Rectas y circunferencias en el plano
4. Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas
Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas
En la clase anterior estudiamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\), identificando la pendiente y la intersección con el eje \(y\).
Ahora usaremos esas ideas para comparar rectas y decidir si son paralelas, si se intersectan o si, en realidad, representan la misma recta.
Objetivo de la página
- Reconocer las condiciones de paralelismo entre rectas.
- Determinar cuándo dos rectas se intersectan.
- Encontrar el punto de intersección entre dos rectas.
- Interpretar geométrica y algebraicamente la relación entre pendientes e intersecciones.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Decidir si dos rectas son paralelas comparando sus pendientes.
- Reconocer que si dos rectas tienen pendientes distintas, entonces se cortan.
- Identificar cuándo dos ecuaciones representan la misma recta.
- Calcular el punto de intersección entre dos rectas sencillas.
Si dos rectas tienen ecuaciones:
\[ y=m_1x+n_1 \qquad\text{y}\qquad y=m_2x+n_2 \]
entonces son paralelas si cumplen:
\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1\neq n_2 \]
Es decir, tienen la misma pendiente, pero cortan al eje \(y\) en puntos distintos.
Dos rectas se intersectan si tienen pendientes distintas:
\[ m_1\neq m_2 \]
En ese caso existe un único punto en común.
Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje \(y\), entonces:
\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2 \]
no son dos rectas distintas, sino la misma recta.
La pendiente decide la inclinación. Por eso:
- si la inclinación es la misma, las rectas no se cruzan,
- si la inclinación es distinta, en algún punto se cortan.
No basta con mirar solo el número independiente.
Para decidir si dos rectas son paralelas, primero hay que comparar sus pendientes. Dos rectas con números independientes distintos no siempre son paralelas.
Resumen conceptual
| Relación entre rectas | Condición | Consecuencia geométrica |
|---|---|---|
| Paralelas | \(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\) | No se cortan |
| Secantes | \(m_1\neq m_2\) | Se cortan en un punto |
| Coincidentes | \(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\) | Son la misma recta |
Ejemplo guiado 1: rectas paralelas
Comparemos las rectas:
\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=2x-3 \]
Ambas tienen pendiente 2:
\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=2 \]
Pero sus intersecciones con el eje \(y\) son distintas:
\[ n_1=1 \qquad\text{y}\qquad n_2=-3 \]
Por lo tanto, son paralelas.
Representación gráfica
Se observa que tienen la misma inclinación y nunca se cruzan.
Ejemplo guiado 2: rectas que se intersectan
Comparemos ahora las rectas:
\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]
Sus pendientes son distintas:
\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=-1 \]
Por lo tanto, las rectas se intersectan en un único punto.
Para encontrarlo, igualamos ambas expresiones de \(y\):
\[ 2x+1=-x+4 \]
\[ 3x=3 \]
\[ x=1 \]
Reemplazando en una de las rectas:
\[ y=2(1)+1=3 \]
Entonces el punto de intersección es:
\[ (1,3) \]
Representación gráfica
Ejemplo guiado 3: misma recta escrita de dos formas
Consideremos las ecuaciones:
\[ y=3x-2 \qquad\text{y}\qquad y=3x-2 \]
En este caso, ambas ecuaciones son exactamente iguales.
Entonces tienen:
\[ m_1=m_2=3 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2=-2 \]
No representan dos rectas distintas, sino la misma recta.
Por eso no hablamos de paralelismo ni de intersección en un solo punto, sino de rectas coincidentes.
Ejemplo guiado 4: interpretación geométrica rápida
Si dos rectas tienen la misma pendiente, comparten la misma inclinación.
Eso produce tres posibilidades:
- si cortan al eje \(y\) en puntos distintos, son paralelas,
- si cortan al eje \(y\) en el mismo punto, son la misma recta,
- si las pendientes son distintas, se cruzan.
Esta lectura permite decidir rápidamente la relación entre rectas sin necesidad de dibujarlas siempre.
Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto
Supongamos dos planes de cobro:
\[ C_1(x)=3x+4 \qquad\text{y}\qquad C_2(x)=3x+1 \]
Ambos planes aumentan 3 unidades por cada unidad consumida, por eso tienen la misma pendiente.
Sin embargo, uno parte con costo fijo 4 y el otro con costo fijo 1.
