Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
8. Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio
Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio
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En las clases anteriores trabajamos con rectas en el plano cartesiano. Ahora comenzaremos el estudio de otra figura muy importante en geometría analítica: la circunferencia.
En esta página aprenderemos a reconocer su ecuación y a leer, a partir de ella, dos elementos fundamentales:
- su centro,
- su radio.
La idea es relacionar la expresión algebraica con la figura geométrica en el plano.
Objetivo de la página
- Reconocer la ecuación de una circunferencia en el plano.
- Leer el centro y el radio a partir de su ecuación.
- Distinguir el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado.
- Construir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio.
Al finalizar esta página deberías poder
- Identificar ecuaciones de circunferencia escritas en forma canónica.
- Reconocer el centro y el radio en ecuaciones simples.
- Escribir la ecuación de una circunferencia con datos geométricos dados.
- Relacionar cambios en la ecuación con cambios en la posición de la circunferencia.
¿Qué es una circunferencia?
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una misma distancia fija de un punto llamado centro.
Esa distancia fija se llama radio.
Caso 1: centro en el origen
Si el centro está en el origen \((0,0)\) y el radio es \(r\), la ecuación de la circunferencia es:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Por ejemplo, si \(r=3\), entonces:
\[ x^2+y^2=9 \]
Caso 2: centro trasladado
Si el centro de la circunferencia es \((h,k)\) y el radio es \(r\), la ecuación es:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
En esta forma:
- el centro es \((h,k)\),
- el radio es \(r\).
Idea clave
En la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), el centro se lee como \((h,k)\), pero hay que poner atención al signo dentro del paréntesis.
Por ejemplo:
\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]
tiene centro \((2,-3)\), no \((2,3)\), porque \(y+3=y-(-3)\).
Error frecuente
Al leer el centro, los signos cambian respecto de lo que aparece dentro de los paréntesis.
Por ejemplo:
\[ (x+4)^2+(y-1)^2=25 \]
tiene centro \((-4,1)\).
Resumen conceptual
Formas principales
| Ecuación | Centro | Radio |
|---|---|---|
| \(x^2+y^2=r^2\) | \((0,0)\) | \(r\) |
| \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) | \((h,k)\) | \(r\) |
Ejemplo guiado 1: circunferencia con centro en el origen
Consideremos la ecuación:
\[ x^2+y^2=16 \]
Aquí se reconoce directamente la forma:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Por lo tanto:
\[ r^2=16 \]
\[ r=\sqrt{16}=4 \]
Entonces, la circunferencia tiene:
- centro en \((0,0)\),
- radio \(4\).
La circunferencia \(x^2+y^2=16\) tiene centro \((0,0)\) y radio \(4\).
Ejemplo guiado 2: leer centro y radio en una ecuación trasladada
Consideremos la ecuación:
\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]
La comparamos con la forma general:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Entonces:
- \(h=2\), porque aparece \(x-2\),
- \(k=-1\), porque \(y+1=y-(-1)\),
- \(r^2=9\), por lo tanto \(r=3\).
La circunferencia tiene centro \((2,-1)\) y radio \(3\).
Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir del centro y el radio
Supongamos que una circunferencia tiene:
- centro \((3,2)\),
- radio \(5\).
Usamos la forma:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Reemplazando \(h=3\), \(k=2\) y \(r=5\):
\[ (x-3)^2+(y-2)^2=5^2 \]
\[ (x-3)^2+(y-2)^2=25 \]
La ecuación de la circunferencia es \((x-3)^2+(y-2)^2=25\).
Ejemplo guiado 4: cuidado con los signos
Consideremos la ecuación:
\[ (x+4)^2+(y-2)^2=36 \]
Comparando con \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), se obtiene:
- \(x+4=x-(-4)\), entonces \(h=-4\),
- \(y-2\), entonces \(k=2\),
- \(r^2=36\), entonces \(r=6\).
El centro es \((-4,2)\) y el radio es \(6\). No es centro \((4,2)\).
Ejemplo guiado 5: interpretar cambios en la ecuación
Comparemos estas circunferencias:
\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=4 \]
En la primera:
- centro \((0,0)\),
- radio \(2\).
En la segunda:
- centro \((2,0)\),
- radio \(2\).
Ambas tienen el mismo radio, pero la segunda está desplazada \(2\) unidades hacia la derecha.
Cómo leer rápidamente una circunferencia
Cuando veas una ecuación de circunferencia, conviene revisar:
- dónde está el centro,
- cuál es el radio,
- si está en el origen o trasladada,
- si el radio está dado directamente o hay que calcularlo a partir de \(r^2\).
Aplicación en el mundo real
Las circunferencias aparecen en ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura, áreas de influencia y muchos problemas geométricos donde importa una distancia fija respecto de un centro.
