Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
2. Pendiente e interpretación
Pendiente e interpretación
Inicio
En la clase anterior recordamos el plano cartesiano y la lectura geométrica de rectas. Ahora profundizaremos en una idea central: la pendiente.
La pendiente permite describir qué tan inclinada está una recta y, sobre todo, interpretar cómo cambia una variable respecto de otra.
Objetivo de la página
- Comprender la pendiente como medida de inclinación de una recta.
- Calcular la pendiente a partir de dos puntos.
- Interpretar el signo y el valor de la pendiente.
- Relacionar pendiente con rectas crecientes, decrecientes y horizontales.
Al finalizar esta página deberías poder
- Calcular la pendiente usando coordenadas.
- Explicar qué significa una pendiente positiva, negativa o nula.
- Comparar rectas según su inclinación.
- Interpretar la pendiente en situaciones simples de cambio.
Definición
La pendiente de una recta se representa normalmente con la letra \(m\).
Si una recta pasa por dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), con \(x_1\neq x_2\), su pendiente se calcula con:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Es decir:
\[ m=\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} \]
Lectura intuitiva
- Si \(m>0\), la recta es creciente.
- Si \(m<0\), la recta es decreciente.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal.
- Si la recta es vertical, su pendiente no está definida.
Idea clave
La pendiente indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad.
Por ejemplo, si \(m=2\), significa que por cada 1 unidad que avanza \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.
Error frecuente
No hay que restar “cruzado”.
Si en el numerador haces \(y_2-y_1\), en el denominador debes hacer \(x_2-x_1\), respetando el mismo orden.
Por ejemplo, con \(A(1,4)\) y \(B(3,8)\), es correcto calcular \(\dfrac{8-4}{3-1}\), pero no \(\dfrac{8-4}{1-3}\), porque ahí se cambió el orden solo en el denominador.
Resumen conceptual
| Tipo de recta | Pendiente | Interpretación |
|---|---|---|
| Creciente | \(m>0\) | Sube al avanzar hacia la derecha |
| Decreciente | \(m<0\) | Baja al avanzar hacia la derecha |
| Horizontal | \(m=0\) | La altura no cambia |
| Vertical | No definida | No hay avance horizontal |
Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos
Consideremos los puntos \(A(1,1)\) y \(B(3,5)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ m=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
La pendiente es \(2\).
Esto significa que por cada 1 unidad que aumenta \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.
Como la pendiente es positiva, la recta es creciente.
Ejemplo guiado 2: comparar pendientes
Comparemos las rectas:
\[ y=2x+1,\qquad y=\frac{1}{2}x+1,\qquad y=-x+1 \]
- \(y=2x+1\) tiene pendiente \(m=2\): sube rápido.
- \(y=\frac{1}{2}x+1\) tiene pendiente \(m=\frac{1}{2}\): también sube, pero más lentamente.
- \(y=-x+1\) tiene pendiente \(m=-1\): baja al avanzar hacia la derecha.
Entonces, el valor absoluto de la pendiente también ayuda a describir qué tan inclinada está una recta: mientras mayor sea \(|m|\), mayor es la inclinación respecto del eje \(x\).
Ejemplo guiado 3: pendiente nula
Consideremos la recta:
\[ y=3 \]
En esta recta, aunque \(x\) cambie, el valor de \(y\) se mantiene siempre en \(3\).
Por eso su pendiente es:
\[ m=0 \]
Geométricamente, es una recta horizontal.
Ejemplo guiado 4: pendiente no definida
Consideremos ahora una recta vertical, por ejemplo:
\[ x=2 \]
En una recta vertical, el valor de \(x\) no cambia.
Si tomamos dos puntos de esta recta, por ejemplo \(A(2,-2)\) y \(B(2,3)\), el cambio horizontal es:
\[ x_2-x_1=2-2=0 \]
Entonces, en la fórmula de la pendiente aparecería una división por cero:
\[ m=\frac{3-(-2)}{2-2}=\frac{5}{0} \]
Como no se puede dividir por \(0\), la pendiente de una recta vertical no está definida.
Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto
Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de cierta compra está dado por:
\[ C(x)=4x+3 \]
donde \(x\) representa la cantidad de artículos comprados.
La pendiente es \(4\).
Eso significa que por cada artículo adicional, el costo total aumenta en \(4\) miles de pesos.
El número \(3\) indica un costo inicial fijo de \(3\) miles de pesos.
Aquí la pendiente ya no solo se interpreta como inclinación geométrica, sino también como tasa de cambio.
Lectura de la pendiente
Cuando veas una recta, puedes hacerte estas preguntas:
- ¿sube o baja?
- ¿sube mucho o poco?
- ¿se mantiene horizontal?
- ¿es vertical?
