5. Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

En la clase anterior trabajamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\), identificando la pendiente y la intersección con el eje \(y\).

Ahora aprenderemos a pasar entre dos formas habituales de escribir una recta:

  • la ecuación cartesiana, de la forma \(y=mx+n\),
  • la ecuación general, de la forma \(Ax+By+C=0\).

Ambas representan la misma recta, pero cada una resulta más útil en distintos contextos.

Objetivo de la página

  • Reconocer la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.
  • Transformar una ecuación cartesiana en ecuación general.
  • Transformar una ecuación general en ecuación cartesiana, cuando sea posible.
  • Interpretar qué información geométrica aporta cada forma.

Al finalizar esta página deberías poder:

  • Identificar si una ecuación está en forma cartesiana o general.
  • Reescribir una recta de una forma a otra.
  • Reconocer cuándo una recta no puede escribirse como \(y=mx+n\).
  • Relacionar ambas expresiones con la misma recta en el plano.
📐 Dos formas de escribir una recta

Ecuación cartesiana:

\[ y=mx+n \]

donde:

  • \(m\) es la pendiente,
  • \(n\) es la intersección con el eje \(y\).

Ecuación general:

\[ Ax+By+C=0 \]

donde \(A\), \(B\) y \(C\) son números reales, con \(A\) y \(B\) no ambos nulos.

📐 ¿Cómo pasar de una forma a otra?

De cartesiana a general: se trasladan todos los términos a un solo lado de la igualdad.

Por ejemplo:

\[ y=2x+3 \]

\[ 2x-y+3=0 \]

De general a cartesiana: se despeja \(y\), siempre que el término en \(y\) no desaparezca.

Por ejemplo:

\[ 3x+2y-6=0 \]

\[ 2y=-3x+6 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+3 \]

💡 Idea clave

La ecuación cartesiana permite leer con facilidad la pendiente y el corte con el eje \(y\).

La ecuación general es más amplia, porque también permite representar rectas verticales, como por ejemplo:

\[ x-2=0 \]

⚠️ Error frecuente

Al pasar de una forma a otra, hay que cuidar los signos.

Por ejemplo, de \(y=2x+3\) no se obtiene \(2x+y+3=0\), sino:

\[ 2x-y+3=0 \]

porque al mover \(y\) al otro lado cambia de signo.

Resumen conceptual

Forma Expresión Ventaja principal
Cartesiana \(y=mx+n\) Permite leer pendiente e intersección con el eje \(y\)
General \(Ax+By+C=0\) Representa todas las rectas, incluidas las verticales

Ejemplo guiado 1: pasar de cartesiana a general

Consideremos la recta:

\[ y=2x+1 \]

Queremos escribirla en forma general. Para ello, trasladamos todo al mismo lado:

\[ y=2x+1 \]

\[ 2x-y+1=0 \]

Entonces, la ecuación general es:

\[ 2x-y+1=0 \]

Representación gráfica

Ambas expresiones, \(y=2x+1\) y \(2x-y+1=0\), representan exactamente la misma recta.

Ejemplo guiado 2: pasar de general a cartesiana

Consideremos ahora la ecuación:

\[ 3x+2y-4=0 \]

Despejamos \(y\):

\[ 3x+2y-4=0 \]

\[ 2y=-3x+4 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]

Entonces, la ecuación cartesiana es:

\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]

Ahora podemos leer con facilidad:

  • pendiente: \(-\dfrac{3}{2}\),
  • intersección con el eje \(y\): \(2\).

Ejemplo guiado 3: misma recta en dos escrituras

Comparemos:

\[ y=-x+4 \qquad\text{y}\qquad x+y-4=0 \]

Si despejamos \(y\) en la segunda ecuación:

\[ x+y-4=0 \]

\[ y=-x+4 \]

Obtenemos exactamente la primera.

Por lo tanto, ambas ecuaciones corresponden a la misma recta.

