Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín
Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín
Inicio
En la clase anterior estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio. Ahora daremos un paso más: veremos cómo escribir una ecuación de la recta y cómo esta se relaciona con las funciones lineales y afines.
La idea central es que una recta no solo se puede observar en un gráfico, sino también describir mediante una expresión algebraica que permite reconocer su pendiente y su ubicación en el plano.
Objetivo de la página
- Reconocer la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\).
- Relacionar la pendiente con el coeficiente \(m\).
- Interpretar el coeficiente \(n\) como intersección con el eje \(y\).
- Distinguir entre función lineal y función afín.
Al finalizar esta página deberías poder
- Identificar la pendiente y la intersección con el eje \(y\) en una recta.
- Reconocer cuándo una recta corresponde a una función lineal o a una función afín.
- Escribir la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su corte con el eje \(y\).
- Interpretar ecuaciones de rectas en forma gráfica y contextual.
Forma de la ecuación de una recta
Una forma muy importante de escribir la ecuación de una recta es:
\[ y=mx+n \]
donde:
- \(m\) representa la pendiente,
- \(n\) representa la intersección con el eje \(y\).
Lectura de los coeficientes
En la ecuación \(y=mx+n\):
- el número \(m\) indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad,
- el número \(n\) indica el valor de \(y\) cuando \(x=0\).
Por eso, \(n\) corresponde al punto donde la recta corta al eje \(y\):
\[ (0,n) \]
Función lineal y función afín
Cuando una recta tiene ecuación:
\[ y=mx \]
decimos que corresponde a una función lineal. En este caso, la recta pasa por el origen \((0,0)\).
Cuando la recta tiene ecuación:
\[ y=mx+n \qquad \text{con } n\neq 0 \]
decimos que corresponde a una función afín. En este caso, la recta no pasa por el origen.
Idea clave
La pendiente determina la inclinación de la recta, mientras que la intersección con el eje \(y\) determina dónde queda ubicada verticalmente en el plano.
Error frecuente
No toda recta es una función lineal.
Solo las rectas que pasan por el origen tienen forma \(y=mx\). Si una recta tiene forma \(y=mx+n\) con \(n\neq 0\), corresponde a una función afín.
Resumen conceptual
| Expresión | Tipo o elemento | Interpretación |
|---|---|---|
| \(y=mx\) | Función lineal | Pasa por el origen |
| \(y=mx+n\), con \(n\neq 0\) | Función afín | Corta al eje \(y\) en \((0,n)\) |
| \(m\) | Pendiente | Indica inclinación o tasa de cambio |
| \(n\) | Coeficiente de posición | Indica intersección con el eje \(y\) |
Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta
Consideremos la recta:
\[ y=2x+3 \]
Comparando con la forma \(y=mx+n\), se observa que:
\[ m=2 \qquad\text{y}\qquad n=3 \]
- La pendiente es \(2\), por lo tanto la recta es creciente.
- La intersección con el eje \(y\) es \(3\).
Eso significa que cuando \(x=0\), se cumple:
\[ y=2\cdot 0+3=3 \]
Entonces la recta corta al eje \(y\) en el punto \((0,3)\).
Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín
Comparemos las funciones:
\[ y=2x \qquad\text{y}\qquad y=2x+3 \]
Ambas rectas tienen la misma pendiente:
\[ m=2 \]
Por eso tienen la misma inclinación.
Pero no están en la misma posición:
- \(y=2x\) pasa por el origen, por lo tanto es una función lineal.
- \(y=2x+3\) corta al eje \(y\) en \(3\), por lo tanto es una función afín.
Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección
Supongamos que una recta tiene pendiente \(m=-1\) y corta al eje \(y\) en \(4\).
Usamos la forma:
\[ y=mx+n \]
Reemplazando \(m=-1\) y \(n=4\):
\[ y=-1x+4 \]
Como \(-1x=-x\), la ecuación queda:
\[ y=-x+4 \]
La recta baja al avanzar hacia la derecha porque su pendiente es negativa.