Geométricamente, las rectas son paralelas; en contexto, eso significa que ambos planes crecen al mismo ritmo, pero parten desde valores iniciales distintos.
Cuando tengas dos rectas de la forma \(y=mx+n\), revisa este orden:
- compara las pendientes,
- si son iguales, compara la intersección con el eje \(y\),
- si son distintas, concluye que se intersectan.
Comparar rectas permite analizar tarifas, tendencias, ritmos de cambio y momentos en que dos situaciones alcanzan el mismo valor.
El punto de intersección puede representar, por ejemplo, el instante en que dos costos se igualan o cuando dos magnitudes tienen el mismo valor.
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina si las rectas \(y=4x+1\) e \(y=4x-3\) son paralelas, secantes o coincidentes.
Tienen la misma pendiente \(m=4\) y distinta intersección con el eje \(y\).
Son paralelas.
Ejercicio 2
Determina si las rectas \(y=-2x+5\) e \(y=x-1\) son paralelas, secantes o coincidentes.
Sus pendientes son distintas: \(-2\) y \(1\).
Son secantes, es decir, se intersectan.
Ejercicio 3
Calcula el punto de intersección entre las rectas:
\[ y=x+2 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]
Igualamos:
\[ x+2=-x+4 \]
\[ 2x=2 \Rightarrow x=1 \]
Reemplazando:
\[ y=1+2=3 \]
El punto de intersección es:
\[ (1,3) \]
Ejercicio 4
Determina si las ecuaciones \(y=2x-1\) e \(y=2x-1\) representan rectas paralelas, secantes o coincidentes.
Tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje \(y\).
Son coincidentes.
Ejercicio 5
Explica por qué dos rectas con pendientes distintas no pueden ser paralelas.
Porque la pendiente determina la inclinación.
Si las pendientes son distintas, las rectas tienen inclinaciones distintas y por eso se cruzan en algún punto.
Ejercicio 6
Dos rectas tienen ecuaciones \(y=5x+2\) e \(y=5x-4\). ¿Qué tienen en común y qué tienen de diferente?
Tienen en común la misma pendiente \(m=5\), por lo tanto la misma inclinación.
Se diferencian en la intersección con el eje \(y\): una corta en 2 y la otra en \(-4\).
Por eso son paralelas.
Ejercicio 7
Encuentra el punto de intersección entre:
\[ y=3x \qquad\text{y}\qquad y=x+4 \]
Igualamos:
\[ 3x=x+4 \]
\[ 2x=4 \Rightarrow x=2 \]
Reemplazando:
\[ y=3\cdot 2=6 \]
El punto de intersección es:
\[ (2,6) \]
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si dos rectas tienen el mismo número independiente, entonces siempre son paralelas”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
Para que sean paralelas deben tener la misma pendiente. Compartir el mismo número independiente solo significa que cortan al eje \(y\) en el mismo punto.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál es la condición para que dos rectas de la forma \(y=mx+n\) sean paralelas?
- Tener el mismo número independiente
- Tener pendientes distintas
- Tener la misma pendiente y distinta intersección con el eje \(y\)
- Cortar al eje \(x\) en el mismo punto
Alternativa correcta: c
PAES 2
Las rectas \(y=2x+1\) e \(y=2x-5\) son:
- secantes
- paralelas
- coincidentes
- verticales
Tienen la misma pendiente y distinto número independiente.
Alternativa correcta: b
PAES 3
Las rectas \(y=-x+2\) e \(y=3x-1\) son:
- paralelas
- coincidentes
- secantes
- horizontales
Sus pendientes son distintas: \(-1\) y \(3\).
Alternativa correcta: c
PAES 4
El punto de intersección entre \(y=x+1\) e \(y=-x+5\) es:
- \((1,4)\)
- \((2,3)\)
- \((3,2)\)
- \((4,1)\)
Igualando:
\[ x+1=-x+5 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2 \]
\[ y=2+1=3 \]
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página estudiamos las condiciones de paralelismo e intersección entre rectas.
Vimos que la pendiente es la herramienta principal para comparar rectas: si es igual, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes; si es distinta, necesariamente se cortan.
En la siguiente clase trabajaremos el paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta.
- Si \(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\), las rectas son paralelas.
- Si \(m_1\neq m_2\), las rectas se intersectan.
- Si \(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\), son la misma recta.
- El punto de intersección se obtiene igualando las ecuaciones.