Representación gráfica

Ejemplo guiado 4: una recta vertical

Consideremos la ecuación:

\[ x-2=0 \]

Esta ecuación equivale a:

\[ x=2 \]

Representa una recta vertical.

En este caso no es posible despejarla en la forma \(y=mx+n\), porque la recta vertical no tiene pendiente definida.

Esto muestra una ventaja de la ecuación general: permite escribir rectas que no son funciones de \(x\).

\(x-2=0\) \(x=2\) x y

Ejemplo guiado 5: interpretación rápida de ambas formas

Si una recta está en forma cartesiana \(y=mx+n\), conviene leer:

  • la pendiente,
  • el corte con el eje \(y\).

Si está en forma general \(Ax+By+C=0\), conviene decidir si se puede despejar \(y\).

  • si se puede, se puede pasar a cartesiana y leer mejor la pendiente,
  • si no se puede, probablemente se trata de una recta vertical.
🤓 ¿Para qué sirve cambiar de forma?

Cambiar entre ecuación cartesiana y general permite adaptar la recta al tipo de análisis que queremos hacer.

Si queremos interpretar inclinación e intersección con el eje \(y\), suele convenir la forma cartesiana. Si queremos una expresión más general, conviene la forma \(Ax+By+C=0\).

🌍 Aplicación en el mundo real

En problemas geométricos y analíticos, una misma recta puede aparecer escrita de distintas maneras. Saber cambiar de forma ayuda a comparar rectas, estudiar intersecciones y resolver problemas con mayor flexibilidad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Pasa la ecuación \(y=3x-2\) a forma general.

Ejercicio 2

Pasa la ecuación \(y=-2x+5\) a forma general.

Ejercicio 3

Pasa la ecuación \(4x+y-7=0\) a forma cartesiana.

Ejercicio 4

Pasa la ecuación \(2x-3y+6=0\) a forma cartesiana.

Ejercicio 5

Indica si la ecuación \(x+4=0\) puede escribirse en la forma \(y=mx+n\). Justifica.

Ejercicio 6

Escribe en forma general la recta \(y=\frac{1}{2}x+3\).

Ejercicio 7

Explica qué ventaja tiene la forma \(y=mx+n\) respecto de la forma general.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Toda ecuación general puede escribirse en forma cartesiana”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La forma general de la recta \(y=2x+3\) es:

  1. \(2x+y+3=0\)
  2. \(2x-y+3=0\)
  3. \(2x-y-3=0\)
  4. \(y-2x+3=0\)

PAES 2

La forma cartesiana de \(3x+y-5=0\) es:

  1. \(y=3x-5\)
  2. \(y=-3x+5\)
  3. \(y=5x-3\)
  4. \(y=-5x+3\)

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta vertical?

  1. \(y=4\)
  2. \(x=-2\)
  3. \(y=-2x+1\)
  4. \(y=\frac{1}{2}x\)

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

  1. Toda ecuación general representa una parábola.
  2. Toda recta vertical puede escribirse como \(y=mx+n\).
  3. La forma general puede representar rectas verticales.
  4. La forma cartesiana siempre es la única manera de escribir una recta.

Cierre

En esta página estudiamos el paso entre la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.

Vimos que ambas expresiones pueden representar la misma recta, pero que la forma cartesiana facilita la lectura de la pendiente y del corte con el eje \(y\), mientras que la forma general permite describir también rectas verticales.

En la siguiente clase comenzaremos a trabajar con circunferencias en el plano, identificando su centro y su radio a partir de su ecuación.

💡 Para recordar
  • Forma cartesiana: \(y=mx+n\)
  • Forma general: \(Ax+By+C=0\)
  • Para pasar de cartesiana a general, se llevan todos los términos a un lado.
  • Para pasar de general a cartesiana, se despeja \(y\), cuando sea posible.
  • Las rectas verticales no pueden escribirse en la forma \(y=mx+n\).