Además, corta al eje \(y\) en el punto \((0,4)\).
Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 8 | 11 | 14 |
Cuando \(x\) aumenta en \(1\), el valor de \(y\) aumenta en \(3\).
Por lo tanto, la pendiente es:
\[ m=3 \]
Además, cuando \(x=0\), se tiene \(y=5\). Entonces:
\[ n=5 \]
La ecuación de la recta es:
\[ y=3x+5 \]
Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto
Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de un servicio está dado por:
\[ C(x)=4x+2 \]
donde \(x\) representa la cantidad de horas utilizadas.
- La pendiente es \(4\): por cada hora adicional, el costo aumenta en \(4\) miles de pesos.
- La intersección con el eje \(y\) es \(2\): existe un cobro fijo inicial de \(2\) miles de pesos.
Entonces, la ecuación de la recta permite interpretar simultáneamente un cambio por unidad y un valor inicial.
Cómo leer una recta desde su ecuación
Al ver una ecuación como \(y=mx+n\), conviene preguntarse:
- ¿cuál es la pendiente?
- ¿la recta sube o baja?
- ¿dónde corta al eje \(y\)?
- ¿pasa por el origen o no?
Estas preguntas ayudan a decidir si corresponde a una función lineal o afín y a interpretar su comportamiento gráfico.
Aplicación en el mundo real
Las ecuaciones de rectas aparecen en situaciones con cambio constante, como tarifas con cobro fijo y costo por unidad, temperatura que varía uniformemente, distancia recorrida con velocidad constante o consumo acumulado de recursos.
Ejercicios
Ejercicio 1
En la ecuación \(y=3x-2\), identifica:
- la pendiente,
- la intersección con el eje \(y\).
Comparamos \(y=3x-2\) con la forma general:
\[ y=mx+n \]
Se observa que:
\[ m=3 \qquad\text{y}\qquad n=-2 \]
La pendiente es \(3\) y la recta corta al eje \(y\) en \((0,-2)\).
Ejercicio 2
Indica si la función \(y=-4x\) es lineal o afín. Justifica.
La función \(y=-4x\) tiene la forma:
\[ y=mx \]
En este caso \(m=-4\) y no aparece un término independiente distinto de cero.
Es una función lineal, porque tiene la forma \(y=mx\) y pasa por el origen.
Ejercicio 3
Indica si la función \(y=5x+1\) es lineal o afín. Justifica.
La función \(y=5x+1\) tiene la forma:
\[ y=mx+n \]
Aquí \(m=5\) y \(n=1\). Como \(n\neq 0\), la recta no pasa por el origen.
Es una función afín.
Ejercicio 4
Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente \(2\) y corta al eje \(y\) en \(-3\).
Usamos la forma:
\[ y=mx+n \]
Como \(m=2\) y \(n=-3\), reemplazamos:
\[ y=2x+(-3) \]
La ecuación es \(y=2x-3\).
Ejercicio 5
Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente \(-1\) y corta al eje \(y\) en \(5\).
Usamos la forma:
\[ y=mx+n \]
Como \(m=-1\) y \(n=5\), reemplazamos:
\[ y=-1x+5 \]
Como \(-1x=-x\), queda:
\(y=-x+5\).
Ejercicio 6
Observa la tabla y determina la ecuación de la recta.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | -1 | 1 | 3 | 5 |
Cuando \(x\) aumenta en \(1\), los valores de \(y\) aumentan en \(2\):
\[ -1,\ 1,\ 3,\ 5 \]
Por lo tanto, la pendiente es:
\[ m=2 \]
Además, cuando \(x=0\), se tiene \(y=-1\), entonces:
\[ n=-1 \]
La ecuación de la recta es \(y=2x-1\).
Ejercicio 7
En la expresión \(C(x)=7x+4\), interpreta el significado de \(7\) y de \(4\) en un contexto de costo.
