Datos , tablas , medidas centrales
4. Media, moda y mediana en tablas simples de frecuencias (PAES M1)
Media, moda y mediana en tablas simples de frecuencias (PAES M1)
Objetivo de la clase: calcular e interpretar la media, la mediana y la moda a partir de tablas simples de frecuencias, comparando cuál medida central describe mejor un conjunto de datos según el contexto.
En la página anterior aprendiste a construir e interpretar tablas de frecuencia simple con frecuencia absoluta, relativa y acumulada. Ahora daremos un paso más: usar esa información para calcular las tres medidas de tendencia central más importantes, es decir, la media, la mediana y la moda.
La idea clave es que, aunque ya no veamos los datos uno por uno, la tabla conserva la información necesaria para resumir el conjunto y tomar decisiones, algo muy frecuente en preguntas tipo PAES M1.
Si un valor \(x_i\) aparece \(f_i\) veces, entonces ese dato se repite esa cantidad de veces dentro del conjunto.
La suma de todas las frecuencias absolutas corresponde al total de datos:
\[ n=f_1+f_2+\cdots+f_k \]
- Media: \[ \bar{x}=\dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n} \]
- Moda: es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
- Mediana: corresponde al valor central del conjunto ordenado. En una tabla, se identifica usando la frecuencia acumulada.
- Calcula el total de datos \(n\).
- Para la media, multiplica cada valor por su frecuencia y suma esos productos.
- Para la moda, busca la frecuencia absoluta más alta.
- Para la mediana, ubica la posición central usando \(n\) y luego mira en qué valor cae esa posición según la frecuencia acumulada.
Trabajar con una tabla de frecuencias no cambia el significado de media, mediana y moda. Lo único que cambia es la forma de calcularlas. La tabla permite resumir muchos datos sin escribirlos todos.
Ejemplo 1: calcular la moda desde una tabla
La siguiente tabla muestra la cantidad de hermanos de 12 estudiantes:
| Número de hermanos | Frecuencia \(f\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
La moda es el valor con mayor frecuencia.
La frecuencia más alta es \(5\), que corresponde al valor \(1\).
\[ \text{Moda}=1 \]
Interpretación: el número de hermanos más frecuente en este grupo es 1.
Ejemplo 2: calcular la media desde una tabla
Considera la tabla:
| Puntaje | Frecuencia \(f\) | \(x\cdot f\) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 2 | 8 |
| 5 | 1 | 5 |
| Total | 10 | 31 |
Como la suma de las frecuencias es \(10\), hay 10 datos en total.
La suma de los productos \(x\cdot f\) es \(31\).
Entonces:
\[ \bar{x}=\dfrac{31}{10}=3{,}1 \]
Interpretación: el puntaje promedio es \(3{,}1\).
Ejemplo 3: calcular la mediana con frecuencia acumulada
La tabla muestra la cantidad de mascotas en 9 hogares:
| Mascotas | \(f\) | \(F\) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 5 |
| 2 | 2 | 7 |
| 3 | 2 | 9 |
Como hay \(n=9\) datos, la mediana corresponde a la posición:
\[ \dfrac{9+1}{2}=5 \]
Ahora observamos en qué valor cae la posición 5.
Según la frecuencia acumulada:
- hasta 0 mascotas llegamos a la posición 2,
- hasta 1 mascota llegamos a la posición 5.
Entonces la posición 5 corresponde al valor 1.
\[ \text{Mediana}=1 \]
Ejemplo 4: mediana con cantidad par de datos
La siguiente tabla resume las notas de 8 estudiantes:
| Nota | \(f\) | \(F\) |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 2 |
| 5 | 3 | 5 |
| 6 | 2 | 7 |
| 7 | 1 | 8 |
Como hay \(n=8\) datos, la mediana se obtiene promediando las posiciones 4 y 5.
Según la frecuencia acumulada, tanto la posición 4 como la posición 5 caen en la nota 5.
Entonces:
\[ \text{Mediana}=\dfrac{5+5}{2}=5 \]
Ejemplo 5: comparación entre media, mediana y moda
Observa la tabla:
| Valor | \(f\) | \(x\cdot f\) | \(F\) |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 4 |
| 3 | 3 | 9 | 7 |
| 4 | 1 | 4 | 8 |
| 10 | 1 | 10 | 9 |
| Total | 9 | 31 | 9 |
Moda: la frecuencia más alta es 4, por lo tanto la moda es 2.