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina el centro y el radio de la circunferencia:
\[ x^2+y^2=25 \]
La ecuación tiene la forma:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Por lo tanto, el centro es \((0,0)\).
Además:
\[ r^2=25 \Rightarrow r=5 \]
Centro: \((0,0)\). Radio: \(5\).
Ejercicio 2
Determina el centro y el radio de:
\[ (x-1)^2+(y-4)^2=16 \]
Comparamos con:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Se observa que:
- \(h=1\),
- \(k=4\),
- \(r^2=16\), entonces \(r=4\).
Centro: \((1,4)\). Radio: \(4\).
Ejercicio 3
Determina el centro y el radio de:
\[ (x+3)^2+(y+2)^2=49 \]
Reescribimos mentalmente los paréntesis:
\[ x+3=x-(-3) \]
\[ y+2=y-(-2) \]
Entonces el centro es \((-3,-2)\).
Además:
\[ r^2=49 \Rightarrow r=7 \]
Centro: \((-3,-2)\). Radio: \(7\).
Ejercicio 4
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((0,0)\) y radio \(6\).
Si el centro está en el origen, usamos:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Como \(r=6\), entonces:
\[ r^2=6^2=36 \]
La ecuación es \(x^2+y^2=36\).
Ejercicio 5
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((2,-5)\) y radio \(3\).
Usamos la forma:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Con \(h=2\), \(k=-5\) y \(r=3\):
\[ (x-2)^2+(y-(-5))^2=3^2 \]
\[ (x-2)^2+(y+5)^2=9 \]
La ecuación es \((x-2)^2+(y+5)^2=9\).
Ejercicio 6
Explica qué diferencia geométrica existe entre:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+y^2=25 \]
Ambas ecuaciones tienen la forma:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Por eso ambas tienen centro en \((0,0)\).
En la primera:
\[ r^2=9 \Rightarrow r=3 \]
En la segunda:
\[ r^2=25 \Rightarrow r=5 \]
Tienen el mismo centro, pero distinto radio.
Ejercicio 7
Explica qué diferencia geométrica existe entre:
\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=16 \]
En ambas ecuaciones se cumple:
\[ r^2=16 \Rightarrow r=4 \]
Por lo tanto, tienen el mismo radio.
La primera tiene centro \((0,0)\).
La segunda tiene centro \((2,0)\), porque \((x-2)^2\) indica \(h=2\) y \(y^2=(y-0)^2\).
Tienen el mismo radio, pero distintos centros.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “La ecuación \((x+1)^2+(y-3)^2=4\) tiene centro \((1,3)\)”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
La forma general es:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
En el primer paréntesis:
\[ x+1=x-(-1) \]
Por lo tanto, \(h=-1\).
En el segundo paréntesis, \(y-3\), entonces \(k=3\).
El centro correcto es \((-1,3)\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La circunferencia de ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) tiene centro en:
- \((2,1)\)
- \((-2,-1)\)
- \((2,-1)\)
- \((-2,1)\)
Comparamos con:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
De \(x-2\), se obtiene \(h=2\).
De \(y+1=y-(-1)\), se obtiene \(k=-1\).
Entonces el centro es \((2,-1)\).
Alternativa correcta: c.
PAES 2
La circunferencia \(x^2+y^2=36\) tiene radio:
- 3
- 6
- 12
- 18
La forma es:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
Entonces:
\[ r^2=36 \Rightarrow r=6 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 3
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,0)\)?
- \((x-1)^2+y^2=9\)
- \((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
- \(x^2+y^2=49\)
- \((x-4)^2+(y+1)^2=25\)
Una circunferencia con centro en el origen tiene la forma:
\[ x^2+y^2=r^2 \]
La única alternativa con esa forma es \(x^2+y^2=49\).
Alternativa correcta: c.
PAES 4
La ecuación de la circunferencia con centro \((-2,3)\) y radio \(4\) es:
- \((x-2)^2+(y-3)^2=16\)
- \((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
- \((x+2)^2+(y+3)^2=16\)
- \((x-2)^2+(y+3)^2=16\)
Usamos la forma:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Con centro \((-2,3)\), se tiene \(h=-2\) y \(k=3\):
\[ (x-(-2))^2+(y-3)^2=r^2 \]
\[ (x+2)^2+(y-3)^2=4^2 \]
\[ (x+2)^2+(y-3)^2=16 \]
Alternativa correcta: b.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio a partir de la expresión algebraica.
Vimos el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado, además de construir ecuaciones a partir de datos geométricos.
En la siguiente clase trabajaremos con traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano.
Para recordar
- \(x^2+y^2=r^2\) representa una circunferencia con centro en el origen.
- \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) representa una circunferencia con centro \((h,k)\).
- El radio se obtiene desde \(r^2\).
- Hay que tener cuidado con los signos al leer el centro.