La expresión tiene la forma:
\[ C(x)=mx+n \]
En este caso:
\[ m=7 \qquad\text{y}\qquad n=4 \]
El \(7\) representa el costo por cada unidad adicional.
El \(4\) representa un costo fijo inicial.
En miles de pesos, por ejemplo, significaría un cobro fijo de \(4\) mil pesos más \(7\) mil pesos por cada unidad.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Toda recta de la forma \(y=mx+n\) es lineal”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Una función lineal debe tener la forma:
\[ y=mx \]
Esto ocurre solo cuando \(n=0\). Si \(n\neq 0\), la función tiene la forma \(y=mx+n\) y corresponde a una función afín.
Por lo tanto, no toda recta de la forma \(y=mx+n\) es lineal.
Ejercicio 9
Observa las rectas y clasifica cada una como función lineal o función afín.
- \(r: y=x\) es función lineal, porque tiene la forma \(y=mx\) y pasa por el origen.
- \(s: y=-x+3\) es función afín, porque tiene \(n=3\), con \(n\neq 0\).
- \(t: y=2x-2\) es función afín, porque tiene \(n=-2\), con \(n\neq 0\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En la ecuación \(y=-2x+5\), la pendiente es:
- \(-2\)
- 5
- 2
- \(-5\)
Comparamos \(y=-2x+5\) con \(y=mx+n\).
El coeficiente que acompaña a \(x\) es \(-2\), por lo tanto:
\[ m=-2 \]
Alternativa correcta: a.
PAES 2
En la ecuación \(y=-2x+5\), la recta corta al eje \(y\) en:
- \(-2\)
- 0
- 5
- 7
En la forma \(y=mx+n\), el número \(n\) indica el corte con el eje \(y\).
En \(y=-2x+5\), se tiene:
\[ n=5 \]
Por lo tanto, la recta corta al eje \(y\) en \((0,5)\).
Alternativa correcta: c.
PAES 3
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?
- \(y=3x+1\)
- \(y=-x+4\)
- \(y=2x\)
- \(y=5\)
Una función lineal tiene la forma \(y=mx\), es decir, no tiene término independiente distinto de cero.
La única alternativa con esa forma es:
\[ y=2x \]
Alternativa correcta: c.
PAES 4
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función afín?
- \(y=4x\)
- \(y=-3x\)
- \(y=x\)
- \(y=2x-1\)
Una función afín tiene la forma \(y=mx+n\), con \(n\neq 0\).
En \(y=2x-1\), el término independiente es \(-1\), que es distinto de cero.
Alternativa correcta: d.
PAES 5
La recta con pendiente \(3\) e intersección con el eje \(y\) igual a \(-2\) tiene ecuación:
- \(y=-2x+3\)
- \(y=3x-2\)
- \(y=2x-3\)
- \(y=3x+2\)
Usamos la forma:
\[ y=mx+n \]
Como \(m=3\) y \(n=-2\), reemplazamos:
\[ y=3x-2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 6
Si una recta tiene ecuación \(y=-x+4\), entonces su pendiente indica que la recta es:
- horizontal
- vertical
- creciente
- decreciente
En la ecuación \(y=-x+4\), la pendiente es:
\[ m=-1 \]
Como la pendiente es negativa, la recta baja al avanzar hacia la derecha.
Alternativa correcta: d.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\) y su relación con las funciones lineales y afines.
Vimos que la pendiente \(m\) describe la inclinación de la recta y que el coeficiente \(n\) indica dónde corta al eje \(y\).
En la siguiente clase trabajaremos con condiciones de paralelismo e intersección entre rectas, usando justamente estas ideas sobre pendiente y ecuación.
Para recordar
- \(y=mx+n\) es una forma importante de la ecuación de la recta.
- \(m\) es la pendiente.
- \(n\) es la intersección con el eje \(y\), es decir, el punto \((0,n)\).
- \(y=mx\) es función lineal.
- \(y=mx+n\), con \(n\neq 0\), es función afín.