Mediana: como \(n=9\), la mediana es la posición 5. Según la frecuencia acumulada, la posición 5 cae en el valor 3.
\[ \text{Mediana}=3 \]
Media:
\[ \bar{x}=\dfrac{31}{9}\approx 3{,}44 \]
Conclusión: en esta tabla, media, mediana y moda son distintas. Cada una describe un aspecto diferente del conjunto.
- Calcular la media sumando solo los valores y olvidando multiplicar por sus frecuencias.
- Confundir la moda con el valor mayor de la tabla.
- Buscar la mediana sin considerar la frecuencia acumulada.
- En cantidad par de datos, olvidar promediar las dos posiciones centrales.
En contextos reales, como resultados de pruebas, tiempos de viaje o número de hijos por familia, las tres medidas pueden contar historias distintas. La moda muestra lo más frecuente, la mediana muestra el centro del conjunto y la media resume globalmente todos los datos. En PAES M1 es común que te pidan decidir cuál describe mejor la situación.
Ejercicios de práctica
- En la tabla \(x: 1,2,3\) con frecuencias \(f: 2,5,1\), determina la moda.
- En la tabla \(x: 2,4,6\) con frecuencias \(f: 3,2,1\), calcula la media.
- En la tabla \(x: 1,2,3,4\) con frecuencias \(f: 1,2,3,2\), calcula la moda.
- En la tabla \(x: 3,4,5\) con frecuencias \(f: 2,4,2\), determina la mediana.
- Construye la columna \(x\cdot f\) para la tabla \(x: 2,3,5\) con frecuencias \(f: 4,1,2\).
- En la tabla \(x: 0,1,2,3\) con frecuencias \(f: 1,3,4,2\), calcula la media.
- En la tabla \(x: 4,5,6,7\) con frecuencias \(f: 2,3,2,1\), calcula la mediana.
- En la tabla \(x: 1,2,6\) con frecuencias \(f: 4,3,1\), calcula media, mediana y moda.
- Explica con tus palabras cómo se obtiene la moda en una tabla de frecuencias.
- Explica con tus palabras cómo se obtiene la mediana en una tabla de frecuencias.
- En la tabla \(x: 2,3,4,10\) con frecuencias \(f: 3,3,2,1\), calcula media, mediana y moda.
- ¿Cuál medida central representa mejor el conjunto del ejercicio anterior? Justifica brevemente.
- La frecuencia mayor es \(5\), que corresponde al valor \(2\).
\[ \text{Moda}=2 \] - \[ \bar{x}=\dfrac{2\cdot 3+4\cdot 2+6\cdot 1}{3+2+1} =\dfrac{6+8+6}{6} =\dfrac{20}{6} =\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33 \]
- La mayor frecuencia es \(3\), correspondiente al valor \(3\).
\[ \text{Moda}=3 \] - Total de datos: \[ n=2+4+2=8 \] Las posiciones centrales son la 4 y la 5. Ambas caen en el valor 4, por lo tanto: \[ \text{Mediana}=4 \]
- \[ 2\cdot 4=8,\quad 3\cdot 1=3,\quad 5\cdot 2=10 \] Entonces la columna \(x\cdot f\) es: \(8,3,10\).
- \[ \bar{x}=\dfrac{0\cdot 1+1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 2}{1+3+4+2} =\dfrac{0+3+8+6}{10} =\dfrac{17}{10}=1{,}7 \]
- Total: \[ n=2+3+2+1=8 \] Las posiciones 4 y 5 caen en el valor 5, entonces: \[ \text{Mediana}=5 \]
- Total: \[ n=4+3+1=8 \] Moda: la mayor frecuencia es 4, entonces la moda es 1.
Mediana: las posiciones 4 y 5 son 1 y 2, entonces: \[ \text{Mediana}=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5 \] Media: \[ \bar{x}=\dfrac{1\cdot 4+2\cdot 3+6\cdot 1}{8} =\dfrac{4+6+6}{8} =\dfrac{16}{8}=2 \] - Se obtiene buscando el valor que tiene la frecuencia absoluta más alta, es decir, el dato que más se repite en la tabla.
- Se obtiene ubicando la posición central del total de datos y observando, con ayuda de la frecuencia acumulada, en qué valor cae esa posición.
- Total: \[ n=3+3+2+1=9 \] Moda: las mayores frecuencias son 3 y 3, por lo tanto las modas son 2 y 3.
