Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
6. Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta
Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta
Inicio
En la clase anterior trabajamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\), identificando la pendiente y la intersección con el eje \(y\).
Ahora aprenderemos a pasar entre dos formas habituales de escribir una recta:
- la ecuación cartesiana, de la forma \(y=mx+n\),
- la ecuación general, de la forma \(Ax+By+C=0\).
Ambas representan la misma recta, pero cada una resulta más útil en distintos contextos.
Objetivo de la página
- Reconocer la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.
- Transformar una ecuación cartesiana en ecuación general.
- Transformar una ecuación general en ecuación cartesiana, cuando sea posible.
- Interpretar qué información geométrica aporta cada forma.
Al finalizar esta página deberías poder
- Identificar si una ecuación está en forma cartesiana o general.
- Reescribir una recta de una forma a otra.
- Reconocer cuándo una recta no puede escribirse como \(y=mx+n\).
- Relacionar ambas expresiones con la misma recta en el plano.
Dos formas de escribir una recta
Ecuación cartesiana:
\[ y=mx+n \]
donde:
- \(m\) es la pendiente,
- \(n\) es la intersección con el eje \(y\).
Ecuación general:
\[ Ax+By+C=0 \]
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son números reales, con \(A\) y \(B\) no ambos nulos.
¿Cómo pasar de una forma a otra?
De cartesiana a general: se trasladan todos los términos a un solo lado de la igualdad.
Por ejemplo:
\[ y=2x+3 \]
\[ 2x-y+3=0 \]
De general a cartesiana: se despeja \(y\), siempre que el término en \(y\) no desaparezca.
Por ejemplo:
\[ 3x+2y-6=0 \]
\[ 2y=-3x+6 \]
\[ y=-\frac{3}{2}x+3 \]
Idea clave
La ecuación cartesiana permite leer con facilidad la pendiente y el corte con el eje \(y\).
La ecuación general es más amplia, porque también permite representar rectas verticales, como por ejemplo:
\[ x-2=0 \]
Error frecuente
Al pasar de una forma a otra, hay que cuidar los signos.
Por ejemplo, de \(y=2x+3\) no se obtiene \(2x+y+3=0\), sino:
\[ 2x-y+3=0 \]
porque al llevar \(y\) al otro lado cambia de signo.
Resumen conceptual
Comparación de formas
| Forma | Expresión | Ventaja principal |
|---|---|---|
| Cartesiana | \(y=mx+n\) | Permite leer pendiente e intersección con el eje \(y\) |
| General | \(Ax+By+C=0\) | Representa todas las rectas, incluidas las verticales |
Ejemplo guiado 1: pasar de cartesiana a general
Consideremos la recta:
\[ y=2x+1 \]
Queremos escribirla en forma general. Para ello, trasladamos todo al mismo lado:
\[ y=2x+1 \]
\[ y-2x-1=0 \]
Una forma equivalente, usualmente ordenada como \(Ax+By+C=0\), es:
\[ 2x-y+1=0 \]
Ambas expresiones, \(y=2x+1\) y \(2x-y+1=0\), representan exactamente la misma recta.
Ejemplo guiado 2: pasar de general a cartesiana
Consideremos ahora la ecuación:
\[ 3x+2y-4=0 \]
Despejamos \(y\):
\[ 3x+2y-4=0 \]
\[ 2y=-3x+4 \]
\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]
Ahora podemos leer con facilidad:
- pendiente: \(-\dfrac{3}{2}\),
- intersección con el eje \(y\): \(2\).
Ejemplo guiado 3: misma recta en dos escrituras
Comparemos:
\[ y=-x+4 \qquad\text{y}\qquad x+y-4=0 \]
Si despejamos \(y\) en la segunda ecuación:
\[ x+y-4=0 \]
\[ y=-x+4 \]
Obtenemos exactamente la primera ecuación. Por lo tanto, ambas ecuaciones corresponden a la misma recta.
Ejemplo guiado 4: una recta vertical
Consideremos la ecuación:
\[ x-2=0 \]
Esta ecuación equivale a:
\[ x=2 \]
Representa una recta vertical. En este caso no es posible despejarla en la forma \(y=mx+n\), porque la recta vertical no tiene pendiente definida.
Esto muestra una ventaja de la ecuación general: permite escribir rectas que no son funciones de \(x\).
Ejemplo guiado 5: interpretación rápida de ambas formas
Si una recta está en forma cartesiana \(y=mx+n\), conviene leer:
- la pendiente,
- el corte con el eje \(y\).
Si está en forma general \(Ax+By+C=0\), conviene decidir si se puede despejar \(y\).
- si se puede, se puede pasar a cartesiana y leer mejor la pendiente;
- si no se puede, se trata de una recta vertical.
¿Para qué sirve cambiar de forma?
Cambiar entre ecuación cartesiana y general permite adaptar la recta al tipo de análisis que queremos hacer.
Si queremos interpretar inclinación e intersección con el eje \(y\), suele convenir la forma cartesiana. Si queremos una expresión más general, conviene la forma \(Ax+By+C=0\).
