6. Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

En las clases anteriores trabajamos con rectas en el plano cartesiano. Ahora comenzaremos el estudio de otra figura muy importante en geometría analítica: la circunferencia.

En esta página aprenderemos a reconocer su ecuación y a leer, a partir de ella, dos elementos fundamentales:

  • su centro,
  • su radio.

La idea es relacionar la expresión algebraica con la figura geométrica en el plano.

Objetivo de la página

  • Reconocer la ecuación de una circunferencia en el plano.
  • Leer el centro y el radio a partir de su ecuación.
  • Distinguir el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado.
  • Construir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio.

Al finalizar esta página deberías poder:

  • Identificar si una ecuación corresponde a una circunferencia.
  • Reconocer el centro y el radio en ecuaciones simples.
  • Escribir la ecuación de una circunferencia con datos geométricos dados.
  • Relacionar cambios en la ecuación con cambios en la posición de la circunferencia.
📐 ¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una misma distancia fija de un punto llamado centro.

Esa distancia fija se llama radio.

📐 Caso 1: centro en el origen

Si el centro está en el origen \((0,0)\) y el radio es \(r\), la ecuación de la circunferencia es:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por ejemplo, si \(r=3\), entonces:

\[ x^2+y^2=9 \]

📐 Caso 2: centro trasladado

Si el centro de la circunferencia es \((h,k)\) y el radio es \(r\), la ecuación es:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

En esta forma:

  • el centro es \((h,k)\),
  • el radio es \(r\).
💡 Idea clave

En la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), el centro se lee como \((h,k)\), pero hay que poner atención al signo dentro del paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

tiene centro \((2,-3)\), no \((2,3)\).

⚠️ Error frecuente

Al leer el centro, los signos cambian respecto de lo que aparece dentro de los paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x+4)^2+(y-1)^2=25 \]

tiene centro \((-4,1)\).

Resumen conceptual

Ecuación Centro Radio
\(x^2+y^2=r^2\) \((0,0)\) \(r\)
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) \((h,k)\) \(r\)

Ejemplo guiado 1: circunferencia con centro en el origen

Consideremos la ecuación:

\[ x^2+y^2=16 \]

Aquí se reconoce directamente la forma:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por lo tanto:

\[ r^2=16 \Rightarrow r=4 \]

Entonces, la circunferencia tiene:

  • centro en \((0,0)\),
  • radio \(4\).

Esquema geométrico

radio = 4 C(0,0) x y

Ejemplo guiado 2: leer centro y radio en una ecuación trasladada

Consideremos la ecuación:

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]

La comparamos con la forma general:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Entonces:

  • \(h=2\),
  • \(k=-1\),
  • \(r^2=9\Rightarrow r=3\).

Por lo tanto, la circunferencia tiene:

  • centro \((2,-1)\),
  • radio \(3\).

Esquema geométrico

radio = 3 C(2,-1) x y

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir del centro y el radio

Supongamos que una circunferencia tiene:

  • centro \((3,2)\),
  • radio \(5\).

Usamos la forma:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Reemplazando:

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=25 \]

Esa es la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo guiado 4: cuidado con los signos

Consideremos la ecuación:

\[ (x+4)^2+(y-2)^2=36 \]

Comparando con \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), se obtiene:

  • \(h=-4\),
  • \(k=2\),
  • \(r=6\).

Por lo tanto, el centro es:

\[ (-4,2) \]

y no \((4,2)\).

Ejemplo guiado 5: interpretar cambios en la ecuación

Comparemos estas circunferencias:

\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=4 \]

En la primera:

  • centro \((0,0)\),
  • radio \(2\).

En la segunda:

  • centro \((2,0)\),
  • radio \(2\).

Ambas tienen el mismo radio, pero la segunda está desplazada 2 unidades hacia la derecha.

🤓 Cómo leer rápidamente una circunferencia

Cuando veas una ecuación de circunferencia, conviene revisar:

  • dónde está el centro,
  • cuál es el radio,
  • si está en el origen o trasladada,
  • si el radio está dado directamente o hay que calcularlo a partir de \(r^2\).
🌍 Aplicación en el mundo real

Las circunferencias aparecen en ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura, áreas de influencia y muchos problemas geométricos donde importa una distancia fija respecto de un centro.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina el centro y el radio de la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 2

Determina el centro y el radio de:

\[ (x-1)^2+(y-4)^2=16 \]

Ejercicio 3

Determina el centro y el radio de:

\[ (x+3)^2+(y+2)^2=49 \]

Ejercicio 4

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((0,0)\) y radio \(6\).

Ejercicio 5

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((2,-5)\) y radio \(3\).

Ejercicio 6

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 7

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=16 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “La ecuación \((x+1)^2+(y-3)^2=4\) tiene centro \((1,3)\)”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La circunferencia de ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) tiene centro en:

  1. \((2,1)\)
  2. \((-2,-1)\)
  3. \((2,-1)\)
  4. \((-2,1)\)

PAES 2

La circunferencia \(x^2+y^2=36\) tiene radio:

  1. 3
  2. 6
  3. 12
  4. 18

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,0)\)?

  1. \((x-1)^2+y^2=9\)
  2. \((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
  3. \(x^2+y^2=49\)
  4. \((x-4)^2+(y+1)^2=25\)

PAES 4

La ecuación de la circunferencia con centro \((-2,3)\) y radio \(4\) es:

  1. \((x-2)^2+(y-3)^2=16\)
  2. \((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
  3. \((x+2)^2+(y+3)^2=16\)
  4. \((x-2)^2+(y+3)^2=16\)

Cierre

En esta página estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio a partir de la expresión algebraica.

Vimos el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado, además de construir ecuaciones a partir de datos geométricos.

En la siguiente clase trabajaremos con traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano.

💡 Para recordar
  • \(x^2+y^2=r^2\) representa una circunferencia con centro en el origen.
  • \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) representa una circunferencia con centro \((h,k)\).
  • El radio se obtiene desde \(r^2\).
  • Hay que tener cuidado con los signos al leer el centro.