Todas esas preguntas están relacionadas con la pendiente.
Aplicación en el mundo real
La pendiente puede representar velocidad, precio por unidad, variación de temperatura, altura ganada por unidad de recorrido y muchas otras tasas de cambio.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(2,1)\) y \(B(5,7)\).
Usamos la fórmula:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Con \(A(2,1)\) y \(B(5,7)\):
\[ m=\frac{7-1}{5-2}=\frac{6}{3}=2 \]
La pendiente es \(m=2\). La recta es creciente.
Ejercicio 2
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(-1,4)\) y \(B(3,2)\).
Aplicamos la fórmula de la pendiente:
\[ m=\frac{2-4}{3-(-1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \]
La pendiente es \(m=-\frac{1}{2}\). Como es negativa, la recta es decreciente.
Ejercicio 3
Indica si una recta con pendiente \(m=3\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.
Como \(m=3\) y \(3>0\), la pendiente es positiva.
Por lo tanto, la recta es creciente.
Ejercicio 4
Indica si una recta con pendiente \(m=-2\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.
Como \(m=-2\) y \(-2<0\), la pendiente es negativa.
Por lo tanto, la recta es decreciente.
Ejercicio 5
¿Cuál es la pendiente de la recta \(y=5\)? Explica brevemente.
La recta \(y=5\) es horizontal, porque todos sus puntos tienen la misma coordenada \(y\).
Si \(y\) no cambia, entonces el cambio vertical es \(0\).
\[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0 \]
La pendiente de \(y=5\) es \(m=0\).
Ejercicio 6
¿La recta \(x=-3\) tiene pendiente definida? Justifica.
La recta \(x=-3\) es vertical, porque todos sus puntos tienen el mismo valor de \(x\).
En una recta vertical no hay cambio horizontal:
\[ \Delta x=0 \]
Entonces la pendiente tendría una división por cero:
\[ m=\frac{\Delta y}{0} \]
Por lo tanto, la recta \(x=-3\) no tiene pendiente definida.
Ejercicio 7
En una situación, la expresión \(y=6x+2\) modela el valor de una variable. Interpreta la pendiente en contexto.
En la expresión \(y=6x+2\), el número que acompaña a \(x\) es \(6\).
Por lo tanto, la pendiente es:
\[ m=6 \]
Esto significa que por cada unidad que aumenta \(x\), la variable \(y\) aumenta 6 unidades.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Si una recta tiene pendiente pequeña, entonces siempre es decreciente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Una pendiente puede ser pequeña y positiva, por ejemplo:
\[ m=0{,}2 \]
Como \(0{,}2>0\), una recta con esa pendiente es creciente, aunque suba lentamente.
Para saber si una recta es creciente o decreciente, importa el signo de la pendiente, no solo si su valor parece pequeño.
Ejercicio 9
Observa las rectas representadas y responde cuál tiene mayor pendiente.
La recta \(r\) tiene ecuación \(y=x+1\), por lo tanto su pendiente es:
\[ m_r=1 \]
La recta \(s\) tiene ecuación \(y=2x-1\), por lo tanto su pendiente es:
\[ m_s=2 \]
Como \(2>1\), la recta \(s\) tiene mayor pendiente.
La recta con mayor pendiente es \(s: y=2x-1\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La pendiente de la recta que pasa por \((1,2)\) y \((3,6)\) es:
- 1
- 2
- 3
- 4
Calculamos:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 2
Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:
- sube al avanzar hacia la derecha
- baja al avanzar hacia la derecha
- es horizontal
- es vertical
Una pendiente negativa indica que, al avanzar hacia la derecha, el valor de \(y\) disminuye.
Alternativa correcta: b.
PAES 3
La recta \(y=4\) tiene pendiente:
- \(-4\)
- 0
- 1
- No definida
La recta \(y=4\) es horizontal, ya que el valor de \(y\) se mantiene constante.
Toda recta horizontal tiene pendiente \(0\).
Alternativa correcta: b.
PAES 4
¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente no definida?
- \(y=-2\)
- \(y=x+1\)
- \(x=5\)
- \(y=3x\)
Las rectas de la forma \(x=k\) son verticales.
En una recta vertical no hay cambio horizontal, por lo que su pendiente no está definida.
Alternativa correcta: c.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio.
Vimos cómo calcularla a partir de dos puntos y cómo interpretar su signo y su valor en distintos tipos de rectas.
En la siguiente clase relacionaremos esta idea con la ecuación de la recta y su vínculo con la función lineal y afín.
Para recordar
- \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), siempre que \(x_1\neq x_2\).
- Si \(m>0\), la recta es creciente.
- Si \(m<0\), la recta es decreciente.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal.
- Las rectas verticales no tienen pendiente definida.