Mediana: la posición central es la 5. Esa posición cae en el valor 3, entonces: \[ \text{Mediana}=3 \] Media: \[ \bar{x}=\dfrac{2\cdot 3+3\cdot 3+4\cdot 2+10\cdot 1}{9} =\dfrac{6+9+8+10}{9} =\dfrac{33}{9} =\dfrac{11}{3}\approx 3{,}67 \] - Una buena respuesta es que la mediana describe mejor el centro del conjunto, porque el valor 10 eleva la media y hace que se aleje un poco de la mayor parte de los datos.
Cuando una tabla incluye valores extremos, conviene comparar la media con la mediana. Si la media se aleja bastante del centro de los datos, la mediana suele representar mejor al grupo.
Ejercicios tipo PAES
- La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta:
¿Cuál es la moda?Valor \(f\) 1 2 2 5 3 1 - \(2\)
- \(1\)
- \(3\)
- \(8\)
- En una tabla de frecuencias, los valores son \(2,\ 4,\ 6\) y sus frecuencias son \(1,\ 2,\ 1\). La media es:
- \(4\)
- \(3\)
- \(4{,}5\)
- \(5\)
- La tabla siguiente resume 7 datos:
¿Cuál es la mediana?Valor \(f\) 2 3 4 2 5 2 - \(5\)
- \(3\)
- \(2\)
- \(4\)
- En la tabla \(x: 1,2,3,4\) con frecuencias \(f: 2,4,1,1\), ¿cuál afirmación es correcta?
- La moda es 4.
- La media es 2.
- La mediana es 3.
- No existe moda.
- En la tabla \(x: 2,3,8\) con frecuencias \(f: 4,3,1\), la comparación correcta entre medidas es:
- Media = mediana = moda
- Moda \(=2\), mediana \(=2{,}5\), media \(=3{,}125\)
- Moda \(=3\), mediana \(=3\), media \(=2\)
- Moda \(=2\), mediana \(=2\), media \(=3{,}125\)
- En una tabla de frecuencias, un valor extremo alto hace que:
- la moda siempre cambie
- la mediana deje de existir
- la media pueda aumentar más que la mediana
- las tres medidas sean siempre iguales
- La frecuencia mayor es \(5\), correspondiente al valor \(2\).
\[ \text{Moda}=2 \] Respuesta correcta: A - \[ \bar{x}=\dfrac{2\cdot 1+4\cdot 2+6\cdot 1}{1+2+1} =\dfrac{2+8+6}{4} =\dfrac{16}{4}=4 \] Respuesta correcta: A
- Total de datos: \[ n=3+2+2=7 \] La posición central es: \[ \dfrac{7+1}{2}=4 \] Las posiciones 1, 2 y 3 corresponden al valor 2. La posición 4 corresponde al valor 4. \[ \text{Mediana}=4 \] Respuesta correcta: D
- Total: \[ n=2+4+1+1=8 \] Moda: la frecuencia más alta es 4, por lo tanto la moda es 2.
Media: \[ \bar{x}=\dfrac{1\cdot 2+2\cdot 4+3\cdot 1+4\cdot 1}{8} =\dfrac{2+8+3+4}{8} =\dfrac{17}{8}=2{,}125 \] Mediana: las posiciones 4 y 5 caen en el valor 2, entonces la mediana es 2.
La afirmación correcta es que la media es cercana a 2, pero la única afirmación exacta entre las opciones es:
Respuesta correcta: B - Total: \[ n=4+3+1=8 \] Moda: la mayor frecuencia es 4, así que la moda es 2.
Mediana: las posiciones 4 y 5 son 2 y 3, por lo tanto: \[ \text{Mediana}=\dfrac{2+3}{2}=2{,}5 \] Media: \[ \bar{x}=\dfrac{2\cdot 4+3\cdot 3+8\cdot 1}{8} =\dfrac{8+9+8}{8} =\dfrac{25}{8}=3{,}125 \] Respuesta correcta: B - Un valor extremo alto puede arrastrar la media hacia arriba, mientras la mediana suele cambiar menos.
Respuesta correcta: C
En preguntas tipo PAES, no basta con hacer cuentas. También debes revisar si las alternativas son coherentes con los cálculos. La moda depende de la frecuencia más alta, la mediana depende de la posición central y la media depende de todos los datos.