Fruta 4 \(\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) \(0{,}5\) \(50\%\)
Sándwich 2 \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\) \(0{,}25\) \(25\%\)
Yogurt 2 \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\) \(0{,}25\) \(25\%\)

Interpretación: la mitad del curso prefirió fruta. Eso puede expresarse como \(\dfrac{1}{2}\), como \(0{,}5\) o como \(50\%\).

Ejemplo 3: frecuencia acumulada y relativa acumulada

Se registró la cantidad de mascotas en 12 hogares:

\[ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 0,\ 3,\ 2,\ 1,\ 2,\ 4,\ 1,\ 0 \]

Contamos cada valor y completamos la tabla:

Mascotas \(f\) \(h\) \(F\) \(H\)
0 3 \(\dfrac{3}{12}=0{,}25=25\%\) 3 \(0{,}25=25\%\)
1 4 \(\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333=33{,}3\%\) 7 \(\dfrac{7}{12}\approx 0{,}583=58{,}3\%\)
2 3 \(\dfrac{3}{12}=0{,}25=25\%\) 10 \(\dfrac{10}{12}\approx 0{,}833=83{,}3\%\)
3 1 \(\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083=8{,}3\%\) 11 \(\dfrac{11}{12}\approx 0{,}917=91{,}7\%\)
4 1 \(\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083=8{,}3\%\) 12 \(1=100\%\)

Interpretación: el 83,3% de los hogares tiene a lo más 2 mascotas, porque la frecuencia relativa acumulada hasta 2 es aproximadamente \(0{,}833\).

Ejemplo 4: lectura directa desde una tabla

Observa la siguiente tabla sobre cantidad de libros leídos por 15 estudiantes en un mes:

Libros leídos \(f\) \(h\) \(F\) \(H\)
0 3 \(0{,}2\) 3 \(0{,}2\)
1 5 \(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\) 8 \(\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533\)
2 4 \(\dfrac{4}{15}\approx 0{,}267\) 12 \(0{,}8\)
3 2 \(\dfrac{2}{15}\approx 0{,}133\) 14 \(\dfrac{14}{15}\approx 0{,}933\)
4 1 \(\dfrac{1}{15}\approx 0{,}067\) 15 \(1\)

De esta tabla se puede concluir que:

  • El dato más frecuente es 1 libro, porque tiene la mayor frecuencia absoluta.
  • El 20% no leyó libros.
  • El 80% leyó a lo más 2 libros.
  • Solo 1 estudiante leyó 4 libros.
🤓 ¿Qué significa “a lo más” en una tabla?

Cuando una pregunta dice “a lo más 2”, está incluyendo \(0\), \(1\) y \(2\). En una tabla de frecuencias, esa información se obtiene mirando la frecuencia acumulada o la frecuencia relativa acumulada hasta ese valor.

🌍 Uso en el mundo real

Las tablas de frecuencia se usan para resumir encuestas, resultados académicos, preferencias, tallas, tiempos de traslado, edades y muchos otros datos. Son muy útiles cuando se necesita comunicar información de forma ordenada y rápida, especialmente si se quiere comparar proporciones o acumulados.

Ejercicios de práctica

  1. En los datos \(1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 4,\ 1\), construye una tabla con valor y frecuencia absoluta.
  2. Para los mismos datos del ejercicio anterior, calcula la frecuencia relativa de cada valor en forma decimal.
  3. Expresa la frecuencia relativa del valor 2 del ejercicio 1 como fracción y como porcentaje.
  4. En los datos \(0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4\), calcula la frecuencia acumulada de cada valor.
  5. En un grupo de 10 estudiantes, 3 prefieren té, 5 prefieren jugo y 2 prefieren leche. Calcula la frecuencia relativa de cada preferencia en decimal y porcentaje.
  6. Construye una tabla de frecuencia simple para los datos \(5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 5,\ 6,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5\).
  7. En una tabla, el valor 4 tiene frecuencia absoluta 6 y el total de datos es 24. Calcula su frecuencia relativa como fracción, decimal y porcentaje.
  8. Si en una distribución la frecuencia acumulada hasta el valor 3 es 18, ¿qué significa eso en palabras?
  9. Si la frecuencia relativa acumulada hasta cierto valor es \(0{,}75\), ¿qué porcentaje representa?
  10. En un curso de 20 estudiantes, 4 obtuvieron nota 4, 8 obtuvieron nota 5, 6 obtuvieron nota 6 y 2 obtuvieron nota 7. Construye la tabla con \(f\), \(h\), \(F\) y \(H\).
  11. En la tabla del ejercicio anterior, ¿qué porcentaje obtuvo a lo más nota 5?
  12. En una encuesta de 12 personas, un resultado aparece 3 veces. ¿Cuál es su frecuencia relativa en fracción, decimal y porcentaje?
💡 Pista para PAES

Si la pregunta habla de “qué parte del total”, probablemente debas mirar la frecuencia relativa. Si habla de “cuántos tienen a lo más”, probablemente debas mirar una frecuencia acumulada.

Ejercicios tipo PAES

  1. En un grupo de 20 personas, 5 prefieren el color azul. La frecuencia relativa de quienes prefieren azul es:
    1. \(0{,}4\)
    2. \(\dfrac{1}{4}\)
    3. \(30\%\)
    4. \(5\%\)
  2. Si un valor tiene frecuencia absoluta 6 en un total de 24 datos, su frecuencia relativa en porcentaje es:
    1. \(20\%\)
    2. \(30\%\)
    3. \(25\%\)
    4. \(40\%\)
  3. En una tabla de frecuencias, la última frecuencia acumulada debe ser igual a:
    1. la cantidad de valores distintos
    2. la suma de las frecuencias relativas
    3. el total de datos
    4. el dato de mayor valor
  4. En una distribución, la frecuencia relativa acumulada hasta cierto valor es \(0{,}8\). Esto significa que:
    1. el 8% de los datos corresponde exactamente a ese valor
    2. el 80% de los datos está en ese valor o por debajo de él
    3. faltan 8 datos para completar el total
    4. la frecuencia absoluta es 0,8
  5. En una encuesta a 16 personas, una respuesta aparece 4 veces. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente su frecuencia relativa?
    1. \(\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}=0{,}25=25\%\)
    2. \(\dfrac{4}{16}=0{,}4=40\%\)
    3. \(\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\%\)
    4. \(\dfrac{4}{16}=4\%=0{,}04\)
  6. La siguiente tabla resume el número de hijos en 10 familias:
    Hijos \(f\)
    0 2
    1 3
    2 4
    3 1
    ¿Qué porcentaje de las familias tiene a lo más 1 hijo?
    1. \(40\%\)
    2. \(50\%\)
    3. \(60\%\)
    4. \(70\%\)