Aplicación en el mundo real
En problemas geométricos y analíticos, una misma recta puede aparecer escrita de distintas maneras. Saber cambiar de forma ayuda a comparar rectas, estudiar intersecciones y resolver problemas con mayor flexibilidad.
Ejercicios
Ejercicio 1
Pasa la ecuación \(y=3x-2\) a forma general.
Partimos de:
\[ y=3x-2 \]
Llevamos todos los términos a un mismo lado:
\[ 3x-y-2=0 \]
La forma general es \(3x-y-2=0\).
Ejercicio 2
Pasa la ecuación \(y=-2x+5\) a forma general.
Partimos de:
\[ y=-2x+5 \]
Sumamos \(2x\) a ambos lados:
\[ 2x+y=5 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ 2x+y-5=0 \]
La forma general es \(2x+y-5=0\).
Ejercicio 3
Pasa la ecuación \(4x+y-7=0\) a forma cartesiana.
Partimos de:
\[ 4x+y-7=0 \]
Despejamos \(y\):
\[ y=-4x+7 \]
La forma cartesiana es \(y=-4x+7\).
Ejercicio 4
Pasa la ecuación \(2x-3y+6=0\) a forma cartesiana.
Partimos de:
\[ 2x-3y+6=0 \]
Despejamos el término con \(y\):
\[ -3y=-2x-6 \]
Dividimos por \(-3\):
\[ y=\frac{2}{3}x+2 \]
La forma cartesiana es \(y=\frac{2}{3}x+2\).
Ejercicio 5
Indica si la ecuación \(x+4=0\) puede escribirse en la forma \(y=mx+n\). Justifica.
La ecuación equivale a:
\[ x=-4 \]
Esta es una recta vertical, porque todos sus puntos tienen el mismo valor de \(x\).
Las rectas verticales no pueden escribirse como \(y=mx+n\), ya que no tienen pendiente definida.
Por lo tanto, no puede escribirse en forma cartesiana.
Ejercicio 6
Escribe en forma general la recta \(y=\frac{1}{2}x+3\).
Primero eliminamos fracciones multiplicando por \(2\):
\[ 2y=x+6 \]
Llevamos todos los términos a un mismo lado:
\[ x-2y+6=0 \]
También se acepta cualquier ecuación equivalente, por ejemplo:
\[ -x+2y-6=0 \]
Una forma general válida es \(x-2y+6=0\).
Ejercicio 7
Explica qué ventaja tiene la forma \(y=mx+n\) respecto de la forma general.
La forma \(y=mx+n\) permite leer directamente dos elementos importantes:
- la pendiente \(m\),
- la intersección con el eje \(y\), dada por \(n\).
Por eso es muy útil cuando se quiere interpretar la inclinación y la posición de una recta.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Toda ecuación general puede escribirse en forma cartesiana”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no siempre es correcta.
Si la ecuación general representa una recta vertical, como:
\[ x-2=0 \]
entonces equivale a \(x=2\), y no se puede escribir como \(y=mx+n\).
Solo se puede pasar a forma cartesiana cuando es posible despejar \(y\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La forma general de la recta \(y=2x+3\) es:
- \(2x+y+3=0\)
- \(2x-y+3=0\)
- \(2x-y-3=0\)
- \(y-2x+3=0\)
Partimos de:
\[ y=2x+3 \]
Llevamos todos los términos a un mismo lado:
\[ 2x-y+3=0 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 2
La forma cartesiana de \(3x+y-5=0\) es:
- \(y=3x-5\)
- \(y=-3x+5\)
- \(y=5x-3\)
- \(y=-5x+3\)
Despejamos \(y\):
\[ 3x+y-5=0 \]
\[ y=-3x+5 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 3
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta vertical?
- \(y=4\)
- \(x=-2\)
- \(y=-2x+1\)
- \(y=\frac{1}{2}x\)
Una recta vertical tiene la forma \(x=k\), donde \(k\) es constante.
La ecuación \(x=-2\) indica que todos los puntos de la recta tienen coordenada \(x=-2\).
Alternativa correcta: b.
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- Toda ecuación general representa una parábola.
- Toda recta vertical puede escribirse como \(y=mx+n\).
- La forma general puede representar rectas verticales.
- La forma cartesiana siempre es la única manera de escribir una recta.
La forma general \(Ax+By+C=0\) permite representar rectas verticales.
Por ejemplo:
\[ x-2=0 \]
equivale a \(x=2\), que es una recta vertical.
Alternativa correcta: c.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos el paso entre la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.
Vimos que ambas expresiones pueden representar la misma recta, pero que la forma cartesiana facilita la lectura de la pendiente y del corte con el eje \(y\), mientras que la forma general permite describir también rectas verticales.
En la siguiente clase comenzaremos a trabajar con circunferencias en el plano, identificando su centro y su radio a partir de su ecuación.
Para recordar
- Forma cartesiana: \(y=mx+n\).
- Forma general: \(Ax+By+C=0\).
- Para pasar de cartesiana a general, se llevan todos los términos a un lado.
- Para pasar de general a cartesiana, se despeja \(y\), cuando sea posible.
- Las rectas verticales no pueden escribirse en la forma \(y